4.4 对数函数 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第一册4.4对数函数
一、单选题
1.函数f(x)=loga(4-x)(a>0，且a≠1)的定义域是（ ??）

A.?(0，4)??????????????????B.?（4，+∞）??????????????????C.?（-∞，4）??????????????????D.?（-∞，4）∪（4，+∞）
2.已知函数 ，且 ，则 （?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
3.不等式log2x＜ 的解集是（?? ）
A.?{x|0＜x＜ }??????????????????B.?{x|0＜x＜ }??????????????????C.?{x|x＞ }??????????????????D.?{x|x＞ }
4.函数 的图象过定点 （ ）
A.?（1，2）??????????????????????????B.?（2，1）??????????????????????????C.?（-2，1）??????????????????????????D.?（-1，1）

5.在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( ??)

A.?a>5或a<2????????????????????????B.?26.函数 与函数 互为反函数，则 （??? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.已知函数 的最小值为8，则 ??
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
8.已知 ，则 的大小关系为（? ）

A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.已知函数 为函数 的反函数，且函数 的图像经过点 ，则函数 的图

像一定经过点（??? ）

A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
10.函数 的单调增区间为（?? ）
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
11.下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取 ， ， ， ，则图象C1 ， C2 ， C3 ， C4对应的a值依次是（ ???）

A.?， ， ， ?????????????????????????????????????????B.?， ， ，
C.?， ， ， ?????????????????????????????????????????D.?， ， ，
12.若关于 的方程 在区间 上有解，则实数 的取值范围是（?? ）

A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
13.已知函数 的图象与函数 （ ， ）的图象交于点 ，如果

，那么a的取值范围是（?? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
14.已知函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=， 给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
其中正确命题的个数为（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3

二、填空题
15.方程 的根为________
16.函数 的定义域为________．
17.设函数 在区间 上的最大值为 ，则 ________．
18.函数 的最小值为________．
19.已知幂函数 的图象经过点 ，则它的反函数 为________.
20.已知函数 ,则函数 的值域为________，单调减区间为________．
21.设函数 的定义域为A， 的定义域为B， ，则a的取值范围是________．
22.已知函数 的图象过定点 ，若点 也在函数 的图象上，则 ________．
23.已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为________.
24.已知关于x方程log2（x﹣1）+k﹣1=0在区间[2，5]上有实数根，那么k的取值范围是________．

三、解答题
25.已知f（x）＝ （a>0，a≠1）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）求使f（x）>0成立的x的取值范围.
























26.求函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1）的单调区间及值域．
















27.已知：函数f（x）= （a>0且a≠1）.
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）设a= ，解不等式f（x）>0.



答案解析部分
一、单选题
1.答案： C
解：根据题意真数大于零可得4-x>0,即可得出x<4.
故答案为：C
【分析】由真数大于零解出关于x的不等式即可求出函数的定义域。
2.答案： A
解：根据题意，f（a）=2，则log2a=2，解可得：a=4，
故答案为：A．
【分析】由已知利用对数的概念，得到log2a=2，即可求出a的值.
3.答案： B
解：依题意 ，由于 是定义域上的递增函数，故 .
故答案为：B.
【分析】利用底数a的值为2，又因为2大于1，推出对数函数的单调性，再利用对数函数的单调性求出不等式的解集。
4.答案： D
解：因为函数 必过点 ，所以当 时，有 ，所以函数 必过点 .
故答案为：D
【分析】根据对数函数 必过点 ，即可确定相应函数图象所过定点坐标.
5.答案：B
解：由对数的定义知 ?
所以2故答案为：B.
【分析】利用对数的意义，底数大于0且不等于1，真数大于0，即可求实数a的取值范围.
6.答案： C
解：根据 得到 ，故反函数为
故答案为：C
【分析】直接利用反函数定义进行计算得到答案.
7.答案： B
解：函数 的最小值为8，
可得 ，
显然 时 的最小值不为8；
时，由对数函数的性质，
可得当 时，的最小值为 ，
由题意可得 ，
设 ， 在 递增，
， ，可得 ，
故答案为：B．
【分析】根据对数函数的单调性，结合二次函数的最值，解不等式即可求出a的取值范围.
8.答案： C
解：由题意，根据指数函数的性质，可得 ，
根据对数函数的图形与性质，可得 ，
所以 的大小关系为 ，
故答案为：C.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间量进行比较即可.
9.答案： B
解：函数 的图像经过点 ，则函数 的图像经过点 ，
则函数 的图像一定经过点 ，
故答案为：B.
【分析】先求出函数 的图像必经过点，然后即可求出函数 的图像一定经过点.
10.答案： D
解：由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
令 ， ，
则 ，函数 在定义域内为单调递减函数，
又 在 上的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 .
故答案为：D.
【分析】根据对数函数的基本性质：当底数时，且真数单调递减时，该函数便单调递增，代入数据计算，即可得出答案。
11.答案：D
解：过（0，1）作平行于x轴的直线，与C1 ， C2 ， C3 ， C4的交点的坐标，
为（a1 ， 1），（a2 ， 1），（a3 ， 1），（a4 ， 1），
其中a1 ， a2 ， a3 ， a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4 ，
所以C1 ， C2 ， C3 ， C4对应的a值依次是 ， ， ， ．

故答案为:D.
【分析】根据对数函数图象和性质判断.
12.答案： A
解：由题意可得：函数 在区间 上的值域为
，
实数 的取值范围是
故答案为：
【分析】由函数在定义域上单调,则由函数的值域得到关于m的不等式,求m的范围.
13.答案：D
解：由已知中两函数的图象交于点 ，
由指数函数的性质可知，若 ，则 ，即 ，
由于 ，所以 且 ，解得 ，
故答案为：D.
【分析】由指对数函数的性质,两函数的交点坐标应满足的条件求出a的范围.
14.答案： D
解：（1）∵函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），
定义函数F（x）=，
∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，
∴F（x）≠|f（x）|；
故①不对；
（2）∵F（﹣x）==F（x）
∴函数F（x）是偶函数；
故②正确；
（3）∵当a＜0时，若0＜m＜n＜1，
∴|log2m|＞|log2n|，
∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，
即F（m）＜F（n）成立，
故F（m）﹣F（n）＜0成立；
所以③正确；
（4）

∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，
∴x＞0时，（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增
∴x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，
故x＞0时，F（x）与y=﹣2有2个交点，
∵函数F（x）是偶函数，
∴x＜0时，F（x）与y=﹣2有2个交点
故当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
所以④正确，
【分析】（1）|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；①不对：（2）F（﹣x）==F（x），函数F（x）是偶函数；故②正确；（3）|log2m|＞|log2n|，a|log2m|+1＞a|log2n|+1，即F（m）＜F（n）成立；故F（m）﹣F（n）＜0成立；所以③正确；（4）x＞0时，F（x）的最小值为F（1）=1，运用图象判断即可．

二、填空题
15.答案： 3
解： ，
， ，
且 ，
，故答案为3.
【分析】根据对数式的真数大于0，求出x的取值范围，结合两对数相等，解方程即可求出x的值.
16.答案：
解： ? 函数 的定义域为
故答案为
【分析】由根号内非负得到不等式,求函数的定义域.
17.答案：4
解：因为 在区间 上单调递增，
所以 ，
解得 .
【分析】结合对数函数性质，判断f(x)的单调性，即可得出答案。
18.答案：
解：
所以，当 ，即 时， 取得最小值 .
所以答案应填： .
【分析】运用对数的计算性质，转化成二次函数，结合其性质，计算最小值，即可得出答案。
19.答案：
解：因为函数 为幂函数，设 ，则 ，则 ，
即幂函数解析式为 ， ,
即 ，即函数 的反函数为 ，
故答案为： .
【分析】由函数 为幂函数，设 ，将已知条件代入可得 ， ,
再用 表示 ，从而求得函数的反函数.
20.答案：；
解：，
，直线为 ，
由 得 ，
在 上递减， 上递增，
在 上递减，
故答案为 ， .
【分析】（1）掌握对数函数的基本性质（真数恒大于0），即可得出答案。
（2）由题意分析知，当递增时，函数单调递增，否则单调递减，即可得出答案。
21.答案：
解：由 ，可得 ， ，
由 ，可得 或 ．所以 ，
， 或 ，或 ．
故答案为：
【分析】根据函数定义域的求法：真数大于零求解出x的取值范围即为集合A，然后由一元二次不等式的解法求解出x的取值范围，再由边界点之间的关系求解出a的取值范围。
22.答案：
解：当 时 ，所以定点 ，代入 中得

【分析】由已知利用对数的性质，得到定点坐标，代入 解出b，利用对数的运算即可得结果.
23.答案：4
解：由题f（x）过点（4,2）,所以 .
【分析】由y=f-1（x）的图象过点（2，4）得函数y=f（x）的图象过点（4，2），把点（4，2）代入y=f（x）的解析式求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．
24.答案：[﹣1，1]
解：关于x方程log2（x﹣1）+k﹣1=0，即 log2（x﹣1）=1﹣k．
当2≤x≤5时，0≤log2（x﹣1）≤2，∴0≤1﹣k≤2，求得﹣1≤k≤1，
故答案为[﹣1，1]．
【分析】当方程log2（x﹣1）+k﹣1=0，即 log2（x﹣1）=1﹣k，在区间[2，5]上，log2（x﹣1）的值域为[0，2]，解出即可得到0≤1﹣k≤2，从而得到k的取值范围.

三、解答题
25.答案：（1）解：由 >0，得?2（2）解：①当a>1时，由 >0＝loga1得 >1，∴0②当00＝loga1得0< <1，∴?2故当a>1时，所求 ?的取值范围为 ；
当0【分析】(1)求对数型函数的定义域,由真数大于0得不等式,求出定义域;
(2)对数型不等式,要对底数大于1和小于1分类讨论,由函数的单调性求解.
26.答案：解：函数y=loga（x﹣x2）（a＞0，a≠1） ∴x﹣x2＞0，解得：0＜x＜1，
所以函数y=loga（x﹣x2）的定义域是（0，1）．
∴0＜x﹣x2=﹣（x﹣ ）2+ ≤ ，
所以，当0＜a＜1时，loga（x﹣x2）≥loga，函数y=loga（x﹣x2）的值域为[loga，+∞），
当a＞1时，loga（x﹣x2）≤loga，函数y=loga（x﹣x2）的值域为（﹣∞，loga]，
当0＜a＜1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是减函数，在[ ，1）是增函数．
当a＞1时，函数y=loga（x﹣x2）在（0， ]上是增函数，在[ ，1）是减函数
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”可得单调区间，利用对数函数的性质和二次函数的性质可得函数y的值域．
27.答案：解：（Ⅰ）由题知： ，解得：-1所以函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（Ⅱ）奇函数，
证明：因为函数f（x）的定义域为（-1，1），所以对任意x∈（-1，1），
f（-x）= = =-f（x）
所以函数f（x）是奇函数；
（Ⅲ）由题知： 即有 ，解得：-1所以不等式f（x）>0的解集为{x|-1【分析】（Ⅰ）直接利用对数的真数为正数求出结果．
（Ⅱ）利用奇函数的定义求出结果．
（Ⅲ）利用对数函数的单调性与特殊点解对数不等式求出结果．






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