北师大版八年级下册数学 2.5一元一次不等式与一次函数导学案（含答案）

导学案：一元一次不等式与一次函数的关系
【学习目标】
1、一元一次不等式与一次函数的关系。
2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。
【学习重点】
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。
【学习难点】
根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。
【学习过程】
一、复习导学
前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说：
“一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题，
那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？
如：下面两个问题是同一问题吗？
（1）解不等式：2x-4＜0
（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？

今天我们就来探究类似这样的问题？
二、自主探究、合作交流
1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：
还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式．
如y=2x－5为一次函数．
在一次函数y=2x－5中，
当y=0时，有方程2x－5=0；
当y＞0时，有不等式2x－5＞0；
当y＜0时，有不等式2x－5＜0．
由此可见：_________________________________________________________________
___________________________________________________________________________．
2．做一做：
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题．

（1）x取哪些值时，2x－5=0？
（2）x取哪些值时，2x－5＞0？
（3）x取哪些值时，2x－5＜0？
（4）x取哪些值时，2x－5＞1？
请回答：
（1）


（2）


（3）

（4）

3．试一试
如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0？
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：

从图象上可知:_____________________________________________________
__________________________________________________________________．
4．练一练
函数y1=2x-5和y2=x-2的图象如图所示，观察图象回答下列问题：

（1）x取何值时，y1＝y2？
（2）x取何值时，y1＞y2？
（3）x取何值时，y1＜y2？
从图象上看:




总结一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看

从形的角度看



三、应用新知、拓展提升
（一）基础演练
1．已知函数y=3x+8，当x________________________时，函数的值等于0．当x_________________________时，函数的值大于0．当x__________________________________时，函数的值不大于2．
2．如图，直线l1，l2交于一点P，若y1≥y2，则（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．2≤x≤ 3 D．x≤4


（二）典例示范
例1 ．作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0？
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．




例2．一次函数y=-3x+12中，x为何值时：
（1）当x取何值时，y＞0；
（2）当x取何值时，y＝0；
（3）当x取何值时，y＜0 ．




（三）拓展提升
例3．已知y1=－x+3，y2=3x－4，当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？




四、课堂小结
(
转化
)1．转化思想：
__________问题 ___________问题
2．解函数问题的方法：
图象法：_________________________________．
3．一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看


从形的角度看


五、课堂检测
1．已知y1＝x－5，y2＝2x＋1．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜ C．x＜－6 D．x＞－6
2．已知一次函数的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（　　）
(
－
4

y
O
2
x
)
A．－2＜y＜0 B．－4＜y＜0 C．y＜－2 D．y＜－4
3．若一次函数y＝(m－1)x－m＋4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是________．
4．已知，试确定取何值时不小于？



5.在同一坐标系中画出一次函数y1＝－x＋1与y2＝2x－2的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）写出直线y1＝－x＋1与y2＝2x－2的交点P的坐标．
（2）直接写出：当x取何值时y1＞y2；y1＜y2




参考答案：
一、复习导学
二、自主探究、合作交流
1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系：
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．
2．做一做：
（1）当y=0时，2x－5=0，
∴x=，
∴当x=时，2x－5=0．
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件．当x＞时，由y=2x－5可知y＞0．因此当x＞时，2x－5＞0．
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0；
（4）要使2x－5＞1，也就是y=2x－5中的y大于1，那么过纵坐标为1的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（3，1），则当x＞3时，有2x－5＞1．
3．试一试
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0．
4．练一练
从图象上看，
（1）y1=y2时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程2x-5=x-2的解；
（2）一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5＞x-2的解；
（3）一次函数y1=2x-5的图象在y2=x-2的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式2x-5＜x-2的解．
总结一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看
求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围．
从形的角度看
求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围
三、应用新知、拓展提升
（一）基础演练
1．＝ ，﹥ ，﹤﹣2． 2．B
（二）典例示范
例1 ．
分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积．
解：

（1）当x＞2时，2x－4＞0；
（2）当x＜4时，－2x+8＞0；
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立；
（4）由2x－4=0，得x=2．
由－2x+8=0，得x=4．
所以AB=4－2=2．
由
得交点C（3，2）．
所以△ABC中AB边上的高为2．
所以S=×2×2=2．
例2．
解：（1）当y＞0时，则有-3x+12＞0，
　　-3x＞－12， x＜4
（2）当y＝0时，则有-3x+12＝0，
-3x＝－12， x＝4
（3）当y＜0时，则有-3x+12＜0，
-3x＜－12， x＞4
（三）拓展提升
例3．
解：如图所示：

当x取小于的值时，有y1＞y2．
四、课堂小结
(
转化
)1．转化思想：
一次不等式问题 一次函数问题
2．解函数问题的方法：
图象法：画出函数图象解决函数和不等式问题．
3．一次函数与一元一次不等式的关系：
从数的角度看
求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求函数y=ax+b的函数值大于0（或小于0）时x的取值范围．
从形的角度看
求ax+b＞0（或＜0）(a，b是常数，a≠0)的解集就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方时自变量的取值范围
五、课堂检测
1．C． 2．C． 3．m＜4且m≠1．
4．当时不小于．
5．图象略．（1）P（1，0）； （2）当x＜1时y1＞y2，当x＞1时y1＜y2．