(共49张PPT)
2.3.1 直线与平面垂直的判定
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
任意一条
垂线
垂面
垂足
两条相交直线
a∩b＝P
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线
垂足
斜足
AO
直角
0°的角
自主小测
典例解析
当堂达标
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(
ABCD是矩形
AB=1
BC=2
AC=3
又PA=1
△PAC为直角三角形
A
D O
B
C
(共42张PPT)
2.3.2 平面与平面垂直的判定
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
1.二面角
(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的 ,这两个半平面叫二面角的 .图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.
棱
面
(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.
垂直于棱l
探究:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?
答案:可以构成三个二面角,如图所示.
分别是α-a-β,β-c-γ,α-b-γ.
这三个二面角都是90°.
直角
平面角
直角
直二面角
横边
垂线
Thanks!
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(
β
Q
B
A
D
B
D
B
E
B
H
(共32张PPT)
2.3.3 直线与平面垂直的性质
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
人教A版 必修2
直线与平面垂直的性质定理
平行
a∥b
平行
[破疑点] 直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系．
1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
[答案] B
2．下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①②③均正确．
3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
[答案] C
4．把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是________．
[答案] 90°
[分析] 要证线线平行，根据条件“MN⊥平面A1DC”，可联想到线面垂直的性质定理，故只需证AD1⊥平面A1DC即可．
[证明] ∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.
又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.
规律总结：证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．
[分析] (1)关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直；(2)关键构造中位线得线面平行．
[解析] (1)证明：连接C1D.
∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.
∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C?平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)如图，连接AD1、AE、D1E，
设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，
须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
规律总结：线面垂直与平行的相互转化：
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．
练习2.如右图，已知矩形ABCD过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于点E，过E作EF⊥SC交SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
[分析] 本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现．结合题图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF.由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证．
[证明] (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，
∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，
∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，
∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.
[错解] ∵b⊥α，a⊥b，∴a?α或a∥α.
又∵a?α，∴a∥α.
[错因分析] 推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．
[思路分析] 本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．
[正解] 如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l.
∵b⊥α，∴b⊥l.
又∵b⊥a，b∥b′，∴b′⊥a，b′⊥l.
又∵a，l同在β内，∴a∥l.
又∵a?α，l?α，∴a∥α.
规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．
1．下列说法中不正确的是( )
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B．同一个平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
[答案] D
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b?α
C．b⊥α D．b∩α＝A
[答案] C
3．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个说法中正确的是( )
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
A．②④ B．①②
C．③④ D．①③
[答案] D
4．如右图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D?PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．
[答案] 平行
[解析] ∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，
∴DE∥PA.
又DE?平面PAC，PA?平面PAC，
∴DE∥平面PAC.
5．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
[答案] 6
[解析] 因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
6．如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．
求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD.
(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，
∴CG⊥面ABE，∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF
在Rt△ABE中，AF⊥BE，∴AF⊥面BDF，∴AF⊥BD.
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(共34张PPT)
2.3.4 平面与平面垂直的性质
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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平行
a∥b
一个平面内
交线
垂直
a?α
a⊥l
线面
Thanks!
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coe
00000
""!
dicM面
题型探究
探要点·究所然
探究一线面垂直的性质定理
[典例们如图所小,在正方体ABCD1B1CD1中,M是
CI
AB上一点,N是AC的中点,MNL平面ADC
求证:(MN∥AD1
C
2M是AB的中点
C
C
A
M
B
P
G
D
B
C
探究二面面垂直的性质定理
[奥例才如图,已知P是△ABC所在平面外的点,正Q
且PA平面ABC,平面PACL平面PBC,求证:BCA
⊥AC
