2-2-1
[课后提升案·素养达成]
[限时45分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．关于综合法和分析法的说法错误的是
A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B．综合法又叫顺推证法或由因导果法
C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
D．分析法又叫逆推证法或执果索因法
答案 C
2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．无法确定
解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，
当x＜0时，0＜b＜1，
所以a＞b.
答案 A
3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝
A．2 B．－2 C. D．－
解析 因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，且S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.
答案 D
4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析 因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，
所以f≤f()≤f.
答案 A
5．m＝＋，n＝＋(a≥0)，则有
A．m＜n B．m＝n
C．m＞n D．不能确定
解析 要比较m，n的大小，可比较m2＝2a＋5＋2，n2＝2a＋5＋2，只要比较a2＋5a与a2＋5a＋6的大小，
因为a2＋5a＋6＞a2＋5a，
所以＋＜＋(a≥0)，即m＜n.
答案 A
6．设a，b，m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是
A.＜＜1 B.≥
C.≤≤1 D．1＜＜
解析 可证明＜成立，要证明＜，由于a，b，m都是正整数，故只需证ab＋am＜ab＋bm，即证(a－b)m＜0，因为a＜b，所以(a－b)m＜0成立．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－，f(1)＝1，f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________．
解析 ∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，
∴4是f(x)的一个周期，∴f(2)－f(3)＝－f(－2)－f(－1)＝－f(－2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.
答案 －1
8．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为CC1⊥底面A1B1C1D1，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
答案 对角线互相垂直
9．a＞b＞c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
解析 由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，
要使＋≥恒成立．只需＋≥n恒成立，
只需＋≥n恒成立，
显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)，
所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.
答案 4
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(11分)已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.
证明 ①当ac＋bd≤0时，显然成立，
②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，
即证2abcd≤b2c2＋a2d2，即证0≤(bc－ad)2，
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立，
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
11．(11分)已知a，b，c为不全相等的正数．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明 要证＋＋＞a＋b＋c，
只要证＞a＋b＋c，
∵a，b，c＞0，只要证(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)，
由公式知(bc)2＋(ac)2≥2abc2，
(ac)2＋(ab)2≥2a2bc，(bc)2＋(ab)2≥2ab2c，
∵a，b，c不全相等，上面各式等号至少有一个不成立，三式相加，得2[(bc)2＋(ac)2＋(ab)2]＞2abc2＋2a2bc＋2ab2c＝2abc(a＋b＋c)，
即(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)成立，
∴＋＋＞a＋b＋c成立．
12．(13分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，
证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，
由条件，得方程组解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
(2)证明 由(1)得
Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1，②
由①－②，得
－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，
即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1，
而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，
所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.
课件34张PPT。§2.2 直接证明与间接证明
§2.2.1 综合法与分析法
[课标解读]
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.(重点)
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．(难点、重点)
1．综合法
基础知识整合定义已知条件公理定理推理论证已知条件定义公理定理所要证明的结论2.分析法
结论出发充分条件定理定义公理?知识点一 综合法
【探究1】 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
核心要点探究【探究2】 综合法逻辑推理的依据是什么？
提示 综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论．
【拓展提高】 对综合法的四点说明
(1)思维特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程．
(2)优点：条理清晰，易于表述．
(3)缺点：探路艰难，易生枝节．
(4)思维过程，原因→结果．?知识点二 分析法
【探究1】 分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
提示 分析法的推理过程是演绎推理，因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的结论都是正确的，不同于合情推理中的猜想．
【探究2】 分析法的证题思路是什么？
提示 分析法的基本思路是“执果索因”．由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件．
【探究3】 综合法与分析法证明格式有什么区别？
提示 (1)综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
(2)分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件，它的证明格式：要证×××，只需证明×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．
【拓展提高】
对分析法的四点说明
(1)思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程实际上是逐步寻求结论成立的充分条件的过程．
(2)思维过程：由结果追溯原因，即结果→原因．
(3)优点：容易探路且探路与表述合一；缺点：表述烦琐且不习惯，容易出错．
(4)实际应用：在实际解题时，常常先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．题型一 综合法的应用例1规律总结
综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
◎变式训练题型二 分析法的应用例2方法技巧
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．
(2)用分析法证明不等式是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．
◎变式训练题型三 综合法与分析法的综合应用例3方法规律
分析综合法
分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．◎变式训练 (12分)若已知n∈N*，求证：log(n＋1)(n＋2)＜logn(n＋1)．
[审题流程]
◎典题示例规范解答2 分析法证明不等式典例[名师点晴]
注意步骤的规范性和完整性
解题时步骤要完整、规范，注意步与步之间的严谨性和逻辑性，减少失分，如本例若漏任一地方，步骤就不完整，会导致失分．
◎典题试解本讲结束
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