课件32张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 集合与函数概念§1.2 函数及其表示第一课时 函数的概念(一)目标导向知识导学重点导析思维导悟温示提馨课时作业5 （点击进入）word板块 课件34张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 集合与函数概念§1.2 函数及其表示第二课时 函数的概念(二)目标导向知识导学重点导析思维导悟温示提馨课时作业6 （点击进入）word板块 课件39张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 集合与函数概念§1.2 函数及其表示第三课时 函数的表示法(一)目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业7 （点击进入）word板块 课件41张PPT。同步导练/RJA·必修① 数学 经典品质/超越梦想 同步
导练01 集合与函数概念§1.2 函数及其表示第四课时 函数的表示法(二)目标导向知识导学重点导析思维导悟方法导拨温示提馨课时作业8 （点击进入）word板块 课时作业5
基础要求
1．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0，1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0，1，2}，B＝{4，1，0}，对应关系是f：x→y＝x2
③A＝{0，1，2}，B＝，对应关系是f：x→y＝
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个. ( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.
答案：B
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为 ( )
A．可能有无数个 B．只有一个
C．至多一个 D．至少一个
解析：根据函数定义，一个自变量x只能对应一个函数值y，而y＝f(x)的定义域中不一定含有m.
答案：C
3．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．故选A.
答案：A
4．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是 ( )
A．f︰x→y＝x B．f︰x→y＝x
C．f︰x→y＝x D．f︰x→y＝
解析：对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
答案：C
5．下列各组函数表示相等函数的是 ( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
解析：A项中y＝可化为y＝x＋3(x≠3)，∴定义域不同；B项中y＝－1＝|x|－1.∴定义域相同，但对应关系不同；D项中定义域相同，但对应关系不同；C项正确，故选C.
答案：C
6．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．不确定
解析：∵f(x)＝－1，∴f(2)＝－1.
答案：B
7．若函数f(x)＝px＋q，f(3)＝5，f(5)＝9，则f(1)的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．0
解析： ∵f(3)＝3p＋q＝5，f(5)＝5p＋q＝9，
∴p＝2，q＝－1，∴f(1)＝2×1－1＝1.故选A.
答案：A
8．已知函数f(x)＝ax＋＋5(a≠0，b≠0)，f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．7 B．－7
C．5 D．－5
解析：∵f(2)＝3，∴2a＋＋5＝3，∴2a＋＝－2，f(－2)＝－2a＋＋5＝－＋5＝7，故选A.
答案：A
能力要求
1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1，1} D．{－1，0}
解析：若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02＝0?B.故选D.
答案：D
2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是 ( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：A项，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故A满足f(2x)＝2f(x)；
B项，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2(x－|x|)＝2x－2|x|，故B满足f(2x)＝2f(x)；
C项，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，故C不满足f(2x)＝2f(x)；
D项，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故D满足f(2x)＝2f(x)．
答案：C
3.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．2
解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．
答案：A
4．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)等于( )
A．x2＋6x B．x2＋8x＋7
C．x2＋2x－3 D．x2＋6x－10
解析：f(x)＝f((x＋1)－1)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.
答案：A
5．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则
f(－1)＝________．
解析：∵∴
∴f(x)＝x2－3x＋2，
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
答案：6
6．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1；
∵f(g(1))＝1，f(g(2))＝3，f(g (3))＝1，
g(f(1))＝3，g(f(2))＝1，g(f(3))＝3，
∴满足f(g(x))>g(f(x))的x值为x＝2.
答案：1 2
7．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________．
解析：f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
答案：3p＋2q
8．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求f(x)．
解：由题意知＝1，①
由f(x)＝x，得ax2＋(b－1)x＝0.
方程ax2＋(b－1)x＝0有唯一解，
则Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1，
将b＝1代入①，得a＝，
∴f(x)＝.
9．将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
解：设矩形一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax.
由题意可得解得0
即函数定义域为.
10．已知函数g(x)＝.
(1)点(3，14)在函数的图象上吗？
(2)当x＝4时，求g(x)的值；
(3)当g(x)＝2时，求x的值.
解：(1)将x＝3代入g(x)，得g(x)＝＝＝－≠14，故点(3，14)不在函数的图象上．
(2)当x＝4时，g(x)＝＝－3.
(3)当g(x)＝2时，即＝2，解得x＝14.
拓展要求
1．函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对定义域内的任意x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(2)＝1，则f()的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：根据题意，令x＝y＝，
由f(xy)＝f(x)＋f(y)，
得f(×)＝f()＋f()，
即f(2)＝2f()＝1，所以f()＝.
答案：C
2．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f()的值；
(2)求证：f(x)＋f()是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 017)＋f()＋f(2 018)＋f()的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f()＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f()＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f()＝1，
f(3)＋f()＝1，
f(4)＋f()＝1，
…，
f(2 018)＋f()＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 017)＋f()＋f(2 018)＋f()＝2 018.
课时作业6
基础要求
1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
解析： 对于选项A，函数定义域为M，值域不是N；对于选项B，函数定义域不是M，值域为N；对于选项C，函数定义域是M，值域为N，符合题意；对于选项D，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不构成函数关系，故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，1] B．{－1，1}
C．(－1，1) D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：结合题意可得
解得x＝±1，
∴函数的定义域是{－1，1}．故选B.
答案：B
3．已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[－1，2]，则值域也为[－1，2]的函数是( )
A．y＝2f(x)＋1 B．y＝f(2x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
解析：f(x)的定义域为R，值域为[－1，2]，即－1≤f(x)≤2.
A．y＝2f(x)＋1∈[－1，5]，即y＝2f(x)＋1的值域为[－1，5]，∴该选项错误；
B．y＝f(2x＋1)∈[－1，2]，即y＝f(2x＋1)的值域为[－1，2]，∴该选项正确；
C．y＝－f(x)∈[－2，1]，即y＝－f(x)的值域为[－2，1]，∴该选项错误；
D．y＝|f(x)|∈[0，2]，即y＝|f(x)|的值域为[0，2]，∴该选项错误，故选B.
答案：B
4．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为( )
x
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
1
x
1
2
3
4
g(x)
1
1
3
3
A.{1，3} B．{4，2}
C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能
解析：g(x)的值域为{1，3}，当g(x)＝1时，f(g(x))＝f(1)＝4；当g(x)＝3时，f(g(x))＝f(3)＝2.
故f(g(x))的值域为{4，2}．故选B.
答案：B
5．函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0，2) B．[－3，5]
C．[－3，2)∪(2，5] D．(－2，0]
解析：由f(x)的定义域为[－1，3]，
可得－1≤2x－1≤3?0≤x≤2，
即f(2x－1)的定义域为[0，2]，
又x－2≠0，即x≠2，
∴g(x)的定义域为[0，2)．故选A.
答案：A
6．函数y＝＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[4，＋∞)
解析： 设t＝x2－2x＋10，x∈R，
则t＝(x－1)2＋9≥0＋9＝9，
且当x＝1时，t取得最小值9，
∴y＝＋1≥＋1＝4，
∴函数y的值域为[4，＋∞)．故选D.
答案：D
7．用区间表示函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需满足
解得x≥－1且x≠1.
故所求定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)．
答案：[－1，1)∪(1，＋∞)
8．(2019年江西省玉山一中)求函数的定义域：g(x)＝＋(5x－4)0.
解：要使题中函数有意义，则
解得x≥，且x≠，且x≠1，
∴函数的定义域是∪∪(1，＋∞)，
或者写成.
9．函数f(x)＝的定义域为_______；值域为_______．
解析： 由3x＋1≥0，得x≥－，所以函数f(x)＝的定义域为；
∵3x＋1≥0，∴f(x)＝≥0，所以函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)．
答案： [0，＋∞)
10．已知函数f(x＋3)的定义域为[－5，－2]，则函数f(2x－1)的定义域为________．
解析： 函数f(x＋3)的定义域为[－5，－2]，
∴－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，
∴f(x)的定义域为[－2，1]．
令－2≤2x－1≤1，
解得－≤x≤1，
∴函数f(2x－1)的定义域为.
答案：
能力要求
1．若函数f(x)＝在[2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围是( )
A．a＝1 B．a>1
C．a≥1 D．a≥0
解析：∵函数f(x)＝在[2，＋∞)上有意义，
∴ax－2≥0在[2，＋∞)上恒成立，
即a≥在[2，＋∞)上恒成立，
∵0<≤1，
∴a≥1.故选C.
答案：C
2．若y＝f(x)的值域是[1，2]，则y＝f(x－1)的值域是( )
A．[2，3] B．[0，1]
C．[1，2] D．[－1，1]
解析：y＝f(x)的值域是[1，2]，即1≤y≤2，
将f(x)的图象向右平移一个单位得到y＝f(x－1)的图像，
因为图象左右平移没有改变函数值，
所以y＝f(x－1)的值域为[1，2]．故选C.
答案：C
3．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.∪
D.∪
解析： ∵y＝1＋，显然≠0，∴y≠1，故函数的值域是{y|y∈R，且y≠1}．故选A.
答案：A
4．函数y＝的值域为( )
A．R B.
C. D.
解析： 由题意可知x2＋2≥2，所以∈，即函数y＝的值域为，故选D.
答案：D
5．函数f(x)＝＋x的值域是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C. D．[1，＋∞)
解析： 方法一：设t＝(t≥0)，则x＝，
∴g(t)＝t＋＝t2＋t－＝(t＋1)2－1，
∴函数g(t)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(t)≥g(0)＝－，
∴函数f(x)的值域是.故选C.
方法二：由2x＋1≥0，得x≥－，
∴函数f(x)的定义域为，
又由题意得函数f(x)＝＋x为增函数，
∴f(x)≥f(－)＝－，
∴函数f(x)的值域是.故选C.
答案：C
6．(2019年山东济南一中高一模拟)已知函数f(x)＝－的定义域为集合A，B＝{x∈Z|2a＋1}．
(1)求A，(?RA)∩B；
(2)若A∪C＝R，求实数a的取值范围．
解：(1)由得3≤x<7，
故函数f(x)的定义域为[3，7)，即A＝[3，7)．
∴?RA＝{x|x<3或x≥7}．
又B＝{x∈Z|2∴(?RA)∩B＝{7，8，9}．
(2)∵C＝{x∈R|xa＋1}，A∪C＝R.
∴∴3≤a<6，
即实数a的取值范围是[3，6)．
拓展要求
1．下表表示y是x的函数：
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
则函数的值域为( )
A．[2，5] B．{2，3，4，5}
C．(0，20] D．N
解析：函数值可取2，3，4，5四个值，所以函数值的集合为{2，3，4，5}，即函数的值域为{2，3，4，5}，选B.
答案：B
2．若[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]－x(x∈R)的值域是( )
A．[0，1) B．(－1，1)
C．[－1，1] D．(－1，0]
解析： 当－1≤x<0时，[x]＝－1，所以 f(x)＝[x]－x＝－1－x；
当0≤x<1时，[x]＝0，所以f(x)＝[x]－x＝－x；
当1≤x<2时，[x]＝1, 所以f(x)＝[x]－x＝1－x；
当2≤x<3时，[x]＝2，所以f(x)＝[x]－x＝2－x.
所以函数图象如图1所示．
图1
由图象可知，f(x)＝[x]－x值域为(－1，0]．
答案：D
课时作业7
基础要求
1．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝( )
A．6 B．2
C．7 D．9
解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.
答案：C
2．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
解析：设f(x)＝(k≠0)，
∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
答案：B
3．观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f[g(3)－f(－1)]＝ ( )
A．3 B．4
C．－3 D．5
解析：由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.
答案：B
4．函数y＝－的大致图象是( )
解析：函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位得到，而函数y＝－的图象在第二、第四象限且是单调上升的两支图象，考查所给的四个图象只有B符合，选B.
答案：B
5．小明骑车上学时，匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
答案：C
6．已知f(x)是一次函数，且f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，可得f(x－1)＝k(x－1)＋b＝kx－k＋b.∵f(x－1)＝3x－5，∴解之得k＝3且b＝－2.
∴f(x)的解析式为f(x)＝3x－2，故选B.
答案：B
7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________．
解析：由2x＋1＝a，得x＝，
∴3×＋2＝4，
∴a＝.
答案：
8．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f()的值.
解：(1)由f(0)＝0，得c＝0，∴f(x)＝ax2＋bx，
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
∴ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴
解得
∴f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)得，f()＝×2＋×＝1＋.
能力要求
1．(2019年深圳市高级中学月考)函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只能是( )
解析：y＝ax2＋bx＝x(ax＋b)，故方程x(ax＋b)＝0的两根为x1＝0，x2＝－.y＝ax＋b，方程ax＋b＝0的根为－，故两函数在x＝－处有公共点，结合图象只有D项符合．
答案：D
2．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝( )
A．x＋1 B．x－1
C．2x＋1 D．3x＋3
解析：因为3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，
所以3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1，解得f(x)＝x＋1.
答案：A
3．(2019年深圳高级中学月考)函数y＝ax2＋a与y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限．综合来看，只有选项D满足条件．
答案：D
4．若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为 ( )
A．1 B．－1
C．－ D.
解析：
①－②×2，得－3f(2)＝3，
∴f(2)＝－1，选B.
答案：B
5．已知x≠0，函数f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋(x≠0)
B．f(x)＝x2＋2(x≠0)
C．f(x)＝x2(x≠0)
D．f(x)＝(x≠0)
解析： f＝x2＋＝＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
答案：B
6．(2019年河北衡水中学高一一调)定义两种运算：a⊕b＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2，0)∪(0，2]
B．f(x)＝，x∈[－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝－，x∈[－2，0)∪(0，2]
解析：∵2⊕x＝，x?2＝，
∴f(x)＝＝.
由
得
∴－2≤x<0或0即定义域为[－2，0)∪(0，2]．
∴f(x)＝＝－，x∈[－2，0)∪(0，2]．
答案：D
7．已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝4x－5，则使得f(h(x))＝g(x)成立的h(x)＝( )
A．2x＋3 B．2x－11
C．2x－4 D．4x－5
解析：由f(x)＝2x＋3，得f(h(x))＝2h(x)＋3，
则f(h(x))＝g(x)可化为2h(x)＋3＝4x－5，
解得h(x)＝2x－4，故选C.
答案：C
8．已知函数f(x)对任意实数a，b都满足f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝3，则f(3)＝________．
解析：∵f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝3，
∴f(1)＝，
∴f(3)＝3f(1)＝3×＝或f(3)＝f(2)＋f(1)＝.
答案：
9．已知f()＝x＋2，则f(x)＝________．
解析：令＝t，则x＝t2且t≥0.
∴f(t)＝t2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≥0)．
答案：f(x)＝x2＋2(x≥0)
拓展要求
1．已知函数f(x)，g(x)由下表给出：
x
4
5
6
7
8
f(x)
5
4
8
7
6
x
8
7
6
5
4
g(x)
6
5
8
7
4
则g(f(7))＝________；不等式g(x)解析：f(7)＝7，g(f(7))＝g(7)＝5.
当x＝4时，f(4)＝5，g(4)＝4，满足不等式；
当x＝5时，f(5)＝4，g(5)＝7，不满足不等式；
当x＝6时，f(6)＝8，g(6)＝8，不满足不等式；
当x＝7时，f(7)＝7，g(7)＝5，满足不等式；
当x＝8时，f(8)＝6，g(8)＝6，不满足不等式，
所以不等式g(x)答案：5 {4，7}
2．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为(a，b)?(c，d)＝ (ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1，2)?(p，q)＝(5，0)，则(1，2)⊕(p，q)＝( )
A．(4，0) B．(2，0)
C．(0，2) D．(0，－4)
解析：由题设可知
解得
∴(1，2)⊕(p，q)＝(1＋p，2＋q)＝(2，0)．
答案：B
课时作业8
基础要求
1．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N.
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
答案：D
2．给出如图1所示的对应：
图1
其中构成从A到B的映射的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a3、a4在集合B中没有元素与之对应．
答案：A
3．设f(x)＝g(x)＝
则f[g(π)]的值为( )
A．1 B．0
C．－1 D．π
解析：由题设，g(π)＝0，f[g(π)]＝0，故选B.
答案：B
4．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
解析：f(x)＝|x－1|＝x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D，故选B.
答案：B
5．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
解析：当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；
当a＞0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2或－2(舍去)．
故选B.
答案：B
6．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为 ( )
A．(1，3) B．(1，6)
C．(2，4) D．(2，6)
解析：由题意知解得
答案：A
7．(2019年吉林省乾安第二中学)已知f(x)＝
则f(3)等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，
f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．
∵f(7)＝7－5＝2，∴f(3)＝2.
答案：A
8．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0，3]
解析：f(x)图象大致如下：
图2
由图可知值域为[0，2]∪{3}．
答案：B
能力要求
1．集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：∵f(3)＝3，∴共有如下4个映射：
图3
答案：B
2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥2x的解集是( )
A. B．(－∞，0]
C. D．(－∞，2)
解析：(1)当x>0时，f(x)＝－x＋2≥2x，得3x≤2，即0(2)当x≤0时，f(x)＝x＋2≥2x，得x≤2，又x≤0，故x≤0.
综上所述，x≤.
答案：A
3．对实数a和b，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪
B．(－∞，－2]∪
C.∪
D.∪
解析：当(x2－2)－(x－x2)≤1，即－1≤x≤时，
f(x)＝x2－2；
当x2－2－(x－x2)>1，即x<－1或x>时，
f(x)＝x－x2.
∴f(x)＝
f(x)的图象如图2所示：
图2
∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，
由图象知，c≤－2或－1答案：B
4．函数fM(x)的定义域为R，且定义如下：
fM(x)＝ (其中M为实数集R的非空真子集)，在实数集R上有两个非空真子集A，B，满足A∩B＝?，则函数F(x)＝的值域为( )
A．{0} B．{1}
C．{0，1} D．?
解析：由A∩B＝?，知，①x∈A，但x?B，或②x?A，
但x∈B，或③x?A，且x?B.
由①知fA(x)＝fA∪B(x)＝1，fB(x)＝0，∴F(x)＝1；
由②知fB(x)＝fA∪B(x)＝1，fA(x)＝0，∴F(x)＝1；
由③知fA(x)＝fB(x)＝fA∪B(x)＝0，∴F(x)＝1.
综上，得F(x)的值域为{1}．故选B.
答案：B
5．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象，得值域是(－∞，1]．
图4
答案：(－∞，1]
6．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
解析：由f(－4)＝f(0)?(－4)2＋b×(－4)＋c＝c，
f(－2)＝－2?(－2)2＋b×(－2)＋c＝－2，
得b＝4，c＝2.
则f(x)＝
由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x?x2＋3x＋2＝0?x＝－2或x＝－1，
即当x≤0时，有两个解．
当x>0时，有一个解x＝2.
综上，f(x) ＝x有3个解．
答案：3
7.已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a，0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．
解析：由题意知∴∴a＋b＝1.
答案：1
8.已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3<0，
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
∵0<1<4，
∴f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图象如图5所示．
图5
9.如图6，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B ，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
图6
解： 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当点P在CD上运动，
即4 当点P在DA上运动，
即8 综上可知，f(x)＝
10．已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，求a的取值范围．
解：y＝x2－|x|＋a＝
如图7，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，观图可知，a的取值必须满足解得1图7
拓展要求
1．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合A中没有元素对应，则k的取值范围是 ( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：设k＝x2－2x＋2即x2－2x＋2－k＝0，k没有元素对应即上述方程无解，故Δ＜0，即(－2)2－4(2－k)＜0，∴k＜1，故选B.
答案：B
2．若函数f(x)＝φ(x)＝则当x＜0时，f[φ(x)]为 ( )
A．－x B．－x2
C．x D．x2
解析：x＜0时，φ(x)＝－x2＜0，∴f(φ(x))＝－x2.
答案：B
3．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 m，甲从10时出发前往乙家．如图8表示的是甲从家出发到乙家为止经过的路程y(单位：m)与时间x(单位：分)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．
图8
解：当0≤x≤30时，设f(x)＝kx(k≠0)，
将(30，2)代入，可得k＝，
故f(x)＝x；
当30当40≤x≤60时，设f(x)＝mx＋b(m≠0)，
将(40，2)，(60，4)代入，可得
解得
即f(x)＝x－2.
综上，f(x)＝
