高中数学人教新课标A版选修4-2第四讲一 变换的不变量与矩阵的特征向量(共40张PPT)

(共40张PPT)
在许多数学问题中都会研究“不变量” ,那么我们研究的线性变换是否也有“不变量”?
理解矩阵的特征值与特征向量的概念;
培养矩阵的特征值与特征向量简单应用能力.
通过学生自我探究,从线性变换和几何直观两个角度来研究矩阵的不变量—特征向量.
培养学生探究能力,知识的类比能力.
矩阵的特征值与特征向量的概念;

矩阵的特征值与特征向量的计算.
矩阵的特征值与特征向量的概念


矩阵的特征值与特征向量的计算
线性变换
二阶矩阵
变换的不变量、矩阵的特征向量
特征值与特征向量的计算
特征向量的应用
1.对于线性变换,是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换的作用下保持不变?

2.是否存在向量,使得该向量在这个线性变换的作用下有某种“不变性” ?
研究其“不变量”
从几何直观上
只有x轴和平行于y轴的直线在ρ的作用下保持不变.
在一个线性变换的作用下，确实有一些向量具有“不变性”——变成了与自身共线的向量,即变为原来向量的某个倍数.
从线性变换上
从几何直观上
矩阵A的属于特征值λ的特征向量有几个呢?
(其中k1∈R,但k1≠0)
从几何直观上
属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.
是否每个二阶矩阵都有特征向量?
请同学们从几何直观的角度进行分析!
对于一个二阶矩阵,能否不通过几何直观而直接求出它的特征值和特征向量?
∴齐次线性方程组③有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
令y=－1,则x=2.
∴方程有非零解x=2, y=－1.
令x=1,则y=1.
∴方程有非零解x=1, y=1.
得齐次线性方程组：
∴齐次线性方程组②有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于0.
即：
解得：
特征向量,得：
即：
1.（1）旋转变换Rπ把平面上的每个向量都变成它的相反向量,因此旋转变换Rπ的特征值为－1,每个非0向量都是旋转变换Rπ的特征向量;
（2）恒等变换保持平面上的每个向量不变,因此恒等变换的特征值为1,每个非0向量都是恒等变换的特征向量;
（3）零变换0把平面上的每个向量都变成0向量,因此零变换的特征值为0,每个非0向量都是零变换的特征向量;
2.略.