2020中考数学万能解题模型——相似三角形中常见基本模型（附答案）

2020中考数学万能解题模型——相似三角形中常见基本模型
基本模型1　A字型及其变形
　
1.(2019·遵义)如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC.若AD2＝AB·DC，则OD＝.
2.(2019·娄底)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E.求证：
(1)直线CD是⊙O的切线；
(2)CD·BE＝AD·DE.
证明：(1)连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO.
∴∠CAD＝∠ADO.∴AC∥OD.
∵CD⊥AC，∴CD⊥OD.
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线.
(2)连接BD.
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝∠BDE＝90°.
∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°.
∴∠CAD＝∠BAE＝∠DBE.
∴△ACD∽△BDE.∴＝.
∴CD·BE＝AD·DE.
基本模型2　X字型及其变形
　
　　
3.(2018·巴中)如图，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3.

4.(2018·扬州)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是(A)
A.①②③ B.① C.①② D.②③
基本模型3　双垂直型
　
相关结论：△ACD∽△ABC∽△CBD，CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.
5.(2019·宜宾)如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝.

6.(2019·南充模拟)如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4.若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为(8，0).
7.(2019·南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.
解：(1)证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
∴∠ACB＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
(2)过点O作OH⊥CD于点H.
∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△CDB.
∴＝.∴＝.
∴AB＝.∴AD＝AB－BD＝.
∵OH⊥CD，∴CH＝DH.
∵AO＝OC，∴OH＝AD＝.
∴点O到CD的距离是.
基本模型4　一线三等角型
　
(1)如图1，△CAP∽△PBD(此图又叫做“三垂图”)；
(2)如图2、图3，有以下结论：
①△CAP∽△PBD；
②连接CD，当点P为AB的中点时，△CAP∽△PBD∽△CPD.
8.(2019·凉山州)如图，在正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4.
9.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长.
解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°.
∴∠BAD＝∠CDE.
∴△ABD∽△DCE.
∴＝，即＝.∴CE＝2.
∴AE＝9－2＝7.
【变式】　点D，E分别变到CB，AC的延长线上.
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB，AC的延长线上，∠ADE＝60°.求证：△ABD∽△DCE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠ABD＝∠DCE＝120°.
∵∠ABC＝∠DAB＋∠BDA，∠ADE＝∠EDC＋∠BDA，∠ABC＝∠ADE＝60°，
∴∠DAB＝∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
10.如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长.
解：(1)有三对相似三角形：△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP＝x，由折叠的性质，得BP＝AP＝EP＝x.∴AB＝DC＝2x.
由△AMP∽△BPQ，得＝，∴BQ＝x2.
由△AMP∽△CQD，得＝，∴CQ＝2.
AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，
MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1.
在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，DF＝DC＝2x，
∴＝.
解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去).
∴AB＝2x＝6.