课件24张PPT。章末整合提升知识网络题型一 复数的基本概念
复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R.(2)z为虚数．专题归纳例1 设△ABC中的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B．若复数z1z2为纯虚数，试判断△ABC的形状，并说明理由．例2规律总结
复数的有关概念
(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
[提醒] 求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
例3【答案】 (1)A (2)D例4 已知|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取最大值时z的值．
题型三 复数几何意义的应用例5解法二 类比实数绝对值的几何意义，可知，方程|z|＝2表示以原点为圆心，以2为半径的圆，而|z－i|表示圆上的点到点A(0，1)的距离．如图，连接AO并延长与圆交于点B(0，－2)，显然根据平面几何的知识可知，圆上的点B到点A的距离最大，最大值为3.即当z＝－2i时，|z－i|取最大值3.领悟整合
数形结合思想在几何意义中的应用
复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法
(1)复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
(2)复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
题型四 转化与化归思想在复数中的应用例6领悟整合
复数的代数形式是z＝x＋yi(x，y∈R)，所以任一个复数可由实数对(x，y)唯一确定，利用复数的代数形式，在处理复数相等、复数的模、复数对应点的轨迹时，都可以化归为实数x，y应满足的条件的问题，即复数问题实数化，这一思想方法渗透于本章的各个知识点．
1．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
◎跟踪训练4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________．
解析 由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，即a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
答案 1＋2i
章末达标测试
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为
A．1 B．0或2 C．2 D．0
解析 由，得m＝0.
答案 D
2．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则
A．b2＝3a2 B．a2＝3b2
C．b2＝9a2 D．a2＝9b2
解析 若(a＋bi)3＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i是实数，则3a2b－b3＝0.由b≠0，得b2＝3a2.故选A.
答案 A
3．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为
A．2 B．－2 C．－ D.
解析 设＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi，所以b＝1，a＝2.故选A.
答案 A
4．复数z满足(z－i)i＝2＋i，则z＝
A．－1－i B．1－i
C．－1＋3i D．1－2i
解析 利用复数的除法求解．
z－i＝＝＝1－2i，z＝i＋1－2i＝1－i.
答案 B
5．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，
∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．
答案 D
6．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
解析 设z＝a＋bi，a，b∈R
代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi
则解得，因此z＝1＋i.
答案 A
7．若复平面上的?ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，则对应的复数是
A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i
解析 设AC与BD交于点O，则有＝＋.
答案 D
8．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝
A．1或－1 B.或－ C．－ D.
解析 ∵z＝a＋i，∴＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝1或－1，
∴选A.
答案 A
9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|，
∴点Z到(1，0)和(－1，0)的距离相等，
即点Z在以(1，0)和(－1，0)为端点的线段的中垂线上．
答案 B
10．已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z等于
A. B. C．1 D．2
解析 ∵z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
∴z·z＝|z|2＝.
答案 A
11．设z是复数，则下列命题中的假命题是
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析 设z＝a＋bi，a，b∈R?z2＝a2－b2＋2abi.
对选项A：若z2≥0，则b＝0?z为实数，所以z为实数正确．
对选项B：若z2＜0，则a＝0，且b≠0?z为纯虚数，所以z为虚数正确．
对选项C：若z为虚数，则z2不一定为实数，所以z2≥0错误．
对选项D：若z为纯虚数，则a＝0，且b≠0?z2＜0，所以z2＜0正确．
答案 C
12．若复数z满足(1－i)z＝1＋ai，且复数z在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是
A．a＞1 B．－1＜a＜1
C．a＜－1 D．a＜－1或a＞1
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R且x＜0，y＞0)，
则(1－i)z＝(1－i)·(x＋yi)
＝(x＋y)＋(－x＋y)i＝1＋ai，
∴∴a＝1－2x.
由x＜0，y＞0，得a＞1.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是实数，则实数m＝________．
解析 (m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i.
于是有1＋m3＝0?m＝－1.
答案 －1
14．在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
解析 ＝＝－1＋i，
故其对应的点的坐标是(－1，1)．
答案 (－1，1)
15．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan θ的值为________．
解析 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，
所以tan θ＝.
答案
16．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
解析 ∵(1＋i)(1－bi)＝a，∴1＋b＋(1－b)i＝a，
∴∴ ∴＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析 若z为纯虚数，则
由①得a＝3或a＝－2，分别代入②都不合题意，
所以不存在使z为纯虚数的实数a.
答案 不存在使z为纯虚数的实数a
18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝，
求：(1)z1z2；(2).
解析 (1)因为z2＝＝＝
＝＝1－3i，所以
(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－6i－3i＋9i2＝－7－9i.
(2)＝＝＝
＝＋i.
答案 (1)－7－9i (2)＋i
19．(12分)已知z1，z2为复数，(3＋i)z1为实数，z2＝，且|z2|＝5，求z2.
解析 z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
∵|z2|＝5，∴|z2(5＋5i)|＝50，
∴z2(5＋5i)＝±50，
∴z2＝±＝±＝±(5－5i)．
20．(12分)设O为坐标原点，已知向量、分别对应复数z1、z2，且z1＝＋(10－a2)i、z2＝＋(2a－5)i(其中a∈R)，若z1＋z2是实数，求|z2|的值．
解析 ∵1＝－(10－a2)i，
∴1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，
又分母不为零，∴a＝3.∴z2＝－1＋i，|z2|＝.
答案
21．(12分)设z1，z2∈C，A＝z1·2＋z2·1，B＝z1·1＋z2·2，问A与B是否可以比较大小？请说明理由？
解析 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则1＝a－bi，2＝c－di，
∴A＝z1·2＋z2·1
＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi)
＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2
＝(2ac＋2bd)∈R，
B＝z1·1＋z2·2
＝|z1|2＋|z2|2
＝(a2＋b2＋c2＋d2)∈R，
∴A与B可以比较大小．
22．(14分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解析 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴z对应点的轨迹是以O1(－1，1)为圆心，2为半径的圆如下图所示，
如上图，当z对应点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝.
答案 (1)a＝b＝3 (2)
