2-1-2
[课后提升案·素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．所有金属都能导电，因为铜是金属，所以铜能导电，此推理方法是
A．完全归纳推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
解析 上述推理的过程实质是三段论的形式，故为演绎推理．
答案 D
2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC
解析 本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理．
答案 A
3．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)＞0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f′(x)＝3x2＞0恒成立．以上推理中
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析 因为对于可导函数f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)＞0对x∈(a，b)恒成立，应该是f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误．
答案 A
4．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α.
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β.
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β.
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；
③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．
答案 B
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析 因为x?y＝x(1－y)，
所以(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
即原不等式等价于(x－a)(1－x－a)＜1即x2－x－(a2－a－1)＞0.
所以Δ＝1＋4(a2－a－1)＜0即4a2－4a－3＜0.解得－＜a＜.
答案 C
6．“1＜a＜2”是“对任意的正数x，都有2x＋≥1”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当“对任意的正数x，都有2x＋≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈（0，＋∞）恒成立，而x－2x2＝－2＋≤，所以a≥.
因为(1，2) ，
所以1＜a＜2是“对任意的正数x，都有2x＋≥1”的充分不必要条件．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________．
答案 一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________．
解析 因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．
解得a＝.
答案
9．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析 显然f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
当x＞0时，f(x)＝lg ＝lg .
∵g(x)＝x＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(1)＝lg 2.
∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1，0)上是增函数．
答案 ①③④
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)下列推理是否正确，若有错误请指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以四边形ABCD的内角和等于360°.
(2)和都是无理数，求证：＋也是无理数．
证明：因为无理数与无理数的和是无理数，而和都是无理数，所以＋也是无理数．
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：a2＋b2＝c2.
证明：因为a＝c·sin A，b＝c·cos A，所以a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A＋cos2A)＝c2.
解析 上述三个推理过程都是错误的．
(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中把论题中的四边形换成矩形，所以结论只对矩形成立．
(2)使用的论据(大前提)是假命题．因为两个无理数的和不一定是无理数，如＋(－)＝0，因此原论题的真实性仍无法断定．
(3)本题的论题是我们熟悉的勾股定理，上述证明中用了“sin2A＋cos2A＝1”这个公式，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误．
11．(12分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解析 (1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
12．(13分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
(2)求证：CE∥平面AB1D.
证明 (1)连结A1D、BD、DG.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
所以四边形A1ABB1是正方形．
所以A1B⊥AB1.
因为点D是C1C的中点，
所以△A1C1D≌△BCD.
所以A1D＝BD.
因为点G为A1B与AB1的交点，
所以G为A1B的中点，
所以A1B⊥DG.
又因为DG∩AB1＝G，
所以A1B⊥平面AB1D.
又因为AD?平面AB1D，
所以A1B⊥AD.
(2)连接GE，所以EG∥A1A，
所以GE⊥平面ABC.
因为DC⊥平面ABC，
所以GE∥DC.
又因为GE＝DC＝a，
所以四边形GECD为平行四边形．
所以EC∥GD.
又因为EC?平面AB1D，DG?平面AB1D，
所以EC∥平面AB1D.
课件36张PPT。§2.1.2 演绎推理
[课标解读]
1.理解演绎推理的意义．(难点)
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．(重点)1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个________下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由________到________的推理．
基础知识整合特殊情况一般特殊2．三段论
已知的一般原理所研究的特殊情况特殊情况?知识点一 演绎推理的含义
【探究1】 阅读下面的材料，探究下列问题：
(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数．
(2)一次函数是单调函数，因为y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数．
以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？
提示 是演绎推理，推理的结论都正确．核心要点探究【探究2】 演绎推理有哪些特点？
提示 ①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；②在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的．
【探究3】 演绎推理的结论一定正确吗？
提示 在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．
?知识点二 演绎推理的一般模式
【探究1】 演绎推理一般是怎样的模式？
提示 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
【探究2】 如何分清“三段论”的大前提、小前提和结论？
提示 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如:平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．【探究3】 合情推理和演绎推理有怎样的关系？
提示 (1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要靠合情推理．
(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．
【拓展提高】 对“三段论”的两点说明
(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．
(2)若集合M的所有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，那么S中的元素也不具有性质P. 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数.
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形对角线互相平分.
(4)通项公式为an＝3n＋2的数列{an}为等差数列．
题型一 把演绎推理写成三段论例1【自主解答】 (1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)
菱形是平行四边形．(小前提)
菱形对角线互相平分．(结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2时，若n≥2，则
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2的数列为等差数列．(结论)
规律总结
用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，(2)省略了小前提，(3)、(4)都省略了大前提与小前提，寻找大前提时， 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
◎变式训练解析 演绎推理中如果大前提小前提都是真实的，按照三段论形式推出的结论必是真实的，因此，演绎推理可以作为严格的推理方法．
答案 (1)两个角是对顶角则两角相等(大前提)
∠1和∠2不相等(小前提)
∠1和∠2不是对顶角(结论)
(2)每一个矩形的对角线相等(大前提)
正方形是矩形(小前提)
正方形的对角线相等(结论)
(3)所有的循环小数是有理数(大前提) (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．
(2)证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．题型二 演绎推理在几何中的应用例2【自主解答】 (1)推理：“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③所以正方形是平行四边形”中：
矩形是平行四边形，大前提
正方形是矩形，小前提
所以正方形是平行四边形．结论
(2)已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：①等腰三角形的两底角相等，大前提
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，小前提
∠1＝∠2.结论
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，大前提
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截的内错角，小前提
∠1＝∠3.结论
③等于同一个量的两个量相等，大前提
∠2，∠3都等于∠1，小前提
∠2和∠3相等．结论
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
【答案】 (1)② (2)略规律总结
在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提．把一般性原理用于特殊情况，就可得到结论．
[提醒] 在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误．
2．在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大小前)
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，(小前提)
所以△ABD是直角三角形(结论)
同理，△AEB也是直角三角形．
◎变式训练题型三 演绎推理在代数中的应用例3方法技巧
代数问题中的常见的利用三段论证明的命题
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图象与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．◎变式训练 已知2sin2α＋sin2β＝3sin α，则sin2 α＋sin2β的取值范围为________．
◎典题示例易错误区3 忽略大前提而致误典例[易错防范]
(1)正确理解大前提
解题过程中，要对大前提把握好，正确认识大前提是解题的关键，如本例中sin α的取值范围．
(2)挖掘题中的隐含条件
解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位，不能遗漏，否则会出现失误，如本例中sin α＝1易漏掉．◎典题试解本讲结束
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