4.2 指数函数 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第一册4.2指数函数
一、单选题
1.若函数 是指数函数,则 的值为(??? )
A.?2??????????????????????????????????????B.?-2??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
2.( ，且 )恒过的定点为（??? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.下列关系中，正确的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
4.如果指数函数 是 上的单调减函数，那么a的取值范围是（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
5.在同一坐标系中，函数y=3x与y=3-x的图象关于（??? ）
A.?直线 对称??????????????????????B.?x轴对称??????????????????????C.?直线 对称??????????????????????D.?y轴对称
6.如果 ，那么（? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
7.（??? ）.
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
8.函数 在[1,2]上的最大值比最小值大 ，则 ＝(?? )
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?或 ????????????????????????????????????D.?或
9.已知函数f(x)＝ 在(0,2)内的值域是 ，则函数y＝f(x)的图象是( ????)．
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
10.若函数 （ ，且 ）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（??? ）
A.?且 ???????????? ? B.?且 ?????????????
C.?且 ????????????? D.?且
11.若函数 在 上的最大值为 ，最小值 ，且函数 在 上是增函数，则 （?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息(?? )元.
（参考数据 ）
A.?176???????????????????????????????????????B.?100???????????????????????????????????????C.?77???????????????????????????????????????D.?88

二、填空题
13.不等式 的解集为________.

14.指数函数 在 上最大值与最小值之差为6，则 ________.

15.函数 的图像向左平移 个单位后所得新函数的图像恒过定点________.
16.函数 在 上的值域为________．

17.已知指数函数f（x）的图象过点（–2，4），则不等式f（x）>1的解集为________．

18.已知函数 ，若 ，则 ________.

三、解答题
19.比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.82.2 ， 1.83；
（2）0.7－0.3 ， 0.7－0.4；
（3）1.90.4 ， 0.92.4.



20.求不等式 ? 中 的取值范围。






21.已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ）
（1）求a的值
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．









22.已知函数f（x）=
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）直接写出函数f（x）的值域；
（3）求 f[f（﹣1）]的值．












23.已知函数f（x）=ax+1+2（a＞0，a≠1）的图象经过点（1，11），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=[f（x）]2﹣f（x）的值域．












24.已知函数 ， （ 且 ）， ．

（1）求函数 和 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数 和 的图象；
（3）如果 ，请直接写出 的取值范围．










25.已知函数f（x）= ，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．



答案解析部分
一、单选题
1.答案： D
解：∵函数f（x）＝（ a﹣3）?ax是指数函数，
∴ a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x ，
∴f（ ） 2 ，
故答案为：D．
【分析】根据指数函数的定义可得 a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x 代入可得答案．
2.答案： B
解： 可看作由 （恒过 ）先沿 轴向下翻折，得到 （恒过 ）；
再由 通过向右平移1个单位，向上平移3个单位得到 （恒过 ）
故答案为：B
【分析】可从函数图像平移变换的角度进行求解.
3.答案： C
解：因为 在R上单调递减，故 ，A，D不符合题意;
在R上单调递增，故 , 则B不符合题意，C符合题意
故答案为：C
【分析】根据指数函数 和 的单调性判断即可．
4.答案： C
解：由于指数函数 是 上的单调减函数，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】根据指数函数 是 上的单调减函数，得出 ，解出即可.
5.答案： D
解：由题意，函数 与 的纵坐标相等时，横坐标相反，
∴在同一坐标系中，函数 与 的图象关于y轴对称.
故答案为：D．
【分析】由已知利用指数函数的图象特点，即可判断两个函数的图象关于y轴对称.
6.答案： C
解： 根据函数 在 是减函数，且 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：C.
【分析】根据指数函数的单调性，即可确定a和b的大小关系，通过a和b的大小关系即可确定三者的大小.
7.答案： D
解：由函数解析式可得：y= 可得值域为：0由指数函数的性质知：在(?∞,0)上单调递增；在(0,+∞)上单调递减。
故答案为：D.
【分析】由已知函数解析式，可得值域，再利用指数函数的性质，即可判断函数的大致图象.
8.答案：C
解：当a＞1时，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上是增函数，
由题意可得 a2﹣a= ，∴a= ．
当0＜a＜1时，函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上是减函数，
由题意可得 a﹣a2= ，解得 a= ．
综上，a的值为 或 .
故答案为：C．
【分析】结合a取不同范围，计算最值，计算a值，即可得出答案。
9.答案：A
解：由题意，根据指数函数的性质可知 ，
所以由函数 在 内的值域为 ，
可得函数 为单调递减函数，即 ，所以函数 对应的函数图象为A，
故答案为：A.
【分析】首先根据指数函数的性质求出特殊点的函数值即f(0),再根据函数的值域得出函数的单调性，由此得出函数的图像。
10.答案： A
解：由题可知，函数 不过第一象限，则 ；

又因为函数 过第三、四象限，则函数 图象为 向下平移且平移量大于1，
即 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的图像与性质，由已知函数 f(x) 过第三、四象限，由指数函数的图像变换，即可得到b的范围.
11.答案： C
解：由题意，当 时，函数 在 为单调递增函数，
所以 ，即 ，解得 ，此时最小值 ；
当 时，函数 在 为单调递减函数，
所以 ，即 ，解得 ，此时最小值 ，
又由函数 在 上是增函数，则 ，解答 ，
综上可得 ， ．
故答案为：C.
【分析】利用 在 上的最大值为 ，先确定 的值，再利用函数 在区间 上是增函数，即可求得实数 的值，得到答案．
12.答案： B
解：由题意，某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若在银行存放5年，可得金额为 元，即利息为 元，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝时，利率可达4.01%，若存放5年，可得金额为 元，即利息为 元，所以将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息 元，
故答案为：B。
【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案。

二、填空题
13.答案：?
解： ，即 ，解得 ，
不等式 的解集为 ，
故答案为 .
【分析】将不等式两边的指数式变成同底数的，利用指数函数的单调性，得到相应的一元二次不等式，求解即可.
14.答案： 3
解：当 时，函数为减函数， ， ，则 ，方程无解；
当 时，函数为增函数， ， ，
则 ，解得 ， 舍去.
故答案为：3
【分析】分为 和 两种情况，结合函数的增减性求解即可.
15.答案：
解：因为函数 的图像向左平移 个单位后所得新函数 ，又 过定点 ，
故答案为： .
【分析】先求出函数 的图像向左平移 个单位后所得新函数 ，再求出定点即可.
16.答案：
解：因为 在 上单调递减，
所以 时 ,即 ，
所以函数 在 上的值域为 .
故答案为 .
【分析】因为 在 上单调递减，由指数函数的图像可得函数的值域.
17.答案： （–∞，0）
解：设函数为 且 ,
将 代入可得 ,
，,即 ,
由于 在 上单调递减, ,即解集为
故答案为：
【分析】设指数函数 且 ,将点 代入可得 ,再由不等式求解即可.
18.答案：
解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 .
故答案为:.
【分析】指数型分段函数,已知多层函数值,求自变量的值,由外到内的原则得到关于a的方程求a的值.

三、解答题
19.答案：（1）解：1.82.2 ， 1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，∴1.82.2<1.83
（2）解：∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4
（3）解：∵1.90.4>1.90＝1；0.92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4
【分析】(1)由于两式底数相同为1.8>1,由指数函数的单调递增比较大小;
(2)由于两式底数相同为0.7<1,由指数函数的单调递减比较大小;
(3)由于两式底数相同为0.9<1,由指数函数的单调递减比较大小.
20.答案：解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下：
当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增，
∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3；
当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减，
∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3；
综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）．
【分析】针对a取不同范围，结合指数函数的单调性，即可得出答案。
21.答案：（1）解：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2， ），
∴a2= ，∴a= ；
（2）解：∵f（x）=（ ）x在R上单调递减，
又2≤b2+2，∴f（2）≥f（b2+2）
【分析】1、本题考查的是由待定系数法求指数函数的解析式。
2、由指数函数的单调性可得结果。
22.答案：（1）解：当x≥0时，函数为y=（ ）x；
当x＜0时，函数为y=（2）﹣x=2x ， 其图象由y=（ ）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象合并而成．
而y=（ ）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称，
图象如图：


（2）解：由图象可知，值域是（0，1]
（3）解：f[f（﹣1）]=f（ ）= = ．
【分析】1.本题考查的是指数函数的图像和性质，去绝对值符号可得,而y=（ ）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称。
2.数形结合可得。 3、本题考查的是复合函数求值的问题，由-1代入分段函数的第一个解析式得到结果再代入到第一个解析式即可。
23.答案：（1）解：将（1，11）带入函数解析式得：11=a2+2，
∵a＞0，∴a=3；∴f（x）=3x+1+2；
（2）解：y=（3x+1+2）2﹣3x+1﹣2= ；
∵3x＞0，∴ ，∴ ，∴y＞2；
∴原函数的值域为（2，+∞）．
【分析】（1）将点的坐标带入解析式即可求得a．（2）先求出函数解析式，并化简整理成： ，根据3x的范围，即可求得y的范围，即函数y的值域．
24.答案： （1）解：∵f（﹣1） ．
∴ ．
∴a＝2，
所以f（x）＝2x ， g（x）＝（ ）x；
（2）解：两个函数在同一坐标系的图象如图：


（3）解：由图象知当x＝0时，f（x）＝g（x），
若f（x）＜g（x），则x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）
【分析】（1）利用条件建立方程求出a的值即可求出函数的解析式（2）结合指数函数的图象和性质进行作图即可（3）结合图象，利用数形结合进行求解
25.答案：（1）解：当a=﹣1时，f（x）= ，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y= t在R上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，
即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．
（2）解：令h（x）=ax2﹣4x+3，y= h（x） ， 由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）应有最小值﹣1，
因此 =﹣1，解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）解：由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故 a的取值范围是{0}．
【分析】（1）当a=1时，f（x）= ,根据复合函数的单调性（同增异减）即可判断出f（x）的单调区间，（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=，当f（x）有最大值3，则h（x）应有最小值﹣1，代入即可解得a=1，（3）根据指数函数的性质，若y=h（x）的值域为（0，+∞），则h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，分析讨论即可得出a的取值范围是{0}．






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