2-1-1
[课后提升案·素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“a(b·c)＝b(a·c)”；③“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 由向量的知识可得只有①正确．
答案 A
2．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是
A．30 B．31 C．32 D．34
解析 第1个图形中有4根火柴棒；
第2个图形中有4＋3＝7根火柴棒；
第3个图形中有4＋3×2＝10根火柴棒；
…
第10个图形中有4＋3×9＝31根火柴棒．
答案 B
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝
A．28 B．76 C．123 D．199
解析 观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案 C
4．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
解析 由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.
答案 B
5．观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…，
可以得出的一般结论是
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析 可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 B
6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析 观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋3，
…
an＝an－1＋n.
所以a1＋a2＋…＋an
＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
?an＝1＋2＋3＋…＋n
＝，
观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析 ＝＝·＝×＝.
答案
8．图(1)所示的图形有面积关系：＝，则图(2)所示的图形有体积关系：＝________．
解析 由三棱锥的体积公式V＝Sh及相类比可知，＝
答案
9．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．
解析 ∵Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝bq1＋2＋3＋…＋(n－1)＝bq，
∴＝b1q＝b1()n－1，
∴数列{}是首项为b1，公比为的等比数列，其通项为＝b1()n－1.
答案 数列()为等比数列，且通项为＝b1()n－1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(11分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
解析 因为Sn＋＋2＝an(n≥2)，
所以Sn＋＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以＝－2－Sn－1(n≥2)，
当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－a1＝－，
所以S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
所以S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
所以S4＝－.
由此猜想Sn＝－.
11．(12分)观察下列等式：
①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝.
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
请写出与上面两式规律相同的一个等式并加以证明．
解析 由①②可看出，两角差为30°，
则它们的相关形式的函数运算式的值均为.
猜想：若β－α＝30°，
则β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sin αcos β＝，
也可直接写成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
下面进行证明：
左边＝＋＋sin αcos(α＋30°)
＝＋＋sin α·(cos α·cos 30°－sin αsin 30°)＝－cos 2α＋＋
cos 2α－sin 2α＋ sin 2α－＝＝右边．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
12．(12分)如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题？并加以证明．
解析 命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．
证明如下：
在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.
于是S＝＝·＝S△BCM·S△BCD.
课件43张PPT。第二章 推理与证明§2.1 合情推理与演绎推理
§2.1.1 合情推理
[课标解读]
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．(重点)
2．了解合情推理在数学发现中的作用．(难点)
1．归纳推理和类比推理
基础知识整合部分对象全部对象个别事实归纳某些类似特征某些已知特征这些特征类比部分整体个别一般特殊特殊2．合情推理观察分析联想归纳类比猜想猜想?知识点一 归纳推理
【探究1】 阅读下面的材料，考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点？
(1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到．
(2)谚语“瑞雪兆丰年”．
(3)物理学中牛顿发现万有引力．
(4)化学中的门捷列夫元素周期表．
提示 它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化，由个别推知一般．核心要点探究【探究2】 归纳推理的前提和结论是什么？
提示 归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断，而结论是关于该类事物或现象的普遍性判断．
【探究3】 你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗？
提示 其思维过程为：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
【拓展提高】
归纳推理的四个特点
(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．
(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．
(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．?知识点二 类比推理
【探究1】 数学中常见的类比有哪些？
提示 数学中常见的类比：直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等．
【探究2】 类比推理和归纳推理有何本质的不同？
提示 类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．【探究3】 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示 归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然性的，而是偶然性的，结论不一定正确；而类比推理的结论具有猜测性，也不一定可靠，因此也不一定正确．
【探究4】 合情推理具有什么特点？
提示 (1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论．
(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．
【拓展提高】
类比推理的三个特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征，所以类比推理的结论具有猜测性，不一定可靠．
(2)类比在数学发现中具有重要作用．例如，通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比，发现可以研究的问题及其研究方法．
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征. (1)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为________．题型一 归纳推理在数、式中的应用例1【自主解答】 (1)观察规律可知，左边为n项的乘积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
规律总结
由已知数式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．
(4)运用归纳推理得出一般结论．
1．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式为________．
◎变式训练解析 观察等式左侧：第一行有1个数是1，第二行是3个连续自然数的和，第一个数是2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数是3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数是4.照此规律，第5行应该是9个连续自然数的和，第一个数为5，所以第5行左侧：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13；等式右侧：第一行1＝12，第二行9＝32，第三行25＝52，第四行49＝72，则第5行应为81＝92.所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.
答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝812．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)
(1)求a2，a3，a4，a5.
(2)归纳猜想通项公式an.
解析 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
(1)根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．题型二 归纳推理在几何中的应用例2(2)设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________，当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．
【自主解答】 (1)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.规律总结
归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．(1)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．
◎变式训练题型三 类比推理的应用例3(2)如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．(2)如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
【答案】 (1)数列S20－S10，
S30－S20，S40－S30也是等差数列，
且公差为300 (2)略
规律总结
(1)类比推理的基本思路
根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比如下：
◎变式训练答案 (1)C (2)略 对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是________．
[规范解答] 当n＝1时，21＞12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23＜32；
当n＝4时，24＝42；◎典题示例易错误区2 对归纳推理的特征掌握不准而致误典例当n＝5时，25＞52；
当n＝6时，26＞62；
所以可以猜想：
当n＝3时，2n＜n2；
当n∈N*且n≠3时，2n≥n2.
[答案] 当n＝3时，2n＜n2；当n∈N*且n≠3时，2n≥n2
[易错防范] 在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，要对所归纳的命题加以分析、归纳、综合，从而得到更加全面、科学、正确的猜想，如本例中，要注意猜想n＝3，n＝2和n＝4及n≠2，3，4的所有情况．
◎典题试解本讲结束
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