5.4 三角函数的图象与性质 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第一册 5.4 三角函数的图象与性质
一、单选题
1.函数 的图像（???? ）
A.?关于 轴对称??????? B.?关于直线 对称???????
C.?关于点 对称??????? D.?关于点 对称
2.若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（??? ）
A.?0??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
3.函数 的最小正周期是（??? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.在 上的值域为 ???
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
5.的一个单调递增区间是 (?? )

A.?[ ， ]??????????????????B.?[－ ， ]??????????????????C.?[－ ， ]??????????????????D.?[ ， ]

6.函数 的值域为（??? ） ?
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
7.已知函数 的图像关于直线 对称，且 ，则 的最小值是(?? )
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
8.定义在区间 的函数 的值域是 ，则 的最大值与最小值之和为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
9.将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，所得函数的一条对称轴为（ ??）

A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
10.函数 ，则（ ??）
A.?函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数???
B.?函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数
C.?函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数????
D.?函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数

二、填空题
11.函数 的定义域为________．

12.函数 的单调递增区间为________．

13.设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
14.关于函数 ，有以下命题：

①函数 的定义域是 ；
②函数 是奇函数；
③函数 的图象关于点 对称；
④函数 的一个单调递增区间为 ．

其中，正确的命题序号是________．

三、解答题
15.作出函数y=3sin（ x+ ）在长度为一个周期的闭区间上的简图.









16.已知 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.














17.设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3 （Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，求cos2θ的值．







18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．


（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；

（2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f ，求cosA的值．




答案解析部分
一、单选题
1.答案： D
解：当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A,C不符合题意；
当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称；
故答案为：D.
【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
2.答案： B
解：函数 是偶函数，
，即 ，
或 ， ，
当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性；
当 时， ， ，
当 时， .
故答案为：B.
【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案．
3.答案： B
解： ， ，?
故答案为：B
【分析】由三角函数的最小正周期 ，即可求解。
4.答案： C
解：，
，
，即 ，
故答案为：C．
【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域.
5.答案： A
解：因为 ，
所以由 得
因此一个单调递增区间是[ ， ]，
故答案为：A.
【分析】先将x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行求单调增减区间．
6.答案：C
解： ，
当 时， 当 时， .所以值域为 ?. 故答案为：C
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。
7.答案： B
解：因为函数 的图像关于直线 对称，
所以 （1），由 ，可知 （2），
⑴-⑵得， ，
又因为 ?所以 的最小值是2，
故答案为：B。
【分析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 （1），由 ，可知 （2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出 的最小值 。
8.答案： D
解： ，因为 ，
所以 ，由函数 在区间 上的值域为 ，
不妨令 ，则 ，
所以 的最大值为 ；
最小值为 ，所以
故答案为：D
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。
9.答案：D
解：函数 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为： ，再向右平移 个单位得到函数为：
= ，所得函数的图象的一条对称轴为： ．
故答案为：D．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．
10.答案：D
解：对于函数 ，
因为 ，
所以它的最小正周期为 ，
当 时， ，函数 单调递增，
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。

二、填空题
11.答案：
解：根据题意有 ,有 ,
解得 ，
故定义域为 .
【分析】本题主要考查复合函数的定义域，由题中条件可得， 结合正弦函数的图像即可求出x的范围。
12.答案：
解：函数 =2sin（x+ ）， 令 ，k∈Z，
得： ，
∴函数f（x）的单调递增区为： ．
故答案为： ．
【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间．
13.答案：
解：因为 对任意的实数x都成立，
所以，当 时函数 取最大值，
所以
因为 ，所以当 时，ω取最小值为 .
故答案为 .
【分析】本题主要考查余弦函数的定义域和最值，由题中条件可得当 时函数 取最大值，从而可得， 再结合， 即可求出ω的最小值。
14.答案：①③
解：函数 应满足 ， ，
即 ， ，故①正确；
由于 ，故②错；
将 代入 ，
得到 ，故③正确；
由 ， ，
知函数的单调增区间为 ， ，故④错.
【分析】结合正切函数的图像以及性质逐一判断即可得出结论。
三、解答题
15.答案：解：对于函数y=3sin（ x+ ），列表：
x+ ?0 ?? ?π ?? ?2π
?x ﹣ ?? ?? ?? ??
?y ?0 ?3 ?0 ﹣3 ?0
作图：

【分析】用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
16.答案：（1）解：由条件得， ?
，
所以 的最小正周期为 .
（2）解：因为 ，所以 .
当 时， 的最大值为2；
当 时， 的最小值为-1.
【分析】（1）用辅助角公式对函数进行化简，再用T=求解。
（2）根据正弦函数求最值方法进行求解。
17.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3
=4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4× +3
=2sin2x+2cos2x+1=2 sin（2x+ ）+1，
令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，又x∈（0，π），
所以f（x）的单调递减区间是[ ， ]；
（Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，
令x=0，得f（0）=2 sin +1=3；
令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，解得x= ，∴θ＞ ；
令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ，
∴2x+ ＜ ，解得x＜ ，即θ＜ ；
∴θ∈（ ， ），∴2θ+ ∈（ ， ）；
由2 sin（2θ+ ）+1=0，得sin（2θ+ ）=﹣ ，
所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ，
所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ]
=cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin
=﹣ × +（﹣ ）× =﹣ ．
【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+ ）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2θ的值．
18.答案：（1）解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象，
可得 ，∴ω=2，
再根据五点法作图可得2? +φ= ，∴φ= ，f（x）=sin（2x+ ）．
（2）解：∵已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，
且f =sinA= ，∴A= ，∴cosA= ．
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得 cosA 的值．






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