5.1 任意角和弧度制 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第一册5.1任意角和弧度制
一、单选题
1.将 角化为弧度制为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.将 弧度化成角度为（??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
3.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是(　　)
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.若角a=-4，则a的终边在（ ?）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
5.与 终边相同的角的集合是（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????D.?
6.若扇形的圆心角为2弧度，它所对的弧长为4,则扇形的面积为( ??)
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
7.是（??? ）
A.?第一象限角???????????????????????B.?第二象限角???????????????????????C.?第三象限角???????????????????????D.?第四象限角

8.下列角的终边位于第四象限的是（?? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
9.若角 ， ，（ ， ），则角 与 的终边的位置关系是（?? ）
A.?重合??????????????????????B.?关于原点对称??????????????????????C.?关于 轴对称??????????????????????D.?关于 轴对称

10.若角 ， ，则角 的终边落在（??? ）
A.?第一或第三象限????????????? B.?第一或第二象限?????????????
C.?第二或第四象限????????????? D.?第三或第四象限
11.下列命题中正确的是（?? ）
A.?终边在 轴负半轴上的角是零角???????B.?三角形的内角必是第一、二象限内的角
C.?不相等的角的终边一定不相同?????????????D.?若 （ ），则 与 终边相同
12.已知角 是第二象限角，那么角 是( ??)．
A.?第一、二象限??????????????????B.?第一、三象限??????????????????C.?第二、四象限??????????????????D.?第二、三象限
13.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为(?? )
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
14.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（ ??）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?

二、填空题
15.在单位圆中， 的圆心角所对的弧长为________.
16.若扇形圆心角为 ，扇形面积为 ，则扇形半径为________.

17.若扇形的周长是 ，圆心角是2(rad)，则扇形的面积是________ .

18.已知扇形的周长是4cm，面积是1cm2 ， 则扇形的圆心角的弧度数是________．

19.已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α与120°角终边相同，则α=________．

20.如图，写出终边落在阴影部分的角α的集合（含边界）________．

21.若角α和β的终边关于直线x+y=0对称，且α=﹣ ，则角β的集合是________
22.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为________平方米．
三、解答题
23.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）﹣135°?????????? （2）．



24.在角的集合{α|α=k?90°+45°，k∈Z}中：
（1）有几种终边不相同的角？
（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？
（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．








25.写出如图所示阴影部分的角α的范围．









26.计算：
（1）已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
（2）已知扇形的周长为40，当他的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？








27.某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为 米，圆心角为 （弧度）．

（1）求 关于 的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 ，求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值．



答案解析部分
一、单选题
1.答案：B
解：由 弧度，所以 弧度.
故答案为：B.
【分析】由知，,则,化简即可.
2.答案： C
解：由题意可得， .
故答案为：C.
【分析】利用弧度化角度公式可得出结果.
3.答案： A
解：将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是 .
故答案为：A.
【分析】由已知将表的分针拨慢10分钟，得到分针逆时针转过60°，利用角度制与弧度制的互化即可得结果.
4.答案： A
解：∵， 且， ∴的终边在第二象限。
故答案为：A?
【分析】直接由， 实数的大小比较判断角的终边所在的象限。
5.答案： D
解：根据角的终边相同的定义的写法，若α＝ ，
则与角α终边相同的角可以表示为k?360° （k∈Z），即 （k∈Z）
故答案为：D．
【分析】根据角的终边相同的定义，即可得结果.
6.答案： A
解： ?
故答案为：A.
【分析】根据扇形的弧长公式，面积公式计算即可,
7.答案：B
解： ，则 与 终边相同，它是第二象限角.
故答案为：B.
【分析】本题利用象限角的知识判断出所求角所在的象限。
8.答案： C
解： 位于第一象限； 位于第二象限； 位于第四象限； 位于 轴负半轴.
故答案为：C.
【分析】根据终边相同角的特点，转化为0-360之间的角进行判断即可.
9.答案： D
解： ??? 与 终边相同
??? 与 终边相同
又 ，即终边关于 轴对称
与 终边关于 轴对称
故答案为：
【分析】由已知得到与 终边相同，与 终边相同，又由 ，即可判断角 与 的终边的位置关系.
10.答案： A
解： ,
当 时， ，此时 为第一象限角，排除 ；
当 时， ，此时 是第三象限角，排除 ；
角 的终边落在第一或第三象限角，
故答案为：A.
【分析】根据角的特点，可判断角的终边落在第一或第三象限.
11.答案： D
解：对于答案A，因为终边落在 轴负半轴上的角可以表示为 ，故说法不正确；对于答案B，由于直角也是三角形的内角，但不在第一、第二象限，故也不正确；
对于答案C，由于 ，但其终边相同，所以也不正确.
故答案为：D。
【分析】根据任意角的特点，终边落在 轴负半轴上的角可以表示为 ；三角形的内角在第一、第二象限或y轴正半轴上；不相等的角终边可能相同.
12.答案： B
解：由题可知 ，
所以 ,
当 偶数时， 在第一象限；当 奇数时， 在第三象限.
故答案为：B
【分析】首先根据角 是第二象限角写出 的范围，再讨论 为奇数和偶数的情况.
13.答案：B
解：由弦长公式 ，可得 ，
其中 是弦所在的圆的半径， 是弦所对圆心角， 是弦长，
解得 ，所以这个圆心角所对的弧长为 ，
故答案为：B.
【分析】由弦长求出半径,再由弧长公式求弧长.
14.答案： D
解：∵分针每分钟转
∴分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为
∴
故答案为：D
【分析】首先要知道分针每分钟转 6 °，然后求出1点到3点20分的总角度，最后将角度转化为弧度。

二、填空题
15.答案：
解：由弧长公式l＝|α|r 1 ，
故答案为： ．
【分析】由弧长公式即可算出结果.
16.答案： 2
解：依题意可知，圆心角的弧度数为 ，设扇形半径为 ，则 .
【分析】求出圆心角的弧度数，根据扇形的面积公式，解方程，即可求出扇形的半径.
17.答案： 16
解：设扇形半径为 ，弧长为 ，则 ， ，所以 ，则扇形面积为 .
【分析】本题利用扇形周长公式求出圆的半径，再结合圆心角，利用扇形的面积公式求出扇形的面积。
18.答案：2
解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=4， S面积= lr=1
所以解得：r=1，l=2
所以扇形的圆心角的弧度数是α= =2
故答案为：2．
【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α= ，求出扇形圆心角的弧度数．
19.答案：﹣960°
解：α与120°角终边相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z． ∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，
∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，
∴k=﹣3，此时α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．
故答案为：﹣960°．
【分析】α与120°角终边相同，可表示为α=k?360°+120°，k∈Z，结合角的范围，可得结论．
20.答案：{α|k?360°≤α≤45°+k?360°，k∈Z}
解：如图，终边落在阴影部分的角在0°～360°内为：0°≤α≤45°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|k?360°≤α≤45°+k?360°，k∈Z}．
故答案为：{α|k?360°≤α≤45°+k?360°，k∈Z}．
【分析】由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合
21.答案：{β｜β=2kπ﹣ ，k∈Z}
解：∵角α、β的终边关于直线直线x+y=0对称，且α=﹣ ， ∴β=2kπ﹣ ，
∴角β的集合是：{ β|β=2kπ﹣ ，k∈Z}
故答案为：{ β|β=2kπ﹣ ，k∈Z}
【分析】利用终边相同的角的集合的性质定理即可得出．
22.答案：120
解：扇形的半径为 ，故面积为 （平方米），填 ．
【分析】由题可知扇形半径为12，根据扇形面积公式求解。

三、解答题
23.答案：解：（1）﹣135°=﹣135×=﹣
（2）=×180°=660°
【分析】直接利用角度与弧度的互化，求解即可。
24.答案：（1）解：在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，
与45°、135°、225°、315°对应，
（2）解：由﹣360°＜k?90°+45°＜360°得﹣ ＜k＜ ．
又k∈Z，故k=﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．
∴在给定的角的集合中适合不等式﹣360°＜α＜360°的角共有8个
（3）解：其中是第二象限角可表示成k?360°+135°，k∈Z
【分析】（1）可以在直角坐标系中画一画 4个一循环；（2）解不等式﹣360°＜k?90°+45°＜360°即可得出答案；（3）根据（1）可知得出结果．
25.答案：解：（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°+k?360°，k∈Z的形式，与﹣180°+30°=﹣150°角终边相同的角可写成﹣150°+k?360°，k∈Z的形式，所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|﹣150°+k?360°＜α≤45°+k?360°，k∈Z}．
（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°+k?360°，k∈Z的形式，与360°﹣60°=300°角终边相同的角可写成300°+k?360°，k∈Z的形式，所以图（2）中角α的范围为{α|45°+k?360°≤α≤300°+k?360°，k∈Z}.
【分析】利用终边相同的角的集合的表示方法，结合角的终边的位置，即可得出结论．
26.答案：解：（1）设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，
∵S扇形=lr=4，解得：r=4，l=2
∴扇形的圆心角的弧度数是：=；
（2）设扇形的半径和弧长分别为r和l，
由题意可得2r+l=40，
∴扇形的面积S=lr=?l?2r≤2=100．
当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号，
此时圆心角为α==2，
【分析】（1）根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=求出扇形圆心角的弧度数．（2）由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=lr=?l?2r，由基本不等式可得。
27.答案：（1）解：由题可知 ，
所以 .
（2）解：花坛的面积为 ，
装饰总费用为 ，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为 ，
令 ， ，
则 ，
当且仅当 取等号，此时 ， ，
故花坛的面积与装饰总费用之比为 ，
且 的最大值为
【分析】（1）弧度制中弧长=半径乘以圆心角。
（2）结合（1）用x表示面积，再表示y.最后利用对勾函数或者不等式求出最值.






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