沪科版九年级数学下册24.4直线与圆的位置关系教学课件(3课时 共57张)

(共57张PPT)
教学课件
数学 九年级下册 沪科版
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？



点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则：

点在圆外 d>r;
点在圆上 d=r；
点在圆内 d








A
B
C



位置关系
数形结合：

数量关系
第1课时 直线与圆的位置关系
同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽的海上日出。

从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？
请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景。
在再现的过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？
(地平线)
a(地平线)




●O

●O

●O






(2)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切,这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。
(1)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
2、连结直线外一点与直线所
有点的线段中,最短的是_____ _。
1.直线外一点到这条直线
的垂线段的长度叫点到直 线的距离。
垂线段

相关知识点回忆
直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r








r
d



∟




r
d









∟




r
d






二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系来区分）

观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化？

a(地平线)






1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d：
3)若d=8cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______,直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆　　,直线与圆有____个公共点.
3)若AB和⊙O相交,则 .
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
相交
相切
相离
d > 5cm
d = 5cm
0cm ≤d < 5cm
2
1
0
例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm．




B
C
A
4
3
分析：要了解AB与⊙C的位置关系，只要知道圆心C到AB的距离d与r的关系．已知r，只需求出点C到AB的距离d即可。
D


d

解：过点C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB=


5
根据三角形的面积公式有

∴

即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时,

有d>r,
因此⊙C和AB相离。

B
C
A
4
3
D


d


（2）当r=2.4cm时,
有d=r,
因此⊙C和AB相切。
（3）当r=3cm时，
有d因此，⊙C和AB相交。

B
C
A
4
3
D



B
C
A
4
3
D


d
d
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm.求l1与l2的距离.


o
。

l1

l2
A
B
C

l2

判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
（2）根据性质，由___________________________
的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径
第2课时 切线的判定和性质
回顾旧知
直线与圆的位置关系量化
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r

<
=
>
相离
相切
相交
情境引入
动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作
直线l⊥OA .
思考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？

直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。如图所示，半径OA⊥直线l，直线l为⊙O的切线．
特征①：直线L经过半径OA的外端点A.
特征②：直线L垂直于半径OA.
d = r

相切
感悟新知
圆的切线的判定方法：
(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的
切线；
(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线．
总结归纳
例1 已知:如图， A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的切线.
连结OB.
∵OB=OC, AB=BC,∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A) =180°- (60°+30°)=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线).

证明：
∵OA=OB=5，AB=8，
∴AC=BC=4.
∴在Rt△AOC中，OC=3.
又∵⊙O的直径长为6，
∴OC=半径r，
∴直线AB是⊙O的切线.
证明：过点O作OC⊥AB.

C
无交点，作垂直，证d=r
如图，已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6.
求证：AB与⊙O相切.
B


Ｏ


A

有交点，连半径，证垂直
练习
实际应用
例2 如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30°方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些受到这次台风影响，哪些不受到这次台风影响？

合作学习


A
O
T
① OA与AT垂直吗？

问：
已知直线AT切⊙O于点A（切点）,连结OA，则OA是半径.
经过切点的半径垂直于圆的切线
②过点A作AT的垂线，垂线过点O吗？
问：
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心

圆的切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
(1)切线和圆只有一个公共点．
(2)圆心到切线的距离等于半径．
(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
总结归纳
（判定垂直）
（判定半径或直径）
例3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.
如图, 用角尺的较短边紧靠⊙O于点A, 并使较长边与⊙O相切于点C, 记角尺的直角顶点为B, 量得AB=8cm, BC=16cm. 求⊙O的半径.


连结过切点的半径是常用的辅助线
O


A
B
C











D


解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于点D.
∵AB⊥BC,AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB.
在Rt△ADO中,
即
解得r=20.
∵⊙O与BC相切于点C，∴OC⊥BC.
答: ⊙O的半径为20cm.
例4 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D. 连结CD,OC.求证：∠ACD = ∠COD.
如图,作OE丄CD于点E，
则∠COE+ ∠OCE=90°.
∵ ⊙O与AB相切于点C，
∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE=90°.
∴∠ACD=∠COE.
∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,
∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD.

证明：
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
（1）定义：直线和圆有唯一的公共点。
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。
3.辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。
（2）无公共点：作垂直证半径。
课堂小结
4. 切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线；
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径；
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝ AC＝4，
点O为BC的中点，以点O为圆心作半圆O交BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为 D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为(　　)
A．2；22.5°
B．3；30°
C．3；22.5°
D．2；30°
课堂测试
2. 如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于点E、F、G， ⊙O 是△CGF的外接圆；
求证：CE是⊙O的切线。
3. 如图,直线AB与⊙O相切于点C,射线AO交⊙O于点D，E,连结CD，CE.找出图中的一对相似三角形，并说明理由。






C
B
A
O
D
E

若已知AC=4cm，⊙O的半径为3cm，能否求出图中其它线段的长度？

F
第3课时 切线长定理
50°


1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？

2、这样的切线能画出几条？
如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。







3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数

130°

画一画

O


A
B
P
课外补充







思考：已画出切线PA、PB，A、B为切点，则∠OAP= °,连接OP，可知A、B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?

90
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？
尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线.
O
·




P
A
B





请跟我做

在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
·
O

P
A
B





切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
·

·

切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以测量。
切线和切线长

O
P



A
B



O


A
B
P



思考:已知⊙O切线PA、PB，A、B为切
点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?

1

2





请证明你所发现的结论。



A

P
O

B



PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵ PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°.
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB.
试用文字语言叙述你所发现的结论


PA、PB分别切⊙O于点A、B


PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法

O
P



A
B







A

P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?请给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,A，B是切点，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
M




A
P
O
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?请给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB，
∴PC=PC，
∴ △PCA ≌ △PCB，∴AC=BC.


C



。





P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点.
（2）连结两切点；
（1）分别连结圆心和切点；

反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=






P
A
B
C
O



60°.
（4）OP交⊙O于点M,则 ，ＡＢ ＯＰ.
ＡＭ＝ＢＭ
M
⊥
牛刀小试
（3）若∠P=70°，则∠AOB= °.
110
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA.
OA=3.
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过点Q作⊙O的切线，交PA、PB于点E、F，已知PA=12CM，求△PEF的周长。






E
A
Q
P
F
B
O
易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB
∴PE+EQ=PA=12（cm）
PF+FQ=PB=PA=12（cm）
∴△PEF的周长为24cm
·
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于点C。 A

（1）写出图中所有的垂直关系 P D C O E
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角 B
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
·
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP








P
A
C
B
D
O
例题讲解




1.（口答）如图,PA、PB分别切圆O于点A、B，并与圆O的切线分别相交于点C、D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数.

C
· O
P
B
D



A





E
例2 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、
DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD.






D
L
M
N
A
B
C
O
P








证明：由切线长定理，得
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
DN=DP，
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
例3.如图，△ABC中,∠C =90? ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12,AD=8，求⊙O的半径r.


O
E
B
D
C





A
F



练习2.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，A、E、B为切点.
(1)求证：OD ⊥ OC.
(2)若BC=9，AD=4，求OB的长.

O




A
B
C
D
E




·
O




A
B
C
D
E
F


O




A
B
C
D
E
选做题：如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.





1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。



A

P
O
。
B




E
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB ,∠OPA=∠OPB，
OP垂直平分AB.
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.我们学过的切线，常有 性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
(6)从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
六个