5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 同步练习（含答案解析）

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人教A版（2019）数学必修第一册 5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
一、单选题
1.要得到 的图象，只需将 的图象 (?? )
A.?向左平移 个单位????? B.?向右平移 个单位?????
C.?向右平移 个单位????? D.?向左平移 个单位

2.函数 的图象如图所示，则y的表达式为（??? ）

A.?????? B.??????
C.?????? D.?
3.函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需将 图象（??? ）

A.?向右平移 个单位长度?????????????????????????????????????B.?向左平移 个单位长度
C.?向右平移 个单位长度??????????????????????????????????D.?向左平移 个单位长度
4.设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，则 的最小值是（?? ）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5.已知函数 在一个周期内的图像如图所示，其中 分别是这段图像的最高点和最低点， 是图像与 轴的交点，且 ，则 的值为（?? ）

A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
6.若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的一条对称轴为（??? ）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ??）
A.?把 上各点横坐标伸长到原来的 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线 ?????????
B.?把 上各点横坐标伸长到原来的 倍，再把得到的曲线向右平移 ，得到曲线
C.?把 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线 ?????????
D.?把 向右平移 ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ，得到曲线
8.已知函数 ? 的部分图象如图所示，为了得到 的图象，可以将 的图象（?? ）

A.?向右平移 个单位长度?????????????????????????????????????B.?向左平移 个单位长度
C.?向右平移 个单位长度?????????????????????????????????????D.?向左平移 个单位长度
9.已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象对应的函数 为奇函数，则 的最小值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
10.已知ω为正整数，函数f（x）=sinωxcosωx+ 在区间 内单调递增，则函数f（x）（ ?? ）
A.?最小值为 ，其图象关于点 对称
B.?最大值为 ，其图象关于直线 对称
C.?最小正周期为2π，其图象关于点 对称
D.?最小正周期为π，其图象关于直线 对称
11.已知函数 （其中 ）的图象关于点 成中心对称，且与点 相邻的一个最低点为 ，则对于下列判断：
①直线 是函数 图象的一条对称轴；
②点 是函数 的一个对称中心；
③函数 与 的图象的所有交点的横坐标之和为 .
其中正确的判断是（??? ）
A.?①②????????????????????????????????????B.?①③????????????????????????????????????C.?②③????????????????????????????????????D.?①②③
12.将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（?? ）
A.?[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）??????????????????????????B.?[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
C.?[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）???????????????????????D.?[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

二、填空题
13.振动量 的初相和频率分别为 和 ，则它的相位是________．
14.先将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，得到函数 的图象，函数 的解析式为________.
15.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 的值为________.
16.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0， )的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

17.已知函数 的最大值与最小正周期相同，则函数f（x）在[﹣1，1]上的单调增区间为________．
18.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在区间 上有且仅有一个零点，则 的取值范围为________．
三、解答题
19.已知函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）用五点法在图中作出 在闭区间 上的简图；

（3）说明 的图象可由 的图象经过怎样的变化得到？







20.某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣ ，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？










21.已知函数 的图像与直线 两相邻交点之间的距离为 ，且图像关于 对称.?
（1）求 的解析式；
（2）先将函数 的图象向左平移 个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的 倍，得到函数 的图象.求 的单调递增区间以及 的 取值范围.










22.已知函数 ，其最小正周期为 ．
（1）求 ?的表达式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ?的图象，若关于 ?的方程 ?在区间 上有解，求实数 的取值范围．



答案解析部分
一、单选题
1.答案： D
解：将 的图象向左平移 个单位后，得到 的图象，
故答案为：D.
【分析】先明确变换前后的解析式，然后按照平移规则可求.
2.答案： B
解：根据图像可得 ， ，即 ，
根据 ，得 ，
所以 ，
代入 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
又因 ，所以得 ，
所以得到 ，
故答案为：B.
【分析】根据图像最大值和最小值可得 ，根据最大值和最小值的所对应的 的值，可得周期 ，然后由 ，得到 ，代入点 ，结合 的范围，得到答案.
3.答案： C
解：由题意得： ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 图象向右平移 个单位长度可得：
.
故答案为：C.
【分析】根据函数 的图象求得 ，再根据左加右减平移变换，要得到 的解析式，观察出如何进行平移变换.
4.答案： D
解：将 的图像向右平移 个单位后得到函数解析式为 .
∵平移后与原图像重合
∴ ，即
∵
∴ 的最小值是
故答案为：D.
【分析】本题利用三角型函数的图象变换结合三角型函数的图象求出ω的最小值。
5.答案： C
解：解：过 分别作 轴的垂线，垂足为 ，

因为函数的周期为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据三角型函数的图象求出周期，再利用直角三角形勾股定理求出A的值。
6.答案：A
解：将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，平移后图象的一条对称轴为 ?当k=0时，对称轴为 .
故答案为：A
【分析】运用三角函数平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后解析式，再由对称轴方程解得。
7.答案：B
解：对于 ，
对于 , ,
对于 ， ,
对于 ， ,

故答案为:B.
【分析】由三角函数的图象变换对各选项变换进行对比.
8.答案： A
解：根据函数的图象得： ，
利用 ，解得 ，
则 ，
当 时， ，
解得 .
，
为了得到 的图象，可以将 的图象向右平移 个单位长度.
【分析】由函数图像确定A，周期，，代入已知一点确定解出函数解析式。利用三角函数平移规律得到答案。
9.答案：C
解：根据题意可得：
为奇函数，


，
故答案为：
【分析】利用三角函数的性质以及图象之间的变换求解。
10.答案：D
解：∵f（x）=sinωxcosωx+ = sin2ωx+ ﹣ = sin（2ωx+ ），
又∵f（x）在区间 内单调递增，
∴由﹣ ≤2×（﹣ ）ω+ ，2× ω+ ≤ ，解得：ω≤ ，ω≤ ，
∴由ω为正整数，可得ω=1，f（x）= sin（2x+ ），
∴f（x）的最大值为 ，最小正周期为π，故A，C选项错误；
∵令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得：x= + ，k∈z，
可得当k=﹣1时，f（x）关于直线x=﹣ 对称．
∴B选项错误，D选项正确．
故选：D．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）= sin（2ωx+ ），由正弦函数的图象和性质可求ω的值，进而即可得解．
11.答案：C
解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为（ ，﹣3），
则： ，所以：T=π，
进一步解得： ，A=3
由于函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（ ，0）成中心对称，所以： （k∈Z），解得： ，
由于0＜φ＜π，
所以：当k=1时， ．
所以：f（x）=3 ．
当x= 时，f（ ）=﹣3sin =﹣ ，故错误．
②当x= 时，f（ ）=3sin0=0，，故正确．
③由于：﹣ ≤x≤ ），
则： ，
所以函数f（x）的图象与y=1有6个交点．
根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6 ，
根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．
故答案为：C
【分析】利用 f ( x ) = A sin ( w x + φ )的图像和性质。
12.答案：B
解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标
伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得y=cos（ ωx+φ）图象；
再向右平移 个单位长度，得到 y=cos[ ω（x﹣ ）+φ]=cos（ ωx﹣ ?ω+φ）的图象，
而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴ =1，∴ω=2；
再根据﹣ ?2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ= ，f（x）=cos（2x+ ）．
令2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，（k∈Z），
故选：B．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

二、填空题
13.答案：
解：由题意知 ， ，∴ ．∴ ．相位是 ．
【分析】根据初相和频率的值分别求出φ、 ω进而求出函数的解析式故可求出相位的值。
14.答案：
解：将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，
再向上平移 个单位后，得到函数
故答案为：
【分析】根据图象变换即可得到函数g（x）的表达式.
15.答案：
解：将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，所以 ， 。
故答案为 .【分析】由三角函数的图象变换规律，得到f(x)的表达式，再求函数值。
16.答案：
解：由 的最大值为 求出 ，
， ，
将点 代入 ，可得 ，
结合 得到 ，可得 ，
故答案为 .
【分析】振幅确定A值，周期确定w值，初相确定φ，根据图像确定好振幅、周期和初相。
17.答案：
解：函数 的最大值为2，
最小正周期 ，∴ ，∴ω= ，函数 ，
由 ，k∈Z，
解得： ，k∈Z，
∴当k=0时，函数f（x）在[﹣1，1]上的单调增区间： ．
故答案为： ．
【分析】本题考查的是函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，得到.由 ，当k=0时，函数f（x）在[﹣1，1]上的单调增区间得到结果。
18.答案：
解：将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象，
函数 在区间 上有且仅有一个零点，
， ，解得
故答案为 .
【分析】首先求出函数经过平移变换后的函数解析式，根据函数在区间有且仅有一个零点求出ω的取值。
三、解答题
19.答案：（1）解：∵

∴
∴ ；
（2）解：列表：



作图：

（3）解：把 的图象向左平移个单位，可得函数 的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的 倍，可得函数 的图象；
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的 倍，可得函 图象
【分析】（1）由条件利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由x∈[0，]根据正弦函数的定义域和值域即可得解．
（2）用五点法，列表、描点，即可作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
20.答案：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣ =10﹣2sin（ t+ ），t∈[0，24），
∴ ≤ t+ ＜ ，
故当 t+ = 时，即t=14时，函数取得最大值为10+2=12，
当 t+ = 时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，
由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（ t+ ），
由10﹣2sin（ t+ ）＞11，求得sin（ t+ ）＜﹣ ，
即? ＜ t+ ＜ ，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（ t+ ），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（ t+ ）＜﹣ ，即 ＜ t+ ＜ ，解得t的范围，可得结论．
21.答案：（1）解：由已知可得 , ，∴
又 的图象关于 对称，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ .
所以 ；
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
由 ，得 ，
的单调递增区间为 ， .
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
【分析】（1）利用周期公式，结合最高点的坐标，求出相应的参数，即可求出函数的解析式；
（2）利用平移变换求出g(x)的解析式，可得g ( x ) 的单调递增区间，再利用正弦函数的性质，即可解不等式。
22.答案： （1）解：
又 的最小正周期 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
（2）解：将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）得到 的图象，
所以 ，
当 ?时， ，
易知当 ，即 时， 递增，且 ，
当 ，即 ?时， 递减，且 ．
又 ?在区间 ?上有实数解，
即函数 与 的图象在区间 上有交点，
所以 。
解得 ?所以实数 的取值范围是[ ]
【分析】（1）本题利用正弦函数和余弦函数二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)得出三角型函数，再利用求周期的公式求出的值，从而求出三角型函数f(x)的解析式。
（2）本题利用三角型函数的图象变换结合函数与方程的关系，从而求出实数k的取值范围。






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