2020年苏科版七年级数学下册第七章平面图形的认识(二)尖子生特训题含答案

2020年苏科版七年级数学下册第七章平面图形的认识(二)尖子生特训题
1.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．

（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠ACB的度数．




2.如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．

（1）求证：AD∥BC；
（2）若∠1＝36°，求∠2的度数．





3.已知A，B，C三点在同一直线上，∠DAE=∠AEB，∠D=∠BEC，

（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C=70°，∠DAC=50°，求∠DBE的度数．



4.如图，已知四边形ABCD，AB∥CD，点E是BC延长线上一点，连接AC、AE，AE交CD于点F，∠1=∠2，∠3=∠4．
证明：

（1）∠BAE=∠DAC；
（2）∠3=∠BAE；
（3）AD∥BE．



5.如图， ．

（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求 的度数．



6.如图，已知 ，点 分别在射线 上移动， 的平分线与 的外角平分线交于点 .

（1）当 时， ________.
（2）请你猜想：随着 两点的移动， 的度数大小是否变化？请说明理由.

7.???????????????
（1）我们知道“三角形三个内角的和为180°”．现在我们用平行线的性质来证明这个结论是正确的．

已知：∠BAC、∠B、∠C是△ABC的三个内角，如图1．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°证明：过点A作直线DE∥BC（请你把证明过程补充完整）
（2）请你用（1）中的结论解答下面问题：
如图2，已知四边形ABCD ， 求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.



8.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余.

（1）求证：ED//AB；
（2）OF平分∠COD交DE于点F，若∠OFD=65° ， 补全图形，并求∠1的度数.



9.已知：如图（1），如果AB∥CD∥EF. 那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？

（1）小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是________.
（2）接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB，EF，然后在平行线间画了一点C，连接AC，EC后，用鼠标拖动点C，分别得到了图（2）（3）（4），小华发现图（3）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（2）和（4）中的∠BAC，∠ACE与∠CEF之间也可能存在着某种数量关系.然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题：
①猜想：图（2）中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：________.
②补全图（4），并直接写出图中∠BAC，∠ACE与∠CEF之间的数量关系：________.
（3）小华继续探究：如图（5），若直线AB与直线EF不平行，点G，H分别在直线AB、直线EF上，点C在两直线外，连接CG，CH，GH，且GH同时平分∠BGC和∠FHC，请探索∠AGC，∠GCH与∠CHE之间的数量关系？并说明理由.


10.如图，是一块破损的木板.
（1）请你设计一种方案，检验木板的两条直线边缘AB、CD是否平行；

（2）若AB∥CD，连接BC，过点A作AM⊥BC于M，垂足为M，画出图形，并写出∠BCD与∠BAM的数量关系.


11.已知直线l1∥l2 ， 直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点

（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系?请你猜想结论并说明理由．
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合，如图2和图3)，上述(1)中的结论是否还成立?若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．


12.已知AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EGF．

（1）如图①，过点G作GH∥AB，求证：∠BEG+∠DFG＝∠EGF；
（2）如图②，已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q，请探究∠EGF与∠EQF的数量关系，并说明理由．


13.如图

（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；
（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由．


14.如图，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC

（1）求证：AB∥CD;
（2）若∠1+∠2=180°，求证：∠BEC+∠B=180°
（3）在(2)的基础上，若∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数



15.如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠BED
理由：如图，过点E作EF∥AB，
则∠B=∠BEF．(依据)
因为AB∥CD，
所以EF∥CD，
所以∠D=∠DEF
所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D


（1）上述证明过程中的依据是指________。
（2）若将点E移至图2所示的位置，AB∥CD，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请说明理由。
（3）在图3中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?


16.已知直线 ， 的顶点 与 分别在直线 与 上， ，设 ， ．

（1）如图①，当点 落在 的上方时， 与 相交于点 ，求证： ；
（2）如图②．当点 落在直线 的下方时， 与 交于点 ，请判断 与 的数量关系，并说明理由．






17.生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：

（1）图1中的∠ABC的度数为________.
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为________.


18.问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
（1）数学活动小组经过讨论形成下列推理，请你补全推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
∵PE∥AB(作图知)
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD．________
∴∠A+∠APE=180°．
∠C+∠CPE=180°．________
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=α，∠BCP=β，求∠CPD与α、β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD与α、β之间的数量关系．





19.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．


（1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=________°；
（2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为：________；
（3）若点P运动到边 AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为：________．


答案
1. （1）解：CD∥EF，
理由：∵ CD⊥AB，EF⊥AB?，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD∥EF，∴∠BCD=∠2，
∵∠1=∠2?，∴∠BCD=∠1，
∴DG∥BC，
∴∠ACB=∠3=110°.
2. （1）证明：∵∠ABC=180°-∠A ，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD∥BC
（2）解：∵AD∥BC ， ∠1=36°，
∴∠3=∠1=36°，
∵BD⊥CD ， EF⊥CD ，
∴BD∥EF ，
∴∠2=∠3=36°
3. （1）证明：∵∠DAE=∠AEB，
∴BE∥AD，
∴∠D=∠EBD，
∵∠D=∠BEC，
∴∠BEC=∠EBD，
∴BD∥EC
（2）解：∵BD∥CE，BE∥AD，
∴∠C=∠DBA，∠EBC=∠DAC，
∵∠C=70°，∠DAC=50°，
∴∠DBA=70°，∠EBC=50°，
∴DBE=180°-∠DBA-∠EBC=60°．
4.（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠DAC
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠4=∠BAE，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠BAE
（3）证明：∵∠3=∠BAE，∠BAE=∠DAC，
∴∠3=∠DAC，
∴AD∥BE．
5. （1）解：BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE
（2）解：∵BF⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∴∠AFG=∠AFB-∠1=90°-30°=60°．
6. （1）45°
（2）解：随着 两点的移动， 的度数大小不会变化.
理由如下：
∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
7. （1）证明：过点A作PQ∥BC
∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等)
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)


（2）连接AC.得到两个三角形△ABC和△ADC

∵三角形内角和是180°,所以两个就是360°.
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
8. （1）证明：∵∠EDO与∠1互余，
∴∠EDO+∠1=90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
∴∠EDO+∠1+∠COD=180°，
∴∠EDO+∠AOD=180°，
∴ED∥AB

（2）解：如图所示：

∵ED∥AB，
∴∠AOF=∠OFD=65°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF= ∠COD=45°，
∴∠1=∠AOF-∠COF=20°
9. （1）两直线平行，同旁内角互补
（2）∠ACE=∠BAC+∠FEC；∠ACE=∠FEC-∠BAC
（3）解：延长AB，EF，交于点P，如图，

∵GH同时平分∠BGC和∠FHC，
∴∠CGH=∠BGH，∠CHG=∠FHG，
∴∠C=∠P，
∵∠CGP=180°-∠AGC，∠CHP=180°-∠CHE，
∴∠CGP+∠CHP=360°-（∠AGC+∠CHE），
∵四边形GCHP中，∠C+∠P=360°-（∠CGP+∠CH）=360°-[360°-（∠AGC+∠CHE）]= ∠AGC+∠CHE，
即2∠GCH=∠AGC+∠CHE
10. （1）解：根据同位角相等，两直线平行，可以画一条直线截线段 AB 与CD，测量一对同位角，如果相等，则 AB∥CD，反之，则不平行.
（2）解：如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC，
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠BAM=90°， 则∠BCD+∠BAM=90°.
11. （1）解：∠APB=∠PAC+∠PBD，

如图1，过点P作PE∥l1 ，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2
∴PE∥l2 ，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠BAC+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）解：不成立，
如图2：∠PAC=∠APB+∠PBD，

理由：过点P作PE∥l1 ，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2 ，
∴PE∥l2 ，
∴∠BPE=∠PBD
∵∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；
如图3：∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由：过点P作PE∥l1 ，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2 ，
∴PE∥l2 ，
∴∠BPE=∠PBD，
∵∠APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
12. （1）解：∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥CD，
∴∠EGH＝∠BEG，∠DFG＝∠FGH，
∵∠EGF＝∠EGH+∠FGH，
∴∠BEG+∠DFG＝∠EGF

（2）解：由（1）知，∠EGF＝∠BEG+∠DFG，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵EQ，FQ分别平分∠BEG，∠DFG，
∴∠DFQ＝ DFG，∠BEQ＝ BEG，
∴∠EQF＝ （∠BEG+∠DFG）＝ EGF
13.（1）解：如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2＝40°
（2）解：∠ABE﹣∠C＝60°，
理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣∠ABE，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2，
∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，
∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．
14.（1）证明：∵ ，
又∵
?∴
∴

（2）证明：∵ ，
∴
∴
∴

（3）解：∵ ，
∴
∴
又∵ ，
∴ ，
∴
15. （1）解：两直线平行，内错角相等
（2）解：∠BED+∠B+∠D=360°
理由：如图1，过E点作EF∥AB，

所以∠BEF+∠B=180°
因为AB∥CD，所以EF∥CD
所以∠D+∠DEF=180°，
∠BED+∠B+∠D=360°

（3）解：如图2，

分别过折点E、F、G作AB的平行线EE1、FF1、GG1
因为AB∥CD
所以AB∥EE1∥FF1∥GG1∥CD
所以∠B=∠BEE1 ， ∠E1EF=∠EFF1 ， ∠F1FG=∠FGG1 ， ∠G1GD=∠D
所以∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D…
16.（1）解： 是 的一个外角，
，
，
，
，
，


（2）解： ，理由如下：
是 的一个外角，
，
，
，
，
，

17. （1）75°
（2）75°
18. （1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补
问题迁移：
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
问题解决：
（3）∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.
19. （1）140
（2）∠1+∠2=90°+α
（3）解：∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∠2=90°+∠1﹣α