2020春人教版八下数学第十六章二次根式小专题学案二次根式的性质及运算（含答案）

2020春人教版八下数学第十六章二次根式小专题学案二次根式的性质及运算(学生版)
类型1　二次根式的非负性
1．(2018·广东)已知＋|b－1|＝0，则a＋1＝____________．
2．已知x，y为实数，且y＝＋＋4，则x－y的值为____________．
3．当x＝时，＋4的值最小，最小值是____________．
类型2　二次根式的运算
4．计算：
(1)6×；
(2)(－4)÷5；
(3)－＋2；
(4)(2＋)×(2－)．
5．计算：
(1)3÷(－)；
(2)(＋×)×；
(3)3×(－)÷7；
(4)(－4)－(3－4)；
(5)(3－)2－(－3－)2.
6．计算：
(1)(2019·南充)(1－π)0＋|－|－＋()－1；
(2)|2－|－×(－)＋.
类型3　与二次根式有关的化简求值
7．已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值．
8．已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：a★b＝求★(★)的值．
9．(2018·徐州)已知x＝＋1，求x2－2x－3的值．
10．先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝＋2，y＝－2.
11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝____________，b＝____________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：____＋____＝____；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
2020春人教版八下数学第十六章二次根式小专题学案二次根式的性质及运算(教师版)
类型1　二次根式的非负性
1．(2018·广东)已知＋|b－1|＝0，则a＋1＝2．
2．已知x，y为实数，且y＝＋＋4，则x－y的值为5．
3．当x＝时，＋4的值最小，最小值是4．
类型2　二次根式的运算
4．计算：
(1)6×；
解：原式＝(6×)
＝2
＝4.
(2)(－4)÷5；
解：原式＝－4÷(5×)
＝－4÷3
＝－.
(3)－＋2；
解：原式＝6－＋6
＝.
(4)(2＋)×(2－)．
解：原式＝(2)2－()2
＝20－3
＝17.
5．计算：
(1)3÷(－)；
解：原式＝[3÷(－)]
＝－6
＝－6
＝－.
(2)(＋×)×；
解：原式＝3＋5×
＝3＋15
＝18.
(3)3×(－)÷7；
解：原式＝3×(－1)×÷7
＝－3÷7
＝－
＝－.
(4)(－4)－(3－4)；
解：原式＝2－－＋2
＝＋.
(5)(3－)2－(－3－)2.
解：原式＝(3－)2－(3＋)2
＝18＋6－12－(18＋6＋12)
＝－24.
6．计算：
(1)(2019·南充)(1－π)0＋|－|－＋()－1；
解：原式＝1＋－－2＋
＝1－.
(2)|2－|－×(－)＋.
解：原式＝－2－＋＋
＝2－1.
类型3　与二次根式有关的化简求值
7．已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值．
解：原式＝a2b－ab2＝ab(a－b)．
当a＝3＋2，b＝3－2时，
原式＝(3＋2)(3－2)(3＋2－3＋2)
＝4.
8．已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：a★b＝求★(★)的值．
解：由题意，得★＝.
∴★(★)＝★＝＝2.
9．(2018·徐州)已知x＝＋1，求x2－2x－3的值．
解：x2－2x－3＝x2－2x＋1－4
＝(x－1)2－4.
当x＝＋1时，
原式＝(＋1－1)2－4
＝3－4
＝－1.
10．先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝＋2，y＝－2.
解：原式＝ ·y(x＋y)
＝.
当x＝＋2，y＝－2时，
原式＝
＝.
11．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋2＝(1＋)2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：根据题意，得
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝7或13.