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单县一中西校高二数学周末定时练 03-14
一．单选题（每个 5分）
1．已知 i为虚数单位， ,a b?R ，复数
1
2
i i a bi
i
?
? ? ?
?
，则 a bi? ?（ ）
A．
1 2
5 5
i? B． 1 2
5 5
i? C． 2 1
5 5
i? D． 2 1 i
5 5
?
2．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． 2(1 )i i? B． ? ?2 1i i? C． 2(1 )i? D． ? ?1i i?
3．设复数 z满足 ? ?1 3i z i? ? ? ，则 z ?（ ）
A． 2 B． 2 C． 22 D． 5
4．函数 f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，是导数 y=f′（x）的图象，则函数 y=f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若 2x ? ? 是函数 2 1( ) ( 1)e xf x x ax ?? ? ? 的极值点，则 ( )f x 的极小值为（ ）．
A． 1? B． 32e?? C． 35e? D．1
二.多选题
7．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A．纯虚数 z的共轭复数是 z? B．若 1 2 0z z? ? ，则 21z z?
C．若 1 2z z? ?R ，则 1z 与 2z 互为共轭复数 D．若 1 2 0z z? ? ，则 1z 与 2z 互为共轭复数
8．已知 i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A．若 x, y?C ,则 1x yi i? ? ? 的充要条件是 1x y? ? B． 2( 1) ( )a i a? ?R 是纯虚数
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C．若 2 21 2 0z z? ? ,则 1 2 0z z? ? D．当 4m ? 时,复数 2 2lg( 2 7) ( 5 6)m m m m i? ? ? ? ? 是纯虚数
9．已知函数 ? ?f x 的定义域? ?1, 5? ，部分对应值如表， ? ?f x 的导函数 ? ?y f x?? 的图象如图所示，下列关于函数
? ?f x 的结论正确的是（ ）
x 1? 0 4 5
? ?f x 1 2 2 1
A．函数 ? ?f x 的极大值点有 2个 B．函数 ? ?f x 在? ?0, 2 上是减函数
C．若 ? ?1,x t? ? 时， ? ?f x 的最大值是 2，那么 t的最大值为 4 D．当1 2a＜ ＜ 时，函数 ? ?y f x a? ? 有 4个零点
10．若直线 l与曲线C满足下列两个条件：①直线 l在点 ? ?0 0,P x y 处与曲线C相切；②曲线C在点 P附近位于直
线 l的两侧，则称直线 l在点 P处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ）
A．直线 : 0l y ? 在点 (0,0)P 处“切过”曲线 3:C y x? B．直线 : 1l y x? ? 在点 (1,0)P 处“切过”曲线 : lnC y x?
C．直线 :l y x? 在点 (0,0)P 处“切过”曲线 : sinC y x? D．直线 :l y x? 在点 (0,0)P 处“切过”曲线 : tanC y x?
三.填空题
11．曲线 23( )e xy x x? ? 在点 (0,0)处的切线方程为___________．
12．已知过点 ? ?1,A m 恰能作曲线 ? ? 3 3f x x x? ? 的两条切线，则m的值是______．
四.简答题（每个 12分）
13．已知函数 ? ? ? ? 22 1 lnf x ax a x
x
? ? ? ? ， ? ? 22 lng x a x
x
? ? ? ，其中a R? .
（1）当 0a ? 时，求 ? ?f x 的单调区间；
（2）若存在 2
1 ,x e
e
? ?? ? ?? ?
，使得不等式 ? ? ? ?f x g x? 成立，求 a的取值范围.
14．已知函数 ? ? ? ?3 21 13f x x a x x? ? ? ? ．
（1）若 3a ? ，求 ? ?f x 的单调区间；
（2）证明： ? ?f x 只有一个零点．
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15．已知函数 ( ) ( ) xf x x k e? ? ．
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）求 ( )f x 在区间[0,1]上的最小值．
16． 已知函数 2
1( ) 2
2
xf x x x ae? ? ? ?
(1)若 1a ? ，求 ( )f x 在 1x ? 处的切线方程；
(2)若 ( )f x 在 R上是增函数，求实数 a的取值范围．
17．已知函数 f(x)=ex-x2+a,x∈R的图象在 x=0处的切线方程为 y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)当 x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若 f(x)>kx对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k的取值范围.
0314 周末定时练参考答案
1．B复数
1
2
i i a bi
i
?
? ? ?
?
，得
(1 )(2 ) 1 3 1 2
(2 )(2 ) 5 5 5
i ia b i= ii i i
i i
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
，
所以
1 2
5 5
a b i= i ? ? ，故选 B．
2．C 2i 1+i) i 2i=-2,? ?（ 2i (1 i) 1 i? ? ? ? , 2(1 i) 2i? ? , i(1 i) 1 i? ? ? ? ,所以选 C.
3．D因为 ? ?1 3i z i? ? ? ，所以 3 1 (3 )(1 ) 2
1 2
iz i i i
i
?
? ? ? ? ? ?
?
,
因此 5,z ? 选 D.
4．A由 f'(x)=2x+1-
21 2 -1x x
x x
?
? =0,得 x=
1
2
或 x=-1(舍去).当 01
2
时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当 x>
1
2
时,f'(x)>0,f(x)
单调递增.则 f(x)的最小值为 f
1 3
2 4
? ? ?? ?
? ?
+ln 2>0,所以无零点.选 A.
5．D由 ? ?'f x 的图象可知， 1x ? ? 时， ? ?' 0f x ? ，可得函数 ? ?f x 是减函数； 1 1x? ? ? 时， ? ?' 0f x ? ，可得函
数 ? ?f x 是增函数； 1x ? 时， ? ?' 0f x ? ，可得函数 ? ?f x 是减函数；由导函数图象可知，x ???时， ? ?' 0f x ? ，
说明 x ???时，函数 ? ?f x 的切线斜率趋向于零，由此可以判断函数 ? ?f x 的图象为 D ，故选 D.
6．A由题可得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 12 1 2 1x x xf x x a e x ax e x a x a e? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ，
因为 ? ?2 0f ? ? ? ，所以 1a ? ? ， ? ? ? ?2 11 xf x x x e ?? ? ? ，故 ? ? ? ?2 12 xf x x x e ??? ? ? ，
令 ? ? 0f x? ? ，解得 2x ? ? 或 1x ? ，
所以 ? ?f x 在 ? ? ? ?, 2 , 1,?? ? ?? 上单调递增，在 ? ?2,1? 上单调递减，
所以 ? ?f x 的极小值为 ? ? ? ? 1 11 1 1 1 1f e ?? ? ? ? ? ，故选 A．
7．AD A．根据共轭复数的定义，显然是真命题；
B．若 1 2 0z z? ? ，则 1 2z z? ，当 1 2,z z 均为实数时，则有 21z z? ，当 1z ， 2z 是虚数时， 21 ?z z ，所以 B是假命
题；
C．若 1 2z z? ?R ，则 1 2,z z 可能均为实数，但不一定相等，或 1z 与 2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所
以 C是假命题；
D. 若 1 2 0z z? ? ，则 1 2z z? ，所以 1z 与 2z 互为共轭复数，故 D是真命题.故选：AD
8．取 x i? , y i? ? ,则 1x yi i? ? ? ,但不满足 1x y? ? ,故 A 错误；
a? ?R , 2 1 0a ? ? 恒成立,所以 2( 1a i? ) 是纯虚数,故 B 正确；
取 1z i? , 2 1z ? ,则 2 21 2 0z z? ? ,但 1 2 0z z? ? 不成立,故 C 错误;
4m ? 时，复数 2 21 2 7 5 6 =42g m m m m i i? ? ? ? ?( ) ( ) 是纯虚数,故 D 正确. 故选:BD.
9．由 ? ?f x? 的图象，当 1 0x? ? ＜ 或2 4x＜ ＜ ， ? ? 0f x? ＞ ，函数 ? ?f x 为增函数，
当0 2x＜ ＜ 或 4 4x ?＜ ， ? ? 0f x? ＜ ，函数 ? ?f x 为减函数，
即当 0x ? 时，函数 ? ?f x 取得极大值，当 4x ? 时，函数 ? ?f x 取得极大值，
即函数 ? ?f x 有两个极大值点，故 A正确，函数 ? ?f x 在? ?0, 2 上是减函数，故 B正确，
作出 ? ?f x 的图象如图:
若 ? ?1,x t? ? 时， ? ?f x 的最大值是 2，则 t 满足0 5t? ? ，即 t 的最大值是 5，故 C错误，
由 ? ? 0y f x a? ? ? 得 ? ?f x a? ，若 ? ?2 1f ? ，当1 2a＜ ＜ 时， ? ?f x a? 有四个根，
若 ? ?1 2f a＜ ＜ ，当1 2a＜ ＜ 时， ? ?f x a? 不一定有四个根，有可能是 2个，
故函数 ? ?y f x a? ? 有 4个零点不一定正确，故 D错误， 选 AB
10．A项,因为 23y x? ? ,当 0x ? 时, 0y? ? ,所以 : 0l y ? 是曲线 3:C y x? 在点 (0,0)P 处的切线.当 0x ? 时, 0y ? ；
当 0x ? 时, 0y ? ,所以曲线C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,结论正确； B项,
1y
x
? ? ,当 1x ? 时, 1y? ? ,在
(1,0)P 处的切线为 : 1l y x? ? . 令 ( ) 1 lnh x x x? ? ? ,则 1 1( ) 1 ( 0)xh x x
x x
?? ? ? ? ? ,
当 1x ? 时, ( ) 0h x? ? ；当0 1x? ? 时, ( ) 0h x? ? ,所以 min( ) (1) 0h x h? ? .故 1 lnx x? ,
即当 0x ? 时,曲线C 全部位于直线 l 的下侧（除切点外）,结论错误；
C项, cosy x? ? ,当 0x ? 时, 1y? ? ,在 (0,0)P 处的切线为 :l y x? ,
由正弦函数图像可知,曲线C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,结论正确；
D项, 2
1
cos
y
x
? ? ,当 0x ? 时, 1y? ? ,在 (0,0)P 处的切线为 :l y x? ,
由正切函数图像可知,曲线C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,结论正确. 故选：ACD.
11．3 0x y? ? .【解析】 / 2 23(2 1) 3( ) 3( 3 1) ,x x xy x e x x e x x e? ? ? ? ? ? ? 所以， / 0| 3xk y ?? ? 所以，曲线
23( )e xy x x? ? 在点 (0,0)处的切线方程为 3y x? ，即3 0x y? ? ．
12．-3或-2【解析】设切点为(a,a3-3a).∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,
∴切线的斜率 k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为 y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).
∵切线过点 A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即 2a3-3a2=-3-m.
∵过点 A(1,m)可作曲线 y=f(x)的两条切线,∴关于 a 的方程 2a3-3a2=-3-m 有两个不同的根.
令 g(x)=2x3-3x2,∴g'(x)=6x2-6x.令 g'(x)=0,解得 x=0或 x=1,
当 x<0时,g'(x)>0,当 01时,g'(x)>0,
∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
∴当 x=0时,g(x)取得极大值 g(0)=0,当 x=1时,g(x)取得极小值 g(1)=-1.
关于 a 的方程 2a3-3a2=-3-m 有两个不同的根,等价于 y=g(x)与 y=-3-m 的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或
-3-m=0,解得 m=-3或 m=-2,∴实数 m 的值是-3或-2.
13． ? ?y f x? 的定义域为 ? ?0, ?? ， ? ? ? ? ? ? ? ?
2
2 2 2
2 1 2 1 22 1 2 ax a x ax xaf x a
x x x x
? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? .
当 0a ? 时，令 ? ? 0f x? ? ，可得 1 0x
a
? ? 或 2x ? .
①当
1 2
a
? 时，即当
1
2
a ? 时，对任意的 0x ? ， ? ? 0f x? ? ，此时，函数 ? ?y f x? 的单调递增区间为 ? ?0, ?? ；
②当
10 2
a
? ? 时，即当
1
2
a ? 时，令 ? ? 0f x? ? ，得 10 x
a
? ? 或 2x ? ；令 ? ? 0f x? ? ，得 1 2x
a
? ? .
此时，函数 ? ?y f x? 的单调递增区间为 10,
a
? ?
? ?
? ?
和 ? ?2,?? ，单调递减区间为 1 ,2
a
? ?
? ?
? ?
；
③当
1 2
a
? 时，即当
10
2
a? ? 时，令 ? ? 0f x? ? ，得0 2x? ? 或 1x
a
? ；令 ? ? 0f x? ? ，得 12 x
a
? ? .
此时，函数 ? ?y f x? 的单调递增区间为 ? ?0,2 和 1 ,
a
? ???? ?
? ?
，单调递减区间为
12,
a
? ?
? ?
? ?
；
（2）由题意 ? ? ? ?f x g x? ，可得 ln 0ax x? ? ，可得 ln xa
x
? ，其中 2
1 ,x e
e
? ?? ? ?? ?
.
构造函数 ? ? ln xh x
x
? ， 2
1 ,x e
e
? ?? ? ?? ?
，则 ? ?mina h x? . ? ? 2
1 ln xh x
x
?? ? ，令 ? ? 0h x? ? ，得 21 ,x e e
e
? ?? ? ? ?? ?
.
当
1 x e
e
? ? 时， ? ? 0h x? ? ；当 2e x e? ? 时， ? ? 0h x? ? .所以，函数 ? ?y h x? 在 1x e? 或
2x e? 处取得最小值，
1h e
e
? ? ? ?? ?
? ?
Q ， ? ?2 22h e e? ，则 ? ?
1h h e
e
? ? ?? ?
? ?
， ? ?min
1h x h e
e
? ?? ? ? ?? ?
? ?
， a e? ? ? .
因此，实数 a 的取值范围是? ?,e? ?? .
14．（1）当 a=3时，f（x）= 3 2
1 3 3 3
3
x x x? ? ? ，f ′（x）= 2 6 3x x? ? ．
令 f ′（x）=0解得 x=3 2 3? 或 x=3 2 3? ．
当 x∈（–∞，3 2 3? ）∪（3 2 3? ，+∞）时，f ′（x）>0；
当 x∈（3 2 3? ，3 2 3? ）时，f ′（x）<0．
故 f（x）在（–∞，3 2 3? ），（3 2 3? ，+∞）单调递增，在（3 2 3? ，3 2 3? ）单调递减．
（2）由于 2 1 0x x? ? ? ，所以 ? ? 0f x ? 等价于
3
2 3 01
x a
x x
? ?
? ?
．
设 ? ?g x =
3
2 31
x a
x x
?
? ?
，则 g ′（x）=
? ?
? ?
2 2
22
2 3
1
x x x
x x
? ?
? ?
≥0，仅当 x=0时 g ′（x）=0，所以 g（x）在（–∞，+∞）单
调递增．故 g（x）至多有一个零点，从而 f（x）至多有一个零点．
又 f（3a–1）=
2
2 1 1 16 2 6 0
3 6 6
a a a? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
，f（3a+1）=
1 0
3
? ，故 f（x）有一个零点． 综上，f（x）只
有一个零点．
15．（Ⅰ） 令 ，得 ． 与 的情况如下：
x （ ）
（
— 0 +
↗ ↗
所以， 的单调递减区间是（ ）；单调递增区间是
（Ⅱ）
①当 ，即 时，函数 在[0，1]上单调递增，
所以 （x）在区间[0，1]上的最小值为
②当 时，
由（Ⅰ）知 ( ) [0, 1]f x k ?在 上单调递减，在 ( 1,1]k ? 上单调递增，
所以 在区间[0，1]上的最小值为 1( 1) kf k e ?? ? ? ；
③当 1 , 2k t k? ? ?即 时，函数 在[0，1]上单调递减，
所以 在区间[0，1]上的最小值为 (1) (1 ) .f k e? ?
注意总结。
16．(1)由 1a ? ，得 2
1( ) 2
2
xf x x x e? ? ? ? ， 3(1)
2
f e? ? 所以 ( ) 2 xf x x e? ? ? ? ? ， (1) 1f e? ? ? 所以所求切线方
程为
3( ) (1 )( 1)
2
y e e x? ? ? ? ? ，即 2(1 ) 2 1 0e x y? ? ? ?
（2）由已知 2
1( ) 2
2
xf x x x ae? ? ? ? ，得 ( ) 2 xf x x ae? ? ? ? ?
因为函数 ( )f x 在 R 上增函数，所以 ( ) 0f x? ? 恒成立即不等式 2 0xx ae? ? ? ? 恒成立，整理得
2
x
xa
e
? ?
? 令
2( ) x
xg x
e
? ?
? ，∴
3( ) x
xg x
e
?? ? ．
当 ( ,3)x? ?? 时， ( ) 0g x? ? ，所以 ( )g x 递减函数，
当 (3, )x? ?? 时， ( ) 0g x? ? ，所以 ( )g x 递增函数
由此得
3
min( ) (3)g x g e
?? ? ? ，即 a 的取值范围是 3
1( , ]
e
?? ?
17．（1）根据导数几何意义得 '(0) 1f ? ，再结合 (0) 0f ? ，解方程组得
-1,
1.
a
b
??
? ??
（2）作差函数，根据导数求其单
调性，根据单调性确定其最小值，即证得不等式，(3)先分离变量，转化为求对应函数 g(x)=
( )f x
x
的最小值，再根
据导数求 g(x)单调性，由单调性确定其最小值取法，即得实数 k 的取值范围.
试题解析：(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,∴f'(x)=ex-2x.
由已知,得
(0) 1 0,
'(0) 1 ,
f a
f b
? ? ??
? ? ??
解得
-1,
1.
a
b
??
? ??
∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=ex-x2-1.
(2)证明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.由φ'(x)=0,得 x=0.
当 x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;
当 x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.故φ(x)min=φ(0)=0,从而 f(x)≥-x2+x.
(3)解 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立?
( )f x
x
>k 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立.
令 g(x)=
( )f x
x
,x>0,则 g'(x)= 2
'( )- ( )xf x f x
x
=
2
2
(e -2 )-(e - -1)x xx x x
x
=
2
( -1)(e - -1)xx x
x
.
由(2)可知当 x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,由 g'(x)>0,得 x>1;由 g'(x)<0,得 0故 g(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1),即 g(x)min=g(1)=e-2.
故 k
