第一章 立体几何初步
§1 简单几何体
1.1 简单旋转体
1.2 简单多面体
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一、选择题
1．充满气的救生圈可由下面哪一个图形绕给定轴旋转而成( )
解析：A旋转可生成两个同心球面；B旋转可产生两个套在一起的救生圈；D可得到一个球面．
答案：C
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱台的组合体 D．不确定
答案：A
3．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由下面哪些简单几何体构成( )
A．一个圆台和两个圆锥 B．两个圆台和一个圆锥
C．两个圆柱和一个圆锥 D．一个圆柱和两个圆锥
解析：等腰梯形可分割成两个直角三角形和一个矩形，可分别旋转．
答案：D
4．下列判断正确的是( )
A．棱柱中只能有两个面可以互相平行
B．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱
C．底面是正六边形的棱台是正六棱台
D．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
解析：棱柱的两底面互相平行，一对侧面也可以互相平行，如长方体，故A不正确；由直棱柱，正棱柱的定义知B正确；底面是正多边形的棱锥不一定是正棱锥，截得的棱台也不一定是正棱台，故C、D均不正确．故选B.
答案：B
5．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则在长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：该长方体被分成的三个几何体都是棱柱，分别为三棱柱AA1P－DD1Q，三棱柱BB1E－CC1F和四棱柱ABEP－DCFQ.
答案：D
6．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：各条棱都相等，底面必为正多边形，在正六边形中，中心到各顶点距离都相等，则空间一点到正六边形顶点的距离必大于中心到顶点的距离，即大于边长．也就是六棱锥侧棱长必大于底面正六边形的边长．
答案：D
二、填空题
7．一个棱柱至少有________个面，面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
答案：五 六 九
8．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面．
即正方形或长方形，∴①正确，②错误；
棱锥A－A1B1D1符合③，∴③正确；
棱锥A－B1D1C符合④，∴④正确；
棱锥A－A1B1C1符合⑤，∴⑤正确．
答案：①③④⑤
9．给出下列三个命题：
①夹在圆柱的底面与截面间的几何体还是一个旋转体；
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；
③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．
其中正确命题的序号是________．
解析：①当截面与底面平行时符合题意；②正确；③只有一条母线．
答案：②
三、解答题
10．在如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．
解：③是圆柱，圆面AOB与圆面A′O′B′为底面，OO′为高，AA′及BB′为母线．
②是圆锥，圆面AOB为底面，SO是高，SA、SB是母线．
①不是圆柱．
④不是圆锥．
11．观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
解：①由四棱锥、长方体组成．
②由球、四棱柱、四棱台组成．
③由圆柱、六棱柱组成．
④由两个圆台及一个圆柱组成．
12．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解：圆台的轴截面如图所示，
设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，
∴OO1＝2x.
又S轴截面＝(6x＋2x)·2x＝392，
∴x＝7.
则圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，
两底面的半径分别为7 cm,21 cm.
13．如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1、9、9、8、4、5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和．
解：这12个小正方体共有面数6×12＝72个，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为(1＋9＋9＋8＋4＋5)×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.
课件46张PPT。§1 简单几何体
1.1 简单旋转体
1.2 简单多面体自主学习 梳理知识课前基础梳理直径 球面所围成的几何体 圆心 半径 球心 一边 一条直角边 垂直于底边的腰 高 侧面 母线 平面曲线 封闭的 平面多边形 四边形互相平行底面侧面平行四边形棱侧棱顶点直棱柱正棱柱多边形 三角形 正多边形 全等 平行于 底面与截面之间 正棱台 等腰梯形 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§2 直观图
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一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
解析：A显然不正确；梯形中有一组对边不相等，故直观图不可能为平行四边形，∴B错；矩形两组对边都相等，直观图不可能是梯形，∴C错；只有D正确．
答案：D
2．如图，若水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：∵A′B′∥y′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
答案：C
3．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形A1B1C1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：设A1与O′重合，如图所示．
由于∠x′O′y′在原平面图形中是直角，∠B1O′C1>∠x′O′y′，所以∠BAC>90°，即△ABC为钝角三角形．
答案：C
4．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
解析：△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，因此AC＞AD，AC＞AB，AC＞BC.
答案：D
5．一个用斜二测画法画出的三角形是斜边为a的等腰直角三角形，则原三角形的面积是( )
A.a2 B．a2
C．a2 D．2a2
解析：直观图等腰直角三角形的直角边长为a·＝a，面积为，∴原三角形的面积为÷＝a2.
答案：C
6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2＋ B．
C. D．1＋
解析：直观图梯形下底长为1＋，原图形为上底为1，高为2，下底为1＋的直角梯形，其面积为S＝×(1＋1＋)×2＝2＋.
答案：A
二、填空题
7．平面直角坐标系中的点M(2,2)在直观图中对应点M′，则M′的找法是___________________________________________________________________
_______________________________________________________________.
答案：过点(2,0)作与y′轴平行的直线，过点(0,1)作与x′轴平行的直线，两直线交点为M′
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线为2.5.
答案：2.5
9．平面图形如图所示，在四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图的形状是________，其周长为________cm.
解析：由斜二测画法知：直观图应为正方形，如图所示，其中O′A′＝B′C′＝1 cm，O′B′＝ cm，且∠A′O′B′＝45°，所以A′B′＝O′A′＝1 cm，四边形O′A′B′C′为正方形，且周长为4 cm.
答案：正方形 4
三、解答题
10．如图，四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．
解：按斜二测画法得梯形OABC的直观图为O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高|CD|＝2，在直观图中|C′D′|＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么|C′E′|＝|C′D′|sin45°＝.
11．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
12．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示．
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB.
∵|DA|＝2|D′A′|＝2|AC|＝|A′C′|＝|BC|＝2|B′C′|＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|AD|＝2.
13．如图所示，A′B′C′D′是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．
解：原平面图形设为ABCD，
则由斜二测画法的规则知仍是直角梯形，
AB∥CD，BC⊥CD，且AB＝6，CD＝4.
因为∠x′O′y′＝45°，
所以可算得B′C′＝A′D′＝2，
由斜二测画法的规则知BC＝4.
所以，原图形面积为S＝×(6＋4)×4＝20.
课件44张PPT。§2 直观图自主学习 梳理知识课前基础梳理水平平面 45° 平行 不变 平行 水平平面 直立平面 平行性 长度 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§3 三视图
3.1 简单组合体的三视图
3.2 由三视图还原成实物图
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一、选择题
1．以下说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
解析：大部分物体三视图与物体摆放位置有关，但球的三视图与摆放位置无关．
答案：C
2．如图(1)、(2)、(3)为三个几何体的三视图，根据三视图可以判断这三个几何体依次分别为( )
A．三棱台、三棱柱、圆锥
B．三棱台、三棱锥、圆锥
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥
D．三棱柱、三棱台、圆锥
解析：由三视图知，(1)是横放的三棱柱，(2)是正四棱锥，(3)是圆锥．
答案：C
3．在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示， 则相应的左视图可以为( )
解析：此几何体为半个圆锥与三棱锥构成的组合体，左视图为三角形，且左视图中有看到的棱，所以选D.
答案：D
4．(2018·天津卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
解析：观察图形图可知，俯视图为，故答案为A.
答案：A
5．已知几何体的三视图如图，则这个几何体自上而下依次为( )
A．四棱台 圆台 B．四棱台 四棱台
C．四棱柱 四棱柱 D．不能判断
解析：由主视图与左视图可判断为上、下都为台体，由俯视图可确定为棱台．
答案：B
6．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由三视图可得四棱锥P－ABCD，在四棱锥P－ABCD中，PD＝2，AD＝2，CD＝2，AB＝1，由勾股定理可知，PA＝2，PC＝2，PB＝3，BC＝，则在四棱锥中，直角三角形有：△PAD，△PCD，△PAB共三个，故选C.
答案：C
二、填空题
7．根据下列物体的三视图，可知该几何体的名称为________．
解析：由主视图和左视图可判断为柱体，由俯视图知为棱柱．
答案：三棱柱
8．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观察者时其主视图是三角形，其余的主视图均不是三角形．
答案：①②③⑤
9．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长均等于4，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则该矩形的面积为________．
解析：俯视图与左视图均可体现三棱柱的宽，即左视图宽为4×＝6，左视图的高为4，
∴面积为6×4＝24.
答案：24
三、解答题
10．画出如下图所示几何体的三视图(阴影部分为主视方向)．
解：(1)
(2)
11．如图所示，是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图．
解：
12．已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．
解：由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．
13．如图所示是由几个小立方体所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．
解：由俯视图画主视图和左视图，方法有二：一是先摆出几何体，再画主视图和左视图；二是先由俯视图确定主视图，左视图的列数及每列上小正方体的个数：①主视图
与俯视图列数相同，其每列小正方体数是俯视图中该列中的最大数字；②左视图的列数与俯视图中的行数相同，其每列的小正方体数是俯视图中该行中的最大数字，该几何体的主视图和左视图如下：
课件39张PPT。§3 三视图
3.1 简单组合体的三视图
3.2 由三视图还原成实物图自主学习 梳理知识课前基础梳理柱、锥、台等基本几何体 拼接 切掉 挖掉 长对正 高平齐 宽相等 方向 可能不同 交线 虚线 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理(1)
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一、选择题
1．两个平面重合的条件是( )
A．有三个公共点 B．有无数个公共点
C．有一条公共直线 D．有两个相交公共直线
解析：由两条相交直线确定一个平面知，D正确．
答案：D
2．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
解析：A错，线面平行时，直线上的点都在平面外；B错，若无穷多个点在平面内，则直线必在平面内，不会有两个点在平面外；C错，直线与平面相交时，有一个点在平面内；D正确．
答案：D
3．对不重合的平面α，β，下列结论错误的是( )
A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l?α
B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C．若l?α，A∈l，则A?α
D．若A?α，A∈l，则l?α
解析：若l与α相交，也满足l?α，若l与α的交点为A.则A∈l且A∈α，C中结论错误．
答案：C
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线EF是平面ACD1与下面哪个平面的交线( )
A．平面BDB1
B．平面BDC1
C．平面ACB1
D．平面ACC1
解析：E∈DC1，F∈BD，又DC1?平面BDC1且BD?平面BDC1，∴E，F∈平面BDC1，即直线EF?平面BDC1.
答案：B
5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，D∈l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：∵AB∩l＝D，∴D∈AB，又∵AB?平面γ，∴D∈γ.由已知，C∈γ，且C∈β，D∈β.即点C和点D既在β内又在γ内，∴点C和点D在β与γ的交线上．
答案：D
6．已知空间中四点，如果其中任意三点都不共线，则经过其中三个点的平面共有( )
A．一个或两个 B．一个或三个
C．两个或三个 D．一个或四个
解析：根据条件，这四点要么在同一平面上，要么每三点确定一个平面即共有四个平面．
答案：D
二、填空题
7．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为________个．
解析：由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．
答案：1
8．点A∈α，B?α，C?α，则平面ABC与平面α的交点有________个．
解析：由公理3可知，平面ABC与平面α相交，交点有无数个．
答案：无数
9．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，
①AA1∩AB＝A，
AA1∩A1B1＝A1，
直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，
AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
答案：1或2或3
三、解答题
10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.
又∵D1F?平面BED1F，∴P在平面BED1F内，∵AD?平面ABCD，∴P∈平面ABCD，又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
11.已知：如图，a∩b＝C，b∩c＝B，a∩c＝A.求证：a，b，c共面．
证明：∵三条直线两两相交且不交于一点，
∴A，B，C三点不共线(否则与已知矛盾)，
∴可设A，B，C三点确定一个平面α，
∵A∈α，B∈α，∴AB?α，即c?α，
同理，b?α，a?α，所以a，b，c共面．
12．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．
证明：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β.
又∵AB∩α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．
求证：(1)E、F、D1、C四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
证明：(1)分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EFA1B.
又A1D1B1C1BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面．
(2)由(1)可得EFCD1，
∴直线D1F和CE必相交，设D1F∩CE＝P.
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，
∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD.∴CE，D1F，DA三线共点．
课件44张PPT。§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理(1)自主学习 梳理知识课前基础梳理点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 不在一条直线上 直线外一点 相交 平行 两点 有一个公共点 一条 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§4 空间图形的基本关系与公理
4.2 空间图形的公理(2)
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一、选择题
1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
解析：a与c不可能平行，若a∥c，由已知a∥b，则b∥c与b∩c＝A矛盾．a与c异面、相交都有可能．
答案：D
2．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．相似
C．有一个角相等 D．无法判断
答案：B
3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是( )
A．OB∥O1B1且OB与O1B1方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析：如图，在正方体中，OB与O1B1不平行，若它们在同一平面内，则OB∥O1B1.
答案：D
4．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
解析：PA与BC，PB与AC，PC与AB.
答案：B
5．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
解析：A中PQ∥RS；B中PQ∥RS；C中PQ与RS异面；D中PQ与RS相交．
答案：C
6．如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，且＝＝λ，＝＝μ，则下列结论不正确的是( )
A．当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形
B．当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C．当λ＝μ＝时，四边形EFGH是平行四边形
D．当λ＝μ≠时，四边形EFGH是梯形
解析：∵＝＝λ，
∴EH∥BD且EH＝λBD.
同理FG∥BD，且FG＝μBD，
∴EH∥FG.
当λ＝μ时，EH＝FG.
∴此时四边形EFGH是平行四边形．
∴A，C正确，D错；当λ≠μ时，EH≠FG，此时四边形EFGH是梯形，∴B正确．
答案：D
二、填空题
7．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D与BC1所成的角为________．
解析：取CD的中点E，连接B1C交BC1于F，连接EF，则EF∥B1D.
异面直线B1D与BC1所成的角即为EF与BC1所成的锐角或直角，显然EF⊥BC1，
∴所求角为90°.
答案：90°
8．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
解析：将展开图恢复成正方体如图所示．
由图知异面直线有：AB与CD，EF与GH，AB与GH.
答案：3
9．如图，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析：△BCD中，＝＝，
∴GF∥BD，＝.∴FG＝4 cm，
在△ABD中，点E，H是中点，
∴EH＝BD＝3 cm，
设EH，FG间的距离为d cm，
则×(4＋3)×d＝28，∴d＝8 cm.
答案：8 cm
三、解答题
10．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
证明：连接AC，
由正方体的性质可知：
AA′CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′AC.
又∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A′C′且MN≠A′C′.
∴四边形MNA′C′是梯形．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，
所以∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角或其补角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，
所以BE＝＝.
在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，
AE＝，所以EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，
所以BF＝.在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝＝＝，
所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
解：取CN的中点K，连接A1K，MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN，所以∠A1MK或其补角为异面直线A1M与DN所成的角，连接A1C1，AM.设正方体棱长为4.
则A1K＝＝，MK＝DN＝ ＝，
A1M＝ ＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，
∴∠A1MK＝90°.
13．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，点D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC.
证明：连接PD，PE并延长分别交AB，BC于点M，N，
∵D，E分别是△PAB，△PBC的重心，
∴M，N分别是AB，BC的中点．
连接MN，则MN∥AC且MN＝AC.
△PMN中，因为＝＝，
所以DE∥MN且DE＝MN.
综上得：DE∥AC且DE＝MN＝AC.
课件46张PPT。4.2 空间图形的公理(2)自主学习 梳理知识课前基础梳理平行 不共面 相交直线 平行直线 异面直线 相等或互补 锐角(或直角) 互相垂直 不在同一平面内 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
课时跟踪检测
一、选择题
1．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AC在此平面内
解析：如图所示，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，不难得出EF∥AC.
显然EF?平面EFG，AC平面EFG，
所以有AC∥平面EFG.
答案：A
2．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出1个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
解析：设直线l外两点确定直线AB，①当AB与l相交时，满足题意的平面不存在；②当AB与l异面时，满足题意的平面只能作一个；③当AB∥l时，满足题意的平面有无数多个．
答案：D
3．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
解析：如图，正方体的面ABCD为平面α，A1B1为直线a，若B1C1为直线b，则b∥α，若B1B为直线b，则b与α相交．
答案：D
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，EF∥平面A1C1D( )
A．1 B．
C. D．
解析：当F为BC的中点时，EF∥A1C1，则EF∥平面A1C1D.
答案：B
5．若直线l不平行于平面α，且lα，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：由题意可得α内不存在与l平行的直线．若α内存在直线m与l平行，由于l不在α内，则可得到l与α平行，与已知矛盾．
答案：B
6．在三棱锥P－ABC中，点D在PA上，且PD＝DA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若△ABC的面积为9，则△DEF的面积为( )
A．1 B．2
C．4 D．
解析：
如图，易知△DEF∽△ABC，由PD＝DA，知PD＝PA.
∴＝＝.
∴＝2＝.
又S△ABC＝9，∴S△DEF＝1.
答案：A
二、填空题
7．下列三个说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；
②若直线a∥b，直线a?α，b?α，则a∥α；
③若a∥b，b?α，则a与α内任意直线平行．
其中正确的有________．
解析：直线a在平面α外，包含直线a与α相交、直线a与α平行两种情况，①不正确；由直线和平面平行的判定定理知②正确；③中a与α内的直线可能平行，相交、异面，③不正确．
答案：②
8．三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系是________．
解析：如图，取BC中点F，连接SF.
∵G为△ABC的重心，
∴A，G，F共线且AG＝2GF.
又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.
又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：平行
9．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF的交线为AC，M为线段EF的中点，则AM与平面BDE的位置关系是________．
解析：设AC与BD交于点O，
连接OE.
由题意知EMAO，∴四边形MAOE为平行四边形，∴AM∥OE.
又∵AM平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
答案：平行
三、解答题
10．在如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线和平面AC是什么位置关系？
解：(1)如图，在平面A′C′内，经过P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF，BE，CF就是应画的线．
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′，由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC，又EF?平面AC，BC?平面AC，则EF∥平面AC.BE，CF显然都与平面AC相交．
11．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC，A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
证明：连接DE.因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC且DE＝AC.因为ABC－A1B1C1是三棱柱，
所以AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1且AC＝A1C1.
因为F是A1C1的中点，所以A1F∥AC且A1F＝AC，所以DE∥A1F且DE＝A1F，
所以四边形A1DEF是平行四边形，所以EF∥A1D，又EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
12．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：
(1)EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图所示，连接SB.
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)∵F、E分别是DC、BC的中点，∴FE∥BD.
又∵BD?平面BDD1B1，
FE?平面BDD1B1，
∴FE∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
13．已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，若存在，请说出点P的位置．
解：存在．如图，连接BD交AC于O，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于F，连接BF.
∵BG∥OE，BG平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，
∴平面BGF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．
又∵GF∥CE，∴F是PC的中点．
综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
课件48张PPT。§5 平行关系
5.1 平行关系的判定自主学习 梳理知识课前基础梳理平面外 此平面内 相交直线 平行于 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§5 平行关系
5.2 平行关系的性质
课时跟踪检测
一、选择题
1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )
A．梯形
B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形
D．不确定
解析：长方体的两组相对的面与截面分别相交，交线分别平行，则四边形EFGH为平行四边形．
答案：B
2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：若l∥α，则所得交线互相平行；若l与α相交，则所得交线必交于一点．
答案：D
3．若平面α∥平面β，直线m?α，b?β，则①m∥b；②m，n为异面直线；③m，n一定不相交；④m∥n或m，n异面．其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
解析：若平面α∥平面β，直线m?α，直线b?β，则直m与n没有公共点，即m与n平行或异面，故③④正确．
答案：C
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P、B、Q三点的截面是( )
A．邻边不相等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．矩形
D．正方形
解析：如图所示，设经过P、B、Q三点的截面为平面γ，由平面ABB1A1∥平面DCC1D1；平面ADD1A1∥平面BCC1B1.知γ与两组平面的交线平行．所以截面为平行四边形．
又因为△ABP≌△CBQ，
所以PB＝QB.知截面为菱形．
又PQ≠BD1，知截面不可能为正方形．应选B.
答案：B
5．给出下列命题：
①m?α，n?α，m∥β，n∥β ?α∥β；
②α∥β，m?α，n?β ?m∥n；
③α∥β，l?α?l∥β；
④α内的任一直线都平行于β?α∥β.
其中正确的命题是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：①错，m与n应为相交直线；②错，m、n分别位于两平行平面内，则m与n无公共点，可能平行，可能异面；③正确；④正确．
答案：C
6．下列说法正确的个数为( )
①若点A不在平面α内，则过点A只能作一条直线与α平行；
②若直线a与平面α平行，则a与α内的直线的位置关系有平行和异面两种；
③若a、b是两条异面直线，则过a且与b平行的平面有且只有一个；
④若直线a与平面α平行，且a与直线b平行，则b也一定平行于α.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①错，过A可作一平面β与α平行，在β内过点A的直线都与α平行；②正确，a与α平行，则a与α内的所有直线无公共点；③正确，假设过a且与b平行的平面有两个：α和β，则过b作一平面γ，设γ∩α＝a′，γ∩β＝b′，则a′，b′与a共点，由线面平行性质定理可得，b∥a′，b∥b′，所以a′∥b′，这与a′，b′与a共点矛盾；④错，b可能与α平行，也可能在α内．
答案：B
二、填空题
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：由EF∥平面AB1C可知，EF∥AC，
∴EF＝AC＝×＝×2＝.
答案：
8．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中正确的是________．
①AC⊥BD ②AC∥平面PQMN ③AC＝BD ④异面直线PM与BD所成的角为45°
解析：由MN∥PQ，得PQ∥平面ACD.又平面ABC∩平面ADC＝AC，得PQ∥AC，从而AC∥平面PQMN，故②正确；同理可得MQ∥BD，又MQ⊥PQ，得AC⊥BD，故①正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确；因为P，Q，M，N四点在相应边上的位置不知，AC＝BD不一定成立，故③错误．
答案：①②④
9．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝________.
解析：当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图．
由题意知：AC∥BD，＝＝.又CP＋PD＝CD＝34，
∴CP＝16.当交点位于BA延长线上时，AC∥BD.
∴＝＝，＝，CP＝272.
答案：16或272
三、解答题
10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明：∵BC∥AD，AD?平面PAD，BC平面PAD.∴BC∥平面PAD.又∵BC?平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD＝EF.
∴BC∥EF.又∵EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．
11．如图，在棱长为a的正方体中，点M为A1B上任意一点，求证：DM∥平面D1B1C.
证明：由正方体ABCD－A1B1C1D1，知A1B1AB，ABCD，
所以A1B1CD.
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C.
而B1C?平面CB1D1，A1D平面CB1D1，所以A1D∥平面CB1D1.
同理BD∥平面CB1D1，且A1D∩BD＝D.
所以平面A1BD∥平面CB1D1.
因为DM?平面A1BD，所以DM∥平面CB1D1.
12．如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
∵OM?平面BMD，
PA平面BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH.PA?平面PAHG，
∴PA∥GH.
13．如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1 B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.又因为OD1?平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知得平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1 ∩平面AB1D1＝D1O.
因此BC1∥D1O，
同理AD1∥DC1.
所以＝，＝.
又因为＝1，所以＝1，即＝1.
课件48张PPT。§5 平行关系
5.2 平行关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理交线 该直线 交线平行 a∥b 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§6 垂直关系
6.1 垂直关系的判定
课时跟踪检测
一、选择题
1．若直线l不垂直于平面α，那么平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．只存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条直线与l垂直
D．以上都不对
解析：可在正方体中考虑问题．设平面A1B1C1D1为平面α，直线B1C为直线l，且l与α不垂直．但在底面内，所有与A1B1平行的直线都与l垂直．
答案：C
2．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线有如下情况：
①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
不能保证直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．②
C．②④ D．①②④
解析：①三角形任意两边为相交直线．②若与两底所在直线垂直，则不能判断线面垂直．③直径必相交．④若垂直于正六边形互相平行的边，则不能保证线面垂直．
答案：C
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1.
答案：B
4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为( )
A．60° B．30°
C．45° D．90°
解析：∵AB是圆的直径，
∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，即BC⊥PA，
又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC.
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．
又∵PA＝AC，
∴∠PCA＝45°.
答案：C
5．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，则下列结论不正确的是( )
A．CD∥平面PAF
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CF⊥平面PAD
解析：由正六边形的性质及PA⊥平面ABCDEF，可推得A，B，C均正确，而D不正确．因为四边形ACDF不是正方形，CF与AD不垂直．
答案：D
6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
解析：A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；
B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，
∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
答案：D
二、填空题
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．
解析：由题意知，AC⊥平面BB1D1D，且AC?平面ACD1.
∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案：平面ACD1⊥平面BB1D1D
8．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于________．
解析：如图，O为△ABC的中心，∠SCO即为所求角．
由题意，设底面边长为a，则侧棱长为2a|CO|＝××a＝a.
∴cos∠SCO＝＝＝.
答案：
9．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β，BC⊥平面α 于C，AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．
解析：当二面角α－l－β是锐二面角时，因为AB⊥β且l?β，所以AB⊥l.因为BC⊥α，l?α，所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC，所以l⊥AC.设垂足为H.所以BH?平面ABC，所以l⊥BH，所以∠AHB为二面角α－l－β的平面角．Rt△BCA中，AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°.Rt△ABH中，因为∠BAH＝30°，所以∠AHB＝60°.同理，当二面角α－l－β为钝二面角时，可得所求二面角的平面角为120°.综上，所求角大小为60°或120°.
答案：60°或120°
三、解答题
10．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)∵SA＝SC，D为AC中点，
∴SD⊥AC，Rt△ABC中，AD＝CD＝BD.
又∵SA＝SB，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
由(1)知SD⊥面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面SAC.
11.(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明：(1)在平面ABD内，
∵AB⊥AD，EF⊥AD，
∴EF∥AB.
又∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
BC?平面BCD，BC⊥BD，∴BC⊥平面ABD.
∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，
BC?平面ABC，∴AD⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC，
∴AD⊥AC.
12．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
证明：(1)因为DEF－ABC是三棱台，且AB＝2DE，所以BC＝2EF，AC＝2DF.
因为点G，H分别是AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
因为AB?平面FGH，GH?平面FGH，所以AB∥平面FGH.
因为EF∥BH且EF＝BH，所以四边形BHFE是平行四边形，所以BE∥HF.
因为BE?平面FGH，HF?平面FGH，所以BE∥平面FGH；
又因为AB∩BE＝B，所以平面ABE∥平面FGH，因为BD?平面ABE，
所以BD∥平面FGH.
(2)因为AB＝2DE，所以BC＝2EF，因为H是BC的中点，所以HC＝BC＝EF，又HC∥EF，所以四边形HCFE是平行四边形，所以HE∥CF.
因为CF⊥BC，所以HE⊥BC.
因为GH∥AB，AB⊥BC.
所以GH⊥BC.因为GH∩HE＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC?平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.
13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．
(1)证明：EF∥平面A1CD；
(2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；
(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
解：(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE＝AC，
且DE∥AC，
又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，
所以EF∥DA1.
又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，
所以EF∥平面A1CD.
(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，
又由于侧棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，
所以A1A⊥CD，
又A1A∩AB＝A，
因此CD⊥平面A1ABB1，而CD?平面A1CD，
所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.
(3)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.
由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，
故BG⊥平面A1CD.
由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．
设棱长为a，可得A1D＝，
由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.
在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.
课件53张PPT。§6 垂直关系
6.1 垂直关系的判定自主学习 梳理知识课前基础梳理任何一条直线 两条相交 两部分 每一部分 两个半平面 棱 这两个半平面 二面角α－AB－β 任一点 垂直于棱 直二面角 直二面角 另一个平面的一条垂线 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§6 垂直关系
6.2 垂直关系的性质
课时跟踪检测
一、选择题
1．下面说法正确的是( )
A．若m α，l?α，则m∥l B．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
C．若m∥n，n?α，则m∥α D．若m⊥l，m⊥n，则l∥n
解析：A中，mα，但m可能与α相交，此时m与l不平行，A错；C中，m也可以在α内，C错；D中，l与n还可能异面或相交，D错．
答案：B
2．若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P?l，则下列命题中的假命题为( )
A．过点P且垂直于α的直线平行于β
B．过点P且垂直于l的平面垂直于β
C．过点P且垂直于β的直线在α内
D．过点P且垂直于l的直线在α内
解析：对于D，过点P垂直于l的直线可能在α内，也可能不在α内．
答案：D
3．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相离，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析：若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，故A错；当两个平面相交时，也满足条件，故B错；若两个平面垂直于同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错．
答案：C
4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A．AC⊥β
B．AC⊥EF
C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
解析：∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α，β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.
答案：D
5．如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为( )
①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图，平面EMN∥平面SBD，
EP?平面EMN，∴EP∥平面SBD，
又∵AC⊥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，
又∵EP? 平面EMN，
∴AC⊥EP，即EP⊥AC，则①③正确，②④错误．
答案：B
6．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
解析：
如图，连接AC1，
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.
又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴AC⊥平面ABC1.
又AC?ABC，
∴平面ABC1⊥平面ABC，且平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．
答案：A
二、填空题
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取BC的中点F，连接EF，DF.
则EF∥C1C，且EF＝C1C＝1.
又∵C1C⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∴∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角．
又∵DF＝＝，
∴tan∠EDF＝＝＝.
答案：
8．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
解析：作AE⊥BC于E，连接DE.
由条件知，E为BC的中点，且AE⊥DE.
AE＝DE＝BC＝a，
∴AD＝＝a.
答案：a
9．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
解析：取AB的中点E，连接PE.
∵PA＝PB，∴PE⊥AB.
∵平面PAB∩平面ABC＝AB，
又平面PAB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，连接CE，则PE⊥CE.
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝2，PE＝＝，
CE＝＝，
PC＝＝7.
答案：7
三、解答题
10．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
连接OB.因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，且OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知，PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°.
所以OM＝，CH＝＝.
所以点C到平面POM的距离为.
11．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF＝AD＝a，G是EF的中点．
(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；
(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．
解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF且交于AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AG，GB?平面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD＝2a，AF＝a，四边形ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG＝BG＝a，AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2，
∴AG⊥BG，∵BC∩BG＝B，
∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，
故平面AGC⊥平面BGC.
(2)由(1)知平面AGC⊥平面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，
∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角，
∴在Rt△CBG中，
BH＝＝＝a，
又BG＝a，∴sin∠BGH＝＝.
12．如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为弧AC的中点．在梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC.
求证：(1)直线AB⊥平面ACDE；
(2)直线BE∥平面DOF.
证明：(1)∵BC是圆O的直径，
∴AB⊥AC.
又∵平面ACDE⊥平面ABC，AC为两平面的交线，AB?平面ABC.∴AB⊥平面ACDE.
(2)设OF∩AC＝M，
连接DM，
∵F为弧AC的中点，
∴M为AC的中点，
∵AC＝2DE，AC∥DE，
∴DEAC，即DEAM.
∴四边形AMDE是平行四边形．
∴DM∥AE.又∵DM?平面ABE，AE?平面ABE，
∴DM∥平面ABE.
在△ABC中，OM∥AB.
又∵OM?平面ABE，AB?平面ABE，
∴OM∥平面ABE.
又OM?平面DOF，DM?平面DOF，OM∩DM＝M，
∴平面DOF∥平面ABE.
又∵BE?平面ABE.∴BE∥平面DOF.
13．把一副三角板按图(1)拼接，设BC＝2a，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，再把三角板ABC沿BC边折起，使两块三角板所在的平面互相垂直(如图(2))，试推断平面ABD和平面ACD是否垂直？并说明理由．
解：垂直．理由如下：取BC的中点E，BD的中点F，连接AE，EF.
则有AE⊥BC，EF∥CD，
∵CD⊥BC，∴EF⊥BC.
又∵两块三角板所在的平面互相垂直，
∴∠AEF为二面角A－BC－D的平面角．
∴∠AEF＝90°，即EF⊥AE，
∴CD⊥AE.
又AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.
∵AB?平面ABC，∴CD⊥AB.
∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，∴AB⊥平面ACD.
又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.
课件50张PPT。§6 垂直关系
6.2 垂直关系的性质自主学习 梳理知识课前基础梳理交线 l⊥β 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
课时跟踪检测
一、选择题
1．已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是( )
A．5＋2 B．6＋
C．6＋2 D．5＋
解析：此几何体为三棱柱，其表面积为×1×1×2＋2×1＋2×1＋×2＝5＋2.
答案：A
2．一个棱锥的三视图如图(单位：cm)，则该棱锥的表面积为( )
A．24 B．48
C．48＋6 D．48＋12
解析：依题意得，该几何体是一个底面为等腰直角三角形(直角边长为6)、高为4的三棱锥，其表面积等于×6×6＋×6×5×2＋×6× ＝48＋12.
答案：D
3．一个几何体的三视图如图所示，其主视图和左视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
解析：结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2,1，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.
答案：B
4．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
A．17π B．18π
C．20π D．28π
解析：由三视图可知该几何体是半径为R的球截去所得，如图所示，所以×πR3＝，解得R＝2，所以该几何体的表面积S＝×4πR2＋3×πR2＝17π.故选A.
答案：A
5．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为×2＝12，故选B.
答案：B
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 B．60
C．66 D．72
解析：该几何体为一个三棱柱截去一角．∴S＝(2＋5)×4＋3×5＋×(2＋5)×5＋×3×4＋×3×5＝60.
答案：B
二、填空题
7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．
解析：轴截面如图，r′＝1，r＝1＋AB＝1＋|A1A|＝1＋1＝2.
答案：2
8．已知正四棱锥的底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的侧面积等于________cm2.
解析：如图，正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝×4＝2(cm)，∠OPE＝30°，
所以PE＝＝4(cm)．
所以S侧面积＝×4×4×4＝32(cm2)．
答案：32
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．
解析：如图，该几何体为三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥D－A1B1C1得到，如图，
∴表面积为：×4×4＋×(4＋8)×4＋×(4＋8)×4＋4×8＋×4×4
＝8＋24＋24＋32＋8
＝64＋32.
答案：64＋32
三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
解：上底面周长为2π×10＝20π(cm)，下底面周长为2π×20＝40π(cm)，∴展开图中内弧长为：π·SA＝20π，则SA＝20，外弧长为：π·SB＝40π，则SB＝40，
∴AB＝40－20＝20，即母线长l＝20(cm)．
∴S表＝S侧＋S上＋S下
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1 100π(cm2)．
所以圆台的表面积为1 100π cm2.
11．已知四棱锥S－ABCD的底面是菱形，AC＝80 cm，BD＝60 cm，AC∩BD＝O，SO⊥平面ABCD，SO＝32 cm.求它的侧面积．
解：如图，AC＝80 cm，BD＝60 cm.
则AO＝40 cm，OB＝30 cm，
由于AC⊥BD，
∴AB＝ ＝50(cm)．
过O向BC作垂线，垂足为M，连接SM.
由OM·BC＝OB·OC，
知OM＝＝＝24(cm)．
∴SM＝ ＝ ＝40(cm)，
∴S侧＝4××BC×SM＝4××50×40＝4 000(cm2)．
12．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
解：由三视图知建筑物为一组合体，上部为一圆锥，下部为一四棱柱．圆锥底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．
圆锥的表面积为：πr2＋πrl
＝3.14×32＋3.14×3×5
＝28.26＋47.1＝75.36.
四棱柱的一个底面积为32＝9.
四棱柱的侧面积为：4×4×3＝48.
外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m2)，需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(kg)．
∴共需油漆约22.88 kg.
13．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程．
解：将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.
在Rt△ABP中，AB＝×2＝
，PB＝2，
∴AP＝ ＝
(cm)．
故蚂蚁爬的最短路程为 cm.
课件44张PPT。§7 简单几何体的再认识
7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积自主学习 梳理知识课前基础梳理展开图 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积
课时跟踪检测
一、选择题
1．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为×(1＋2)×2×2＝6，故选C.
答案：C
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．12 B．4
C． D．
解析：如图，此几何体为四棱锥．
V＝××2＝4.
答案：B
3．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为.则该几何体的俯视图可以是( )
解析：当俯视图为C时，有体积V＝×1×1×1＝，其它体积均不为.
答案：C
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A.π＋4 B．2π＋4
C．π＋4 D．π＋2
解析：该几何体为半个圆柱与长方体的组合体V＝×π×12×2＋1×2×2＝π＋4.
答案：C
5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是( )
A．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为
B．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为
C．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为
D．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为
解析：由正视图可得PA＝AC＝4，点D为棱PC的中点，由侧视图得BC＝4.因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故BD与平面PAC不垂直，排除B、D；AD?平面PAC，所以AD⊥BC.又在等腰直角三角形PAC中，点D是斜边PC的中点，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AD⊥平面PBC.且三棱锥D－ABC的体积VD－ABC＝VB－ACD＝××4×2×4＝，C正确，A错误，故选C.
答案：C
6.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π
C．42π D．36π
解析：解法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.
解法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.
答案：B
二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体为长为3，宽为2，高为1的四棱柱截去一个长为2，宽为1，高为1的四棱柱．
∴体积为3×2×1－2×1×1＝4.
答案：4
8．已知圆柱的底面周长为c，侧面展开图矩形的面积为S，则它的体积为________．
解析：设圆柱底面半径为r，高为h，
则∴r＝，h＝，
∴V＝πr2h＝π×2·＝.
答案：
9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2＝________.
解析：＝＝＝.
答案：1∶24
三、解答题
10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以上，下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积．
解：∵32＋42＝52，
∴底面是直角三角形．∴上、下底面内切圆半径r＝＝1(cm)．
∴S表＝(3＋4＋5)×6＋2×－2π×12＋2π×1×6＝72＋12－2π＋12π＝84＋10π(cm2)，
V＝×3×4×6－π×12×6＝36－6π(cm3)．
故剩余部分形成几何体的表面积是84＋10π(cm2)，
体积是36－6π(cm3)．
11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：
(1)该几何体的体积V；
(2)该几何体的侧面积S.
解：由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．
作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC.
∴PM＝ ＝ ＝5，
PN＝ ＝ ＝4.
(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64.
(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24.
12.(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.
因为AD＝CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
(2)连接EO.
由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，所以
BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
能力提升
13．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，AB⊥AC.
又BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×
2sin45°＝1.
课件44张PPT。§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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§7 简单几何体的再认识
7.3 球
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一、选择题
1．若火星的半径与地球的半径之比为1∶2，则地球表面积与火星表面积的比是( )
A．1∶4 B．4∶1
C．1∶8 D．8∶1
答案：B
2．若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为( )
A. B．
C. D．2πc2
解析：设球的半径为R，则2πR＝c，∴R＝，
∴球的表面积S球＝4πR2＝4π2＝.
答案：C
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B．π
C. D．2π
解析：由三视图知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，挖去的两个半球的半径均为1，所以该几何体的体积V＝π×12×2－2××π×13＝2π－＝.
答案：A
4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为( )
A．8π B．8π
C．4π D．4π
解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，πr2＝π，r＝1，R2＝r2＋d2＝1＋1＝2，∴S表＝4πR2＝4π×2＝8π.
答案：B
5．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为( )
A．1 B．3
C．2 D．
解析：4πR2＝πR3，R＝3.
答案：B
6．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．
C．8π D．4π
解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.
答案：A
二、填空题
7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为________．
解析：该几何体上半部分为半个球，下半部分为圆锥．
表面积为×＋×(6π)×5＝33π.
答案：33π
8．一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是________．
解析：上升的水的体积即为球的体积，
即π2×9＝πR3，解得R＝12，
S表＝4π×R2＝4π×122＝576π.
答案：576π
9．如图，已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为________．
解析：∵该三棱柱外接球的表面积是16π，
∴该球的半径R＝2，又正三棱柱底面边长是2，
∴底面三角形的外接圆半径r＝＝，
∴该三棱柱的侧棱长是2 ＝.
答案：
三、解答题
10．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
解：∵AB2＋BC2＝AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆为过A、B、C的平面截球所得截面，2r＝30，r＝15.
由题意得2＋152＝R2，
解得R2＝300，R＝10.
∴S＝4πR2＝1 200π.
V＝πR3＝π·(10)3＝4 000π.
11．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．
解：V半球＝×πR3＝π，V锥＝πR2h＝π×42×10×＝π，π<π，∴不会溢出．
12．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
解：(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝ ＝ ＝8 cm.
(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由△OCD∽△ACO1得＝.
所以＝，解得r＝3.
圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即
V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π cm3.
13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上．若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为多少？
解：该几何体的轴截面如图，
设球的半径为R，圆锥底面半径为r，
由题意得πr2＝×4πR2，∴r＝R.
∴OO1＝＝R.
体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，
体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R，
∴这两个圆锥中，体积较小的高与体积较大者的高的比值为.
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7.3 球自主学习 梳理知识课前基础梳理经过球心的平面 球的小圆 有唯一交点 切点 典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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第一章 立体几何初步
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间中，已知下列命题：
①两组对应边相等，且它们的夹角也相等的两个三角形全等；②对边相等的四边形是平行四边形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④有两组对应角相等的两个三角形相似．
其中正确的是( )
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
解析：①④是平面图形，是正确的；②③在平面内正确，而在空间中不正确．
答案：D
2．如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则梯形ABCD的面积是( )
A．10 B．5
C．5 D．10
解析：由题意知，梯形ABCD为直角梯形，AB＝2，CD＝3，AD＝2.
∴S＝×(2＋3)×2＝5.
答案：B
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，故所求表面积S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.
答案：C
4.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.＋1
B.＋3
C.＋1
D.＋3
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，故该几何体的体积V＝×π×3＋××2×1×3＝＋1.
答案：A
5．用与球心距离为1的平面去截半径为2的球，则截面面积为( )
A．2π B．3π
C．4π D．9π
解析：设球的半径为R，球心到平面的距离为h，截面圆的半径为r，则R2＝r2＋h2，∴r2＝4－1＝3，S＝πr2＝3π.
答案：B
6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的命题是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①满足面面垂直的判定定理，正确；②若m与n交于一点，则结论正确，否则不正确；③满足条件的n与α也可能平行；④满足线面平行的判定定理，正确．
答案：D
7．已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：只有②正确，①③显然不正确，对于④，当该垂线不在第一个平面内时，垂线就不垂直于另一平面．
答案：C
8．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝( )
A．2 B．
C. D．1
解析：由题意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝，故选C.
答案：C
9．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线A1C和AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是( )
解析：空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的投影是B，在左、右面上的投影是C，上、下面上的投影是D，因此选A.
答案：A
10．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A．60 B．30
C．20 D．10
解析：
如图，把三棱锥A－BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A－BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝××5×3×4＝10.
答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若直线A1C与平面BCC1B1所成的角的大小是θ，则sinθ＝________.
解析：如图，连接B1C.
在正方体中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴∠A1CB1即为直线A1C与平面BCC1B1所成的角．
∴sinθ＝＝.
答案：
12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
解析：VA－DED1＝VE－ADD1＝×1××1×1＝.
答案：
13．正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为________．
解析：由题意知，＝×3×h，h＝.连接OE，则OE∥PA，则∠BEO为PA与BE所成的角或其补角，
OB＝BD＝，
OE＝PA＝× ＝，由题意得BO⊥OP，BO⊥AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥OE.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝＝，∠BEO＝.
即PA与BE所成的角为.
答案：
14．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α，β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
解析：先把某三个论断作为条件，余下一个作为结论，所有命题写出来，然后利用线面、面面垂直有关判定和性质进行判断．
答案：②③④?①(或①③④?②)
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)如图所示，一个几何体的主视图与左视图是全等的长方形，长宽分别是4 cm和2 cm，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的全面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解：(1)由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)．
故几何体的全面积是64 cm2.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d＝＝＝6，所以球的半径r＝3.
因此球的体积V＝πr3＝36π(cm3)，所以外接球的体积是36π cm3.
16．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．
(1)求证：AB⊥平面AA1C1C；
(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
(3)证明：EF⊥A1C.
解：(1)证明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，
又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C.
(2)∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，
平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，
∵在△ABC中E是BC的中点，∴D是线段AC的中点．
(3)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中A1A＝AC，
∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，
由(1)可得AB⊥A1C，
∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.
17．(12分)如图(1)，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M为AC的中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图(2)所示．
(1)求证：平面BCM⊥平面ACM；
(2)若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B－ACM外接球的直径．
解：(1)证明：由图(1)知，BM⊥AM，BM⊥MC，AM∩MC＝M，所以BM⊥平面AMC.
又因为BM?平面BMC，所以平面BCM⊥平面ACM.
(2)因为平面ABM⊥平面BCM，平面ABM∩平面BCM＝BM，BM⊥AM，AM?平面ABM，
所以AM⊥平面BMC .
所以AM⊥MC，即AM、MC、BM两两垂直，
而易知AM＝BM＝MC＝2，
所以该三棱锥外接球与以MA、MB、MC为相邻棱组成的长方体的外接球为同一个球，所以三棱锥B－ACM外接球的直径为 ＝2.
18．(14分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，
解得x＝－2(舍去)，x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝××2＝4.
