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等比数列的概念与通项公式
班级：____________ 姓名：__________________
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
3．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
5．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.或
6．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
7．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
A. B.
C. D.
8．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝___________.
9．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________________.
10．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于___________．
11．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
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等比数列的概念与通项公式
1．2＋和2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
解析：选C 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选D 因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：选C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，
∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，
又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，
又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，
从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.
5．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.或
解析：选B 设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，则＝＝.故选B.
6．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5 B．608
C．607 D．159
解析：选C ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
7．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
8．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，
则a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1，
a1－a3＝a1(1－q2)＝－3，
两式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1，
所以a4＝a1q3＝－8.
答案：－8
9．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2.
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；
当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.
答案：(－2)n或－2n
10．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．
解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq.∵·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a，
∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.
答案：28
11．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
解：(1)由题得an＋1＝an，
将n＝1代入，得a2＝6a1，而a1＝2，∴a2＝12，
将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18.
(2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
由题得＝3×，即bn＋1＝3bn，
又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，
∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，
∴＝.
∴数列{an}是等比数列．
13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，
即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)．
由(1)知a1－2＝－2＝，
∴an－2n≠0，n∈N*.∴＝3，
∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．
∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n.
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