课件51张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 函数的应用全章内容分析高考考向导析学习方法建议§3.1 函数与方程第一课时 方程的根与函数的零点目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业26 （点击进入）word板块 课件29张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练03 函数的应用§3.1 函数与方程第二课时 用二分法求方程的近似解目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业27 （点击进入）word板块 课时作业25
基础要求
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
答案：B
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f()＝( )
A. B.
C. D.
4. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图1所示，则m与n的取值情况为( )
图1
A．－1
C．－1解析：在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝x，y＝1的图象，在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图2，则由图可知0图2
答案：D
5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
解析：由偶函数的定义知，选项A，B中的f(x)均为偶函数，易知选项A中f(x)＝在区间(－∞，0)上单调递增，选项B中f(x)＝x2＋1在区间(－∞，0)上单调递减，故选A.
答案：A
6．给出以下列结论：
①当a＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；③若幂函数y＝aα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
答案：④
能力要求
课时作业26
基础要求
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
解析：方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．
答案：C
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )
A．至少有一个 B．至多有一个
C．有且只有一个 D．可能有无数个
解析：在R上单调的函数最多有一个零点．
答案：B
3．若函数f(x)在区间(0，2)内有零点，则( )
A．f(0)＞0，f(2)＜0
B．f(0)·f(2)＜0
C．在区间(0，2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0
D．以上说法都不正确
解析：函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是错误的，故选D.
答案：D
4．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－ B．0，
C．0，2 D．2，－
解析：∵a≠0，2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
答案：A
5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0，1)上存在零点．
答案：C
6．函数f(x)＝零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.
故f(x)在R上有2个零点．
答案：C
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：∵函数是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点，当x<0时，－2是它的一个零点，根据奇函数的图象关于原点对称可知，当x>0时，2是它的一个零点，所以函数f(x)有三个零点，这几个零点的和等于0.
答案：3 0
能力要求
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
解析：根据函数零点存在定理进行判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错误．
若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在区间(－2，2)内有两个零点，故A错误，C正确．
答案：C
2．已知曲线y＝()x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是( )
A．(0，) B.
C. D．(1，2)
解析：设f(x)＝()x－x，
则f(0)＝1>0，
f()＝()－＝－<0，
f(1)＝－1<0, f(2)＝－2<0，
显然只有f(0)·f()<0，选A.
答案：A
3．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：构造函数y1＝lnx和y2＝，画出函数图象如图1，知两个函数图象有两个交点，故函数f(x)＝lnx－有2个零点．
图1
答案：C
4．(2019年广州一模)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)C．f(1)解析：在同一坐标系中画出y＝ex，y＝2－x，y＝lnx的图象．
图2
由图2可知a<1又∵f(x)是R上的增函数，
∴f(a)答案：A
5．(2019年山东模拟)根据表中的数据，可以判定f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈Z)，则k的值为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.－1 B．0
C．1 D．2
解析：由表知，k＝1时，f(1)·f(2)<0，
∴零点在(1，2)内，选C.
答案：C
6．(2018年高考·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝
当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
解析：若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得14.
答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
7．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
解析：∵在[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，且f(x)单调，
∴f(－2)·f(0)≤0，即(－6m－4)×(－4)≤0，
解得m≤－.
∴实数m的取值范围是.
答案：
8．m的取值范围为________时，方程x2－(m＋13)x＋m2＋m＝0的一根大于1，一根小1.
解析：用数形结合的方法解题．设f(x)＝x2－(m＋13)x＋m2＋m，则它的开口向上，由图象可得，方程x2－(m＋13)x＋m2＋m＝0的一根大于1，一根小于1?f(1)＝1－(m＋13)＋m2＋m＝m2－12<0，解得－2答案：－29．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在(0，1)内，另一根在(1，2)内，则k的取值范围为________.
解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵f(x)＝0的两根中，一根在(0，1)内，一根在(1，2)内，
∴即∴答案：(，)
10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．
解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数根．
则 解得k＝－2.
(2)由题意知，α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实根，
∴
则
∴α2＋β2在区间[－4，－]内的取值范围为[，18]．
故α2＋β2的取值范围为[，18]．
11．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值.
解：(1)当m＋6＝0时，
函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则
x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0(m＋6≠0)的两个根．
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，
即＝－4，
∴－＝－4，
解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ＞0符合题意，
∴m的值为－3.
拓展要求
1．(2019年汕头二模)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，)则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0A．2a－1 B．2－a－1
C．1－2－a D．1－2a
解析：当x≥0时，
根据f(x)是奇函数，画出f(x)在R上的图象，
由图象知，y＝f(x)与y＝a(0∴－x1＋1＝＝2a，∴x1＝1－2a，选D.
答案：D
2．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，0)时，f(x)＝－x2＋1，如果函数g(x)＝f(x)－a|x|恰有8个零点，则实数a的值为________．
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x－2)，故函数f(x)为周期为2的周期函数．
∵函数g(x)＝f(x)－a|x|恰有8个零点，
∴f(x)－a|x|＝0在(－∞，0)上有四个解，
即f(x)的图象与直线y＝a|x|在(－∞，0)上有4个交点．
又当x∈[－1，0)时，f(x)＝－x2＋1，
∴当直线y＝－ax与y＝－(x＋4)2＋1相切时，即可在(－∞，0)上有4个交点，
∴x2＋(8－a)x＋15＝0，
∴Δ＝(8－a)2－60＝0，
∵a>0，∴a＝8－2.
答案：8－2
课时作业27
基础要求
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．[－1，0) B．[0，1)
C．[1，2) D．[2，3)
解析：f(－1)＝－<0，f(0)＝－2<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝1>0，f(3)＝5>0，则f(1)·f(2)<0，即初始区间可选[1，2)．
答案：C
2．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2，4)，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4) B．[－2，1)
C．[－2，2.5) D．[－0.5，1)
解析：第二次取区间的中点x1＝＝1，故零点所在区间为[－2，1)或[1，4)；
第三次取中点x1＝＝－0.5，或x2＝＝2.5.所以零点所在区间为[－2，－0.5)或[－0.5，1)或[1，2.5)或[2.5，4)，故选D.
答案：D
3．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
解析：根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b)上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
答案：C
4．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
答案：B
5．已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
x
0
0.5
0.531 25
0.562 5
0.625
0.75
1
f(x)
－1.307
－0.084
－0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
由二分法求得方程ln(x＋1)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是( )
A．0.625 B．－0.009
C．0.562 5 D．0.066
解析：设近似解为x0，
因为f(0.531 25)<0，f(0.562 5)>0，
所以x0∈(0.531 25，0.562 5)．
因为0.562 5－0.531 25＝0.031 25<0.05，
所以方程的近似解可取为0.562 5，故选C.
答案：C
6．在用二分法求方程f(x)＝0在(0，1)内的近似解时，经计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，则可得出方程的一个近似解为 ________(精确度0.1)．
解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以[0.687 5，0.75]内的任意一个值都可作为方程的近似解．
答案：0.75(答案不唯一)
7．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f(x0)＝________．
解析：由题意x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝0.625.
答案：0.625
能力要求
1.若函数y＝f(x)在区间(－2，2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2，2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
解析：
图1
如图1，根据连续函数零点的性质，若f(－1)·f(1)<0，则f(x)在(－1，1)内必有零点，即方程f(x)＝0在(－1，1)内有实根；反之，若方程f(x)＝0在(－2，2)内有实根，不一定有f(－1)·f(1)<0，也可能有f(－1)·f(1)>0.故选D.
答案：D
2．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析：∵f(a)＝(a－b)(a－c)>0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
∴f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，
而函数y＝f(x)在R上连续，
∴两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内．
答案：A
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 010，2 011)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 009，2 010)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 010，2 011)内存在零点，并且仅有一个
D．函数在(2 009，2 010)内可能存在零点
解析：f(2 009)·f(2 010)>0，只能说在(2 009，2 010)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 010)·f(2 011)<0，说明在(2 010，2 011)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D.
答案：D
4．如图所示，函数图象与x轴均有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是( )
解析：“二分法”要求零点附近两侧函数值异号，B不符合条件．
答案：B
5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为________．
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)>0，所以下一个有根区间是[2，2.5]．
答案：[2，2.5]
6．已知方程mx2－x－1＝0在(0，1)区间恰有一解，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝mx2－x－1，
∵方程mx2－x－1＝0在(0，1)内恰有一解，
∴当m＝0时，方程－x－1＝0在(0，1)内无解，
当m≠0时，由f(0)·f(1)<0，
即－1·(m－1－1)<0，解得m>2.
答案：(2，＋∞)
7．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
－136
21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
98
则下列判断正确的是________．
①函数f(x)在区间(－1，0)内有零点；
②函数f(x)在区间(2，3)内有零点；
③函数f(x)在区间(5，6)内有零点；
④函数f(x)在区间(－1，7)内有三个零点．
解析：f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1，0)，(2，3)，(5，6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．
答案：①②③
8．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间.
解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图2.
图2
由图可知，y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，所以函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2<0，f(3)＝log23＋23－7>0，所以f(2)·f(3)<0，所以零点的一个大致区间为(2，3)．
拓展要求
1．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|A. B.
C．m D．2m
解析：假设a∈，因为|x0－a|＝
≤＝<，所以选B.
答案：B
2．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]的图象如图3所示．
图3
给出下列四个命题：
(1)方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；
(2)方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；
(3)方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；
(4)方程g(g(x))＝0有且仅有4个根．
其中正确的命题个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：不妨把f(x)＝0的根看作－1.5，0，1.5，有多少个x使得g(x)＝－1.5，0，1.5，方程f(g(x))＝0就有多少个根，由y＝g(x)的图象知有6个，(1)正确，同理可判断，(2)错误，(3)正确，(4)正确，选B.
答案：B
3.若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一个根，则a＋b＝________．
解析：令f(x)＝x3－x＋1，则f(－1)＝－1＋1＋1＝1>0，f(－2)＝(－2)3＋2＋1＝－5<0，
∴f(x)在(－2，－1)内有一个零点，
这里a＝－2，b＝－1.
∴a＋b＝－3.
答案：－3
4．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点．
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
解：(1)因为函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x)至多有一个零点，
由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
得f(2)·f(3)<0，
所以f(x)在(2，3)内至少有一个零点，
所以f(x)有且仅有一个零点．
(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0，得x0∈(2，3)，
取x1＝，∵f()＝ln－1<0，
∴f()·f(3)<0, ∴x0∈(，3)，
取x2＝， ∵f()＝ln－>0，
∴f()·f()<0, ∴x0∈(，)，
∵＝，
∴(，)即为符合条件的区间．
