课件37张PPT。第二章 平面解析几何初步 章末总结归纳第二章 平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点M位于点N的右侧( )
A．M(－2)和N(－3) B．M(4)和N(6)
C．M(－2)和N(3) D．M(3)和N(4)
解析：∵－2>－3，∴M(－2)在N(－3)的右侧．
答案：A
2．在下列四个命题中，正确的是( )
A．两点A，B确定唯一一条有向线段
B．起点为A，终点为B的有向线段记作AB
C．有向线段的数量AB＝－|BA|
D．两点A，B确定唯一一条线段
解析：两点A，B确定的有向线段是有两个方向的，因此A错误；起点为A，终点为B的有向线段记为，因此B错误；有向线段的数量不能用－|BA|来表示，因此C错误．
答案：D
3．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式成立的是( )
A．|－|＝||－||
B．|＋|＝||＋||
C．|－|＝||＋||
D．|＋|＝|－|
解析：根据A，B，C三点的相对位置可知，|－|＝|＋|＝||＝||＋||，故C成立．
答案：C
4．已知两点A(2)，B(－5)，则AB及|AB|的值为( )
A．3,3 B．－7，－7
C．－7,7 D．－3,3
解析：AB＝－5－2＝－7，|AB|＝|－5－2|＝7，故选C．
答案：C
5．数轴上任取三个不同点P，Q，R，则一定为零值的是( )
A．PQ＋PR B．PQ＋RQ
C．PQ＋QR＋PR D．PQ＋QR＋RP
解析：PQ＋QR＋RP＝0，故选D．
答案：D
6．已知数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则x＝________.
解析：由题可得|x＋8|＝2|x＋4|，
∴x＝0或x＝－.
答案：0或－
7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)满足|AP|＝2|BP|，则x＝________.
解析：|AP|＝|3－x|，|BP|＝|3－2|＝1，由条件|AP|＝2|BP|，∴|3－x|＝2，∴x＝1或x＝5.
答案：1或5
8．已知数轴上的三个点A(－2)，B(0)，C(3)，求BA，BC，|AC|.
解：因为A(－2)，B(0)，C(3)，
∴BA＝－2－0＝－2，BC＝3－0＝3，|AC|＝|3－(－2)|＝5.
[B组 技能提升]
1．若A(x)，B(x2)(其中x∈R)，向量的坐标的最小值为( )
A． B．0
C． D．－
解析：AB＝x2－x＝2－≥－，
当x＝时，取“＝”，故选D．
答案：D
2．设A，B，C是数轴上任意的三点，则下列结论一定正确的个数是( )
①＝＋；②AC＝AB＋BC；
③||＝||＋||；④AC＋CB＝AB.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：易知①②④正确，③不正确(当C在A、B之间时不成立)．故选C．
答案：C
3．满足不等式|x＋2|≤5的x的集合为________．
解析：|x＋2|≤5表示数轴上的点到A(－2)的距离小于等于5.
∴满足条件的x的集合为{x|－7≤x≤3}．
答案：{x|－7≤x≤3}
4．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝________.
解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－6－2＋6＝－2.
答案：－2
5．已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,2,5.
(1)求AB，BA，AC及|CB|；
(2)在数轴上若还有两点E，F，且AE＝5，CF＝2，求EF.
解：(1)AB＝xB－xA＝3，BA＝xA－xB＝－3，AC＝xC－xA＝6，|CB|＝|xB－xC|＝|2－5|＝3.
(2)设E，F坐标分别为xE，xF，则
AE＝xE－xA＝xE＋1＝5，∴xE＝4，CF＝xF－xC＝xF－5＝2，∴xF＝7，
∴EF＝xF－xE＝7－4＝3.
6．符合下列条件的点P(x)位于数轴上何处？
(1)|x＋2|≥1；
(2)|x－2|＜2.
解：(1)点P(x)表示在数轴上与点(－2)的距离不小于1的点，由|x＋2|≥1得x≥－1或x≤－3，如图．
(2)点P(x)表示在数轴上与点(2)的距离小于2的点，由|x－2|＜2得0＜x＜4，如图．
课件35张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式自主学习 梳理知识课前基础梳理大小方向同向等长正数负数典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
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[A组 基础过关]
1．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)，
∴|AB|＝＝＝；
|AC|＝＝＝；
|BC|＝＝＝3.
显然△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．如果一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)
解析：设B(x,1)，由两点间距离公式，得
5＝，解得x＝－3或x＝7.
答案：A
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5 B．4
C．2 D．2
解析：设A(a,0)，B(0，b)，
由中点坐标公式得：
∴a＝4，b＝－2，∴A(4,0)，B(0，－2)，
|AB|＝＝2.
故选D．
答案：D
4．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )
A．(－2,0) B．(1,0)
C． D．(，0)
解析：设M(x,0)，(x>0)，
则＝ ，
∴x2＝34，∴x＝，故选D．
答案：D
5．已知点M(a，b)关于x轴的对称点为N，点M关于y轴的对称点为P，则|PN|的长度为( )
A．2 B．
C．0 D．2a
解析：N(a，－b)，P(－a，b)，
∴|PN|＝＝2，故选A．
答案：A
6．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．
解析：由题可得∴
∴|OP|＝＝.
答案：
7．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点D(5,4)，则腰长为________．
解析：|BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝ ＝2.
答案：2
8．已知△ABC三顶点的坐标A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，求BC边上的高AD的长度．
解：由两点间距离公式得
d(A，B)＝，d(B，C)＝，d(A，C)＝，
∴|AB|＝|AC|.
∴△ABC为等腰三角形．
∴D为BC的中点．
由中点坐标公式得D点坐标为D，
∴d(A，D)＝ ＝.
即AD的长度为.
[B组 技能提升]
1．在直角坐标系中，O是坐标原点，P(1,2)，P′(－1，－2)，若规定PP′＝－|PP′|，则OP′为( )
A．2 B．
C．－ D．5
解析：OP′＝－|OP′|＝－＝－，故选C．
答案：C
2．已知点A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD为平行四边形(ABCD四点逆时针排列)，则点D的坐标为( )
A．(5,6) B．(6,5)
C．(－5,6) D．(－6,5)
解析：解法一：设D(x，y)，则
∴
解得x＝5，y＝6，∴D(5,6)，故选A．
解法二：设D(x，y)，∵AC的中点与BD的中点重合，
∴∴
答案：A
3．已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1,6)，R(－4,2)，则顶点A的坐标为________．
解析：设A(x0，y0)，则由P是AB的中点，得B(6－x0，－4－y0)，由Q是BC的中点，得C(x0－4,16＋y0)，
∵R是CA的中点，
∴∴
∴A(－2，－6)．
答案：(－2，－6)
4．已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是________．
解析：|AB|＝＝＝ ，
当a＝时，|AB|有最小值.
答案：
5．用解析法证明：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边中点的距离．
证明：以两条对角线的交点为原点O，对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图所示)．
设A(－a,0)，B(0，－b)，C(c,0)，
D(0，d)，则CD的中点E，
AB的中点H，
又圆心G到四个顶点的距离相等，
故圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，G的横坐标等于AC中点的横坐标，即圆心G，
∴|OE|2＝，|GH|2＝，
∴|OE|＝|GH|，结论成立．
6．已知函数f(x)＝＋，求f(x)的最小值．
解：∵f(x)＝＋＝＋，
上式表示点P(x,0)与点A(1,1)的距离加上点P(x,0)与点B(2,2)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(1,1)，B(2,2)的距离之和的最小值．
由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点A′(1，－1)和B(2,2)间的距离．
∴[f(x)]min＝＝.
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2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式自主学习 梳理知识课前基础梳理中点公式典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，则直线MN的倾斜角是( )
A．不存在 B．45°
C．135° D．90°
答案：D
2．给出下列说法，正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：A
3．经过M(5，－3)，N(－7，－3)两点的直线l的斜率和倾斜角分别为( )
A．不存在，90° B．0,180°
C．0°，0 D．0,0°
解析：∵k＝＝0，
∴倾斜角α＝0°.
答案：D
4．经过两点(3,9)、(－1,1)的直线与x轴的交点的横坐标为( )
A．－ B．－
C． D．2
解析：设直线与x轴的交点为(x,0)，
则＝，
∴x＝－，故选A．
答案：A
5．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2 B．0
C． D．2
解析：如图所示，若kBC＝0，则BC∥x轴，则AB与AC的倾斜角分别为60°或120°，∴kAB＋kAC＝tan60°＋tan120°＝0.故选B．
答案：B
6．若直线经过A(－，1)，B(，3)两点，则直线AB的倾斜角为________．
答案：
7．若三点A(2,3)，B(5,0)，C(0，b)共线，则b＝________.
解析：由三点A，B，C共线，得＝，解得b＝5.
答案：5
8．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角，直角还是钝角．
(1)A(0，－1)，B(2,0)；
(2)P(5，－4)，Q(2,3)；
(3)M(3，－4)，N(3，－2)．
解：(1)kAB＝＝，
∵kAB＞0，
∴直线AB的倾斜角是锐角．
(2)kPQ＝＝－，∵kPQ＜0，
∴直线PQ的倾斜角是钝角．
(3)∵xM＝xN＝3，
∴直线MN的斜率不存在，其倾斜角为直角．
[B组 技能提升]
1．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π] B．∪
C． D．∪
解析：k＝＝1－m2＝tanα≤1，
∴0≤α≤或<α<π.
答案：D
2．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
答案：C
3．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是________．
解析：由题可得kPA＝＝－4，kPB＝＝，
若直线l与线段AB相交，
则k≤－4或k≥.
答案：(－∞，－4]∪
4．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m＝________.
解析：由题意，直线AC的斜率存在，
即m≠－1.
∴kAC＝，kBC＝.
∴＝3·.
整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，
即(m＋1)(m－4)＝0，
∴m＝4或m＝－1(舍去)．
∴m＝4.
答案：4
5．已知四边形ABCD的四个顶点为A(－2,2)，B(－1，－2)，C(1，－1)，D(2,3)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．
解：AB边所在直线的斜率kAB＝＝－4；
BC边所在直线的斜率kBC＝＝；
CD边所在直线的斜率kCD＝＝4；
DA边所在直线的斜率kDA＝＝.
6．分析斜率公式k＝(x1≠x2)的特征，完成下面题目：已知A(2,4)，B(3,3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试求的取值范围．
解：设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1,1)连线的斜率，如图，当P在线段AB上由B运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
∵kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
∴1≤k≤3，
即的取值范围是[1,3]．
课件36张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率自主学习 梳理知识课前基础梳理这条直线的方程这个方程的直线系数k正向向上零度角0直线平行于x轴或与x轴重合锐角大于0增大不存在直线垂直于x轴小于0增大斜率k不存在典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
层级训练 提能过关点此进入该word板块第二章 平面解析几何初步
2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第一课时 直线的点斜式方程和两点式方程
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．已知直线l的方程为3x－5y＝4，则l在y轴上的截距为( )
A． B．
C．－ D．－
解析：令x＝0，y＝－，∴l在y轴上的截距为－.
答案：D
2．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①中k＝表示的直线上少一点(－1,2)，y－2＝k(x＋1)则表示整条直线，故不正确；②③正确；直线斜率不存在时，无法用点斜式和斜截式方程表示，故④不正确．
答案：B
3．经过A(－2,3)，B(4，－1)的直线方程为( )
A．2x－4y＋7＝0 B．2x＋3y－5＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．3x＋2y－5＝0
解析：AB的方程为＝，即2x＋3y－5＝0，故选B．
答案：B
4．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析：当横截距与纵截距均为0时，设直线y＝kx，过(5,2)，则2＝5k，∴k＝.
直线方程为y＝x，即2x－5y＝0，
当横截距与纵截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
过(5,2)，即＋＝1，∴b＝.
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0，故选D．
答案：D
5．已知直线l1经过点P1(－1,2)和点P2(－2,1)；直线l2经过点P3(0，－3)和点P4(3,0)；直线l3经过点P5(3,0)和P6(3,4)；直线l4经过点P7(2,2)和点P8(－2，－2)，则不能用两点式表示方程的是( )
A．l1 B．l2
C．l3 D．l4
解析：l3中P5与P6的横坐标均为3，不能用两点式表示方程，故选C．
答案：C
6．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点________．
解析：方程kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，
故过定点(3,1)．
答案：(3,1)
7．已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为________．
解析：AB的中点为，
∴所求直线方程为＝，
即4x－2y－5＝0.
答案：4x－2y－5＝0
8．根据下列条件写出直线的方程．
(1)斜率为2，且在y轴上的截距为5；
(2)经过点A(－2,1)，B(3,2)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别是3，－5；
(4)经过点A(4，－3)，且垂直于x轴．
解：(1)由题意知直线的斜截式方程为y＝2x＋5，
即2x－y＋5＝0.
(2)由题意知直线的两点式方程为＝，
即x－5y＋7＝0.
(3)由题意知直线的截距式方程为＋＝1，
即5x－3y－15＝0.
(4)由题意知x＝4，即x－4＝0.
[B组 技能提升]
1．方程y＝ax＋表示的直线可能是( )
解析：讨论a的正负及纵截距即可知选项B正确．
答案：B
2．过点M(1，－2)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0
C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0
解析：设P(a,0)，Q(0，b)，则
∴a＝2，b＝－4，
∴直线PQ的方程为＋＝1，
即2x－y－4＝0，故选B．
答案：B
3．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________.
解析：令x＝0，则y＝2(a－1)＋a＝3a－2＝6，∴a＝.
答案：
4．等边△OAB，A(4,0)，B在第四象限，则边AB所在的直线方程为________．
解析：由题可知AB的倾斜角为60°，斜率为，∴AB的方程为y－0＝(x－4)，即y＝x－4.
答案：y＝x－4
5．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝x＋b，
令x＝0，则y＝b，
令y＝0，则x＝－6b，
∴S＝|b|·|－6b|＝3，∴b2＝1，∴b＝±1，
∴直线l的方程为y＝x±1.
6．直线l经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．
解：解法一：由于直线l在两坐标轴上存在截距，故直线的斜率存在，且k≠0，设所求直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0得y＝－3k＋2，令y＝0得x＝3－，由已知得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
解法二：①当截距为0时，直线l过点(0,0)，(3,2)，
∴直线l的斜率为k＝＝，
∴直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
②当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
∵直线l过点P(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5.∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上得，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
课件41张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第一课时 直线的点斜式方程和两点式方程自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第二课时 直线方程的一般式
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[A组 基础过关]
1．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．x－y＋5＝0
C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0
解析：由题可知，直线经过(－1,4)，(3,0)，
∴直线方程为＝，即x＋y－3＝0.故选C．
答案：C
2．已知不重合的两条直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0的斜率相等，则a的值为( )
A． B．或0
C．0 D．－
解析：当a＝0时，两直线重合，不符合题意；
当a≠0时，－＝，∴a＝，
经检验，a＝时，符合条件．
故选A．
答案：A
3．直线方程(3a＋2)x＋y＋8＝0，若直线不过第二象限，则a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：直线方程可化为y＝－(3a＋2)x－8，直线不过第二象限，∴－(3a＋2)≥0，∴a≤－，故选B．
答案：B
4.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b>0，d<0，a
0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a解析：由图可知直线l1和l2的斜率都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0，且k1>k2，即－>－，∴a<0，c<0且a>c.
又l1的纵截距－<0，l2的纵截距－>0，∴b<0，d>0.故选C．
答案：C
5．已知直线l1：3x＋3y－6＝0与x轴的交点为A，若将l1绕A点逆时针方向旋转75°得到直线l2，则l2的方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0
解析：l1与x轴的交点A(2,0)，kl1＝－1，∴α＝135°，
所以将l1绕A点逆时针方向旋转75°后，则l2的倾斜角为30°，∴kl2＝，所以l2的方程为y＝(x－2)，
即x－y－2＝0.故选A．
答案：A
6．直线2x－4y－8＝0的斜率k＝________，在y轴上的截距b＝________.
解析：直线方程化为斜截式得y＝x－2，所以k＝，b＝－2.
答案： －2
7．若两点A(x1，y1)和B(x2，y2)的坐标分别满足3x1－5y1＋6＝0和3x2－5y2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是________________．
答案：3x－5y＋6＝0
8．已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0，分别根据下列条件，求t的值．
(1)过点(1,1)；
(2)直线在y轴上的截距为－3.
解：(1)过点(1,1)，所以当x＝1，y＝1时，
2＋t－2＋3－2t＝0，解得t＝3.
(2)直线在y轴上的截距为－3，
所以过点(0，－3)，
故－3(t－2)＋3－2t＝0，
解得t＝.
[B组 技能提升]
1．设A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0
解析：直线PA与x轴的交点为(－1,0)，则由题意可知PB与x轴的交点为(5,0)，且PB与PA的倾斜角互补，
又kPA＝1，∴kPB＝－1，
∴直线PB的方程为y＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0，故选A．
答案：A
2．已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )
A． B．
C． D．
解析：∵a＋2b＝1，b＝，∴ax＋3y＋＝0，
即a＋3y＋＝0，
∴∴x＝，y＝－.
故直线必过定点，故选C．
答案：C
3．对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0恒过定点A，那么点A的坐标是________．
解析：k＝－3时，7y－14＝0，y＝2，k＝时，x＋＝0，∴x＝－1，∴A(－1,2)．
答案：(－1,2)
4．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：
(1)直线与x轴平行时：________________；
(2)直线与y轴平行时：________________；
(3)直线过原点时：________________；
(4)直线过点(1，－1)时：________________.
答案：(1)A＝0且B≠0
(2)B＝0且A≠0
(3)C＝0且A、B不同时为0
(4)A－B＋C＝0
5．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设点C(m，n)，由题可得
∴
∴C点的坐标为(1，－3)．
(2)由(1)知，M，N，
∴直线MN的方程为＋＝1，
即2x－10y－5＝0.
6．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(4,3)，M是BC边上的中点．
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长．
解：(1)由两点式写方程得＝，
即6x－y＋11＝0，
或直线AB的斜率为k＝＝＝6，
直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，
即6x－y＋11＝0.
(2)设M的坐标为(x0，y0)，则由中点坐标公式得x0＝＝1，y0＝＝1，
故M(1,1)，
AM＝＝2.
课件40张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
2.2.2 直线方程的几种形式
第二课时 直线方程的一般式自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.2 直线的方程
2.2.3 两条直线的位置关系
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．过点A(1,1)且与直线3x＋y－1＝0平行的直线的方程为( )
A．3x＋y－4＝0 B．3x－y－2＝0
C．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0
解析：设所求直线方程为3x＋y＋m＝0，
将(1,1)代入，3＋1＋m＝0，即m＝－4，
故所求直线方程为3x＋y－4＝0，故选A．
答案：A
2．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：设直线l的方程为3x＋2y＋m＝0，
将(－1,2)代入得－3＋4＋m＝0，
∴m＝－1，
∴l的方程为3x＋2y－1＝0，故选A．
答案：A
3．已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3x－y＋2＝0垂直，则a的值是( )
A．6 B．－6
C．－ D．
解析：由3(a＋2)－2a＝0，得a＝－6，故选B．
答案：B
4．已知三条直线x＝1，x－2y－3＝0，mx＋y＋2＝0交于一点，则m的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：由得交点为(1，－1)，
代入mx＋y＋2＝0得m＝－1，故选C．
答案：C
5．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
解析：由解得
答案：B
6．若直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a＝________.
解析：由l1⊥l2得a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
∴a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．
解析：当k＝3时，两条直线平行；当k＝4时，两条直线不平行；当k≠3且k≠4时，由两直线平行，斜率相等，得＝k－3，解得k＝5.
答案：3或5
8．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1⊥l2时，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A(1，－3)，求直线l3的一般式方程．
解：(1)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，∴a＝.
(2)当a＝时，l2：x－y－＝0，
∴kl2＝3，又l3∥l2，kl3＝3，
∴l3的方程为y＋3＝3(x－1)，
∴3x－y－6＝0.
[B组 技能提升]
1．经过两条直线l1：2x－3y＋10＝0与l2：3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋5＝0的直线方程为( )
A．3x＋2y＋2＝0 B．3x－2y＋10＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x－3y＋10＝0
解析：由得
设所求直线为2x＋3y＋m＝0，
将
代入得－4＋6＋m＝0，
∴m＝－2.
∴所求直线方程为2x＋3y－2＝0，故选C．
答案：C
2．已知直线l：x－y＝0和点M(0,2)，则点M关于直线l的对称点M′的坐标是( )
A．(2,2) B．(2,0)
C．(0，－2) D．(1,1)
解析：设M′的坐标为(x，y)，
则由题得
解得
∴M′(2,0)．故选B．
答案：B
3．直线l与直线x＋2y＋3＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为－3，则直线l的方程为________．
解析：设所求直线为x＋2y＋c＝0，则纵、横截距分别是－，－c，
∴－－c＝－3，
∴c＝2，故所求直线的方程为x＋2y＋2＝0.
答案：x＋2y＋2＝0
4．给出下列几种说法：
①若直线l1与l2都无斜率，则l1与l2一定不垂直；
②l1⊥l2，则k1·k2＝－1；
③若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2；
④若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；
⑤若两直线的斜率不相等，则两直线不平行．
你认为正确的说法有________．(把正确说法的序号都写上)
解析：其中①正确；对于②，当l1⊥l2时，有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在；类似地对于④当l1∥l2时，有可能出现两条直线的斜率都不存在的情况；对于③有可能出现两直线重合的情况．所以②③④均是不正确的，而⑤是正确的．
答案：①⑤
5．已知直线l1：x＋y－3m＝0和l2：2x－y＋2m－1＝0的交点为M，若直线l1在y轴上的截距为3.
(1)求点M的坐标；
(2)求过点M且与直线l2垂直的直线方程．
解：(1)∵直线l1在y轴上的截距是3m，
而直线l1在y轴上的截距为3，
即3m＝3，m＝1，
由解得
∴M.
(2)设过点M且与直线l2垂直的直线方程是：x＋2y＋c＝0，将M代入解得c＝－，
∴所求直线方程是3x＋6y－16＝0.
6．(1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；
(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．
解：(1)设C(x，y)，由中点坐标公式得
解得
故所求的对称点的坐标为C(－9,6)．
(2)设直线l上任一点为(x，y)，它关于点P(2，－1)的对称点(4－x，－2－y)在直线3x－y－4＝0上．
∴3(4－x)－(－2－y)－4＝0.
∴3x－y－10＝0.
∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
(3)设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，则有
解得
∴所求的对称点坐标为(1,4)．
课件42张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
2.2.3 两条直线的位置关系自主学习 梳理知识课前基础梳理平行典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.2 直线的方程
2.2.4 点到直线的距离
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．点(2,1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为( )
A． B．
C． D．0
答案：B
2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0间的距离是( )
A． B．
C． D．
解析：由10x＋24y＋5＝0，得5x＋12y＋＝0.
∴d＝＝.
答案：C
3．已知点P是x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P的坐标为( )
A．(－6,0) B．(－12,0)
C．(－12,0)或(8,0) D．(－6,0)或(6,0)
解析：设P(a,0)，则d＝＝6，∴a＝8或a＝－12，∴P(8,0)或(－12,0)，故选C．
答案：C
4．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m等于( )
A．1 B．－3
C．1或 D．－3或
解析：由＝4，解得m＝－3或m＝.
答案：D
5．点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于( )
A． B．
C． D．
解析：直线＋＝1可化为nx＋my－mn＝0，故d＝＝，故选A．
答案：A
6．点P(2,3)到直线ax＋(a－1)y＋3＝0的距离等于3，则a＝________.
解析：由＝3，得a＝－3或a＝.
答案：－3或
7．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
解析：求得两平行线间的距离为，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.
答案：①⑤
8．已知在△ABC中，A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，求△ABC的面积．
解：|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到AB的距离d，AB边所在的直线方程是：
x＋y－4＝0，∴d＝＝，
因此S△ABC＝×2×＝5.
[B组 技能提升]
1．若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为( )
A．3x－4y－5＝0
B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0
D．3x－4y－17＝0或3x－4y－23＝0
解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.
由题意得＝3.
解得m＝－5或m＝－35.
∴l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
或由平面几何知识知符合条件的直线l1有两条，所以只需在C或D中选一组代入公式检验，即可排除另一组．
答案：C
2．已知点M(a，b)在直线3x＋4y－20＝0上，则 的最小值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析： 表示(a，b)与原点(0,0)的距离，则的最小值为原点到直线的距离，d＝＝4，故选B．
答案：B
3．已知△ABC中A(3,2)，B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．
解析：|AB|＝＝5，
设C点到直线AB的距离为d，
∴S＝|AB|d＝10，
∴d＝4，
又AB所在的直线方程为
＝，
即3x＋4y－17＝0.
∵C在直线3x－y＋3＝0上，
设点C的坐标为(x,3x＋3)，
∴d＝＝4.
解得x＝－1或x＝，
∴点C的坐标为(－1,0)，.
答案：(－1,0)或
4．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
解析：设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上，＝|PA|，
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案：
5．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理，得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，
可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，
由点到直线的距离公式，得＝3.
即＝3，解得c＝1或c＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
6．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
解：因为l1∥l2，所以＝≠，
解得或
当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
直线l2的方程为2x＋4y－1＝0，
即4x＋8y－2＝0.
由已知得＝，
解得n＝－22或18.
所以，所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
l2为2x－4y－1＝0，即4x－8y－2＝0，
由已知得＝，
解得n＝－18或n＝22，
所以所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
综上可知，直线l1的方程有四个，分别为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
课件37张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程
2.2.4 点到直线的距离自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
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[A组 基础过关]
1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)( )
A．是圆心 B．在圆C外
C．在圆C内 D．在圆C上
解析：由于(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，则点P在圆C内．
答案：C
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
答案：A
3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1 B．4
C．5 D．6
解析：圆的圆心为(0,0)，
则M到圆心的距离为＝5，
∴圆上的点到M的距离的最小值是4.故选B．
答案：B
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，关于y＝x的对称点为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.故选D．
答案：D
5．方程|x|－1＝所表示的图形是( )
A．一个半圆 B．一个圆
C．两个半圆 D．两个圆
解析：由|x|－1＝得
(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，且|x|≥1.
当x≥1时，(x－1)2＋(y－1)2＝1；
当x≤－1时，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
∴方程表示两个半圆，故选C．
答案：C
6．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是__________________．
解析：由平面几何的知识可知，直径两个端点是(5,6)，(3，－4)，从而确定圆心和半径．
答案：(x－4)2＋(y－1)2＝26
7．圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点A(4,5)与圆上任意一点的最大距离为________．
解析：点A到圆心C(3,4)的距离为＝，所以A到圆上任意一点的最大距离为＋5.
答案：＋5
8．求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标．
解：解法一：先求出OM中点E，MN中点F，再写出OM的垂直平分线PE的直线方程y－＝－.①
MN的垂直平分线PF的直线方程
y－＝－3.②
联立①②，得解得
则点P(4，－3)为PE，PF的交点，即为圆心，|OP|＝5即为圆的半径．
∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5，圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
解法二：设圆心坐标为P(x，y)，
根据圆的定义，可得|OP|＝|PM|＝|PN|.
即x2＋y2＝(x－1)2＋(y－1)2＝(x－4)2＋(y－2)2.
解得P(4，－3)，|OP|＝5.
∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5，圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
解法三：设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)．
∵O，M，N在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于a，b，r的三元二次方程组，
即
解此方程组，可得
∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5.
圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
[B组 技能提升]
1．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C． D．
解析：设P(x，y)，则点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上．则圆心C(－5,12)，r＝14，x2＋y2＝[]2＝|OP|2.由于原点O在圆C内，则|OP|的最小值是r－|OC|＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1.
答案：B
2．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，则其外接圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝25
B．(x－3)2＋(y－1)2＝25
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
解析：把(0,5)代入C、D选项中，不符合方程，故排除C、D．把(－3，－4)代入B选项中，不符合方程，故排除B．故正确选项为A．
答案：A
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是________________．
解析：设圆心坐标为(a,1)，且a＞0，则＝1，
∴a＝2或a＝－(舍)．
∴圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
4．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的标准方程为________________．
解析：点(x，y)关于直线x＋y＝0的对称点为(－y，－x)，所以所求的圆的标准方程为(－y－3)2＋(－x＋4)2＝1，即(x－4)2＋(y＋3)2＝1.
答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝1
5．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．
解：(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为－3.
又∵点T(－1,1)在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由得
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又|AM|＝＝2，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
6.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设点P是圆C上的一个动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
∴d＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2
＝2(x＋y)＋2
＝2|PO|2＋2.
问题转化为求点P到原点O距离的最值．
∵点O在圆外，
∴|PO|max＝|CO|＋1＝5＋1＝6，
|PO|min＝|CO|－1＝5－1＝4.
∴dmax＝2×62＋2＝74，
dmin＝2×42＋2＝34.
课件33张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程自主学习 梳理知识课前基础梳理平面内到定点的距离等于定长定点定长圆上圆外圆内典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.3 圆的方程
2.3.2 圆的一般方程
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．F＝E D．D＝E＝F
解析：由题可知方程表示以为圆心的圆，且圆心在直线y＝x上，
∴－＝－，即D＝E，故选A．
答案：A
2．过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为( )
A．a<－3或1C．a<－3 D．－3
解析：圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝3－2a，
∴3－2a>0，a<，
又过A可作圆的两条切线，
∴A在圆外，
即a2＋a2－2a2＋a2＋2a－3>0，
即a2＋2a－3>0，
∴a>1或a<－3，
∴a<－3或1答案：A
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：令a＝0，a＝1，得方程组
解得所以C(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
4．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
答案：C
5．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2
答案：A
6．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点M的轨迹方程是________________．
解析：设圆x2＋y2＝4上任意一点为A(x0，y0)，M(x，y)，
则∴
代入x2＋y2＝4得
(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
7．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则
，解得则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
答案：x2＋y2－2x＝0
8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－＜0即D＞0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
[B组 技能提升]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2，
∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，
∴圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2，
故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，
则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．故选A．
答案：A
2．方程x(x2＋y2－4)＝0与x2＋(x2＋y2－4)2＝0表示的曲线是( )
A．都表示一条直线和一个圆
B．都表示两个点
C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
D．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆
解析：x(x2＋y2－4)＝0得x＝0或x2＋y2－4＝0，表示一条直线和一个圆，由x2＋(x2＋y2－4)2＝0得，∴或表示两个点，故选C．
答案：C
3．圆C：x2＋y2＋x－6y＋3＝0上有两个点P和Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________.
解析：由题意得直线kx－y＋4＝0经过圆心C，
又C，所以－－3＋4＝0，解得k＝2.
答案：2
4．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0上，则(x－5)2＋(y＋5)2的最大值为________．
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
∴圆心为(2，－1)，半径为3.
(x－5)2＋(y＋5)2表示P(x，y)到点M(5，－5)的距离的平方，
又|MC|＝＝5>3，
∴|PM|max＝5＋3＝8，
∴(x－5)2＋(y＋5)2的最大值为64.
答案：64
5．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.
(1)t为何值时，方程所表示的曲线为圆？
(2)是否存在t使得上述方程所表示的圆的面积最大，若存在求此最大圆．
解：(1)D2＋E2－4F＝－4(7t2－6t－1)>0，
∴－(2)r＝＝＝ ，
又∵－∴此时圆的方程为2＋2＝.
6．已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
解：设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)，圆心为O，则在△ABP中，|AR|＝|PR|.
又因为R是弦AB的中点，故|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x＋y)，
又|AR|＝|PR|＝，
所以有(x1－4)2＋y＝36－(x＋y)，即x＋y－4x1－10＝0.
因此点R在一个圆上．
而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q(x，y)，
因为R是PQ的中点，所以x1＝，y1＝.
代入方程x＋y－4x1－10＝0，
得2＋2－4·－10＝0，
整理得x2＋y2＝56.
即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.
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2.3 圆的方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C为(2,0)，半径为2，
将(1，)代入圆的方程(1－2)2＋()2＝4，
∴点P在圆上，
∴kCP＝＝－，
∴切线的斜率为，
切线方程为y－＝(x－1)，
即x－y＋2＝0，故选D．
答案：D
2．直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：圆心C(0,1)，半径为，
则圆心到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝<，
∴直线与圆相交，故选A．
答案：A
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：解法一：设直线l的倾斜角为θ，数形结合可知：θmin＝0，θmax＝2×＝.
解法二：因为直线l与x2＋y2＝1有公共点，所以设l：y＋1＝k(x＋)，即l：kx－y＋k－1＝0，则圆心(0,0)到直线l的距离≤1，得k2－k≤0，即0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是.
答案：D
4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|为( )
A．2 B．
C． D．2
解析：圆心(0,0)到直线x－2y＋5＝0的距离
d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：A
5．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为
(x－1)2＋(y－1)2＝1.
∴圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.故所求最大值为＋1.
答案：A
6．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过P点的最短弦所在直线的方程是________________．
解析：圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0，即
(x－4)2＋(y－1)2＝5.
所以圆心为C(4,1)．
∵kCP＝＝1，∴所求直线的斜率为－1.
∴所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________．
解析：设圆心为(a,0)，a>0，∴＝，∴a＝2，a＝－2(舍)，又r2＝22＋5＝9，∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
8．已知直线l：y＝mx＋4，圆C：x2＋y2＝4.
(1)若直线l与圆C相切，求实数m的值和直线l的方程；
(2)若直线l与圆C相离，求实数m的取值范围．
解：解法一：直线l的方程为mx－y＋4＝0，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝ .
又圆C的半径r＝2.
(1)若直线l与圆C相切，则d＝r，即＝2.
解得m2＝3，所以m＝±.
所以直线l方程为x－y＋4＝0或x＋y－4＝0.
(2)若直线l与圆C相离，则d＞r，即 ＞2.
解得m2＜3，所以－＜m＜，即m的取值范围是(－，)．
解法二：把直线l：y＝mx＋4方程代入圆C：x2＋y2＝4，得(m2＋1)x2＋8mx＋12＝0，
其判别式Δ＝(8m)2－4×12×(m2＋1)．
(1)若直线l与圆C相切，则Δ＝0，解得m2＝3，所以m＝±.
所以直线l的方程为x－y＋4＝0或x＋y－4＝0.
(2)若直线l与圆C相离，则Δ＜0，解得m2＜3，
所以－＜m＜，即m的取值范围是(－，)．
[B组 技能提升]
1．过圆x2＋y2－4x＝0外一点p(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n应满足的关系式为( )
A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4
C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，
若过P作圆的两条切线互相垂直，
则P到圆心的距离为r＝2，
即(m－2)2＋n2＝8，故选C．
答案：C
2．若直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为( )
A．8 B．4
C．2 D．
解析：l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
由得
∴l过定点M(3,1)，圆心C(1,2)，半径为5，
当AB⊥MC时，|AB|最小，
∴|MC|＝＝，
∴|AB|＝2 ＝4，故选B．
答案：B
3．若圆(x＋2)2＋(y－2)2＝r2与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长是________．
解析：∵圆与x轴相切，
∴半径r＝2.在圆的方程中，令x＝0，
得(y－2)2＝28－12＝16.
∴y1＝2＋4，y2＝2－4.∴y1－y2＝8.
答案：8
4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
解析：圆的方程可化为
(x－2)2＋(y－2)2＝18，
∴圆心为(2,2)，半径r＝3，
圆心到直线x＋y－14＝0的距离为d，d＝5>r，
则圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝6.
答案：6
5．已知点A(－1,2)，B(0,1)，动点P满足|PA|＝|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：3x－4y＋12＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设P(x，y)，由|PA|＝|PB|得：
＝·，
两边平方得x2＋2x＋1＋y2－4y＋4＝2(x2＋y2－2y＋1)，
整理得x2＋y2－2x－3＝0，
即(x－1)2＋y2＝4.
(2)当QC与l1垂直时，|QC|最小．
|QC|min＝d＝＝3，
又|QM|＝＝，
∴|QM|min＝＝.
6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．
解：(1)证明：证法一：直线mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
证法二：联立方程消去y并整理，得(m2＋1)x2－2mx－4＝0.
因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．
证法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝＝≤1<，
所以直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，
联立直线与圆的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，
由根与系数的关系，得x＝＝，
由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，
当x≠0时，得m＝，
代入x＝，得x＝，
化简得(y－1)2＋x2＝y－1，即x2＋2＝(x≠0)．
当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋2＝(y≠2)．
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2.3.3 直线与圆的位置关系自主学习 梳理知识课前基础梳理相离相切相交相交相切相离典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.3 圆的方程
2.3.4 圆与圆的位置关系
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[A组 基础过关]
1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：两圆心的距离为＝＜2＋3，且>3－2，
∴两圆相交，故选B．
答案：B
2．若圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
解析：由题可知C1(a，b)，r1＝，C2(－1，－1)，r2＝2，两圆的公共弦为2x＋2ax－a2＋2y＋2by＝1，C2(－1，－1)在直线上，则a2＋2a＋2b＋5＝0，故选B．
答案：B
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离为，∴2＋2＝a2，∴a2＝4，又a>0，
∴a＝2，则|MN|＝＝，2－1<<2＋1，故两圆相交，选B．
答案：B
4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，
∴|C1C2|＝＝，0<<4，两圆相交，公切线有2条．
答案：B
5．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：由题可设圆心(a,6)，则＝5，∴a2＝16，a＝±4，故圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36，选D．
答案：D
6．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4内切，则m的值为________．
解析：由题可得C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，则|C1C2|＝＝|r1－r2|，
∴m＝－2或m＝－1.
答案：－1或－2
7．以点(2，－2)为圆心，并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径为2，设所求圆的半径为R，
则＝2＋R，
∴R＝3，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.
答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9
8．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，
(1)圆C1与圆C2相外切；
(2)圆C1与圆C2内含．
解：圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
(1)如果圆C1与圆C2相外切，则有＝3＋2，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，
解得m＝－5或m＝2.
(2)如果圆C1与圆C2内含，则有<3－2，(m＋1)2＋(m＋2)2<1，
解得－2[B组 技能提升]
1．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．2＋2＝
D．2＋2＝
解析：C1：(x＋2)2＋y2＝3，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，直线C1C2的方程为x＋y＋2＝0.公共弦所在直线方程为x－y＝0.
由得
故圆心为(－1，－1)，选B．
答案：B
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )
A． B．
C．2 D．2
解析：两圆的公共弦所在直线方程为2x＋y－15＝0，圆心(0,0)到直线的距离为＝3，所以公共弦长为2＝2，故选C．
答案：C
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在直线方程为ay＝1，
圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，到直线ay＝1的距离为，则2＋3＝4，又a>0，∴a＝1.
答案：1
4．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于________．
解析：由题可设圆C1，C2的方程为C1：(x－m)2＋(y－m)2＝m2，C2：(x－n)2＋(y－n)2＝n2，
将(4,1)代入，(4－m)2＋(1－m)2＝m2，
(4－n)2＋(1－n)2＝n2，
即m，n是方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两根，
即x2－10x＋17＝0，
∴m＋n＝10，m·n＝17，
∴|C1C2|＝|m－n|＝·＝8.
答案：8
5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
①－②得3x－4y＋6＝0.
因为A，B两点坐标都满足此方程，
所以，3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心为(－1,3)，半径r＝3.
又C1到直线的距离为d＝＝.
所以AB＝2＝2 ＝.即两圆的公共弦长为.
6．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．将x2＋y2－2x＝0化为标准方程(x－1)2＋y2＝1.
则解得或
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
课件38张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程
2.3.4 圆与圆的位置关系自主学习 梳理知识课前基础梳理210相交内切外切外离内含典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．点P(－1,0,4)位于( )
A．y轴上 B．x轴上
C．xOz平面内 D．zOy平面内
答案：C
2．在空间直角坐标系中，A(－6,0,1)，B(3，－5,7)，则|AB|等于( )
A． B．
C． D．4
答案：A
3．点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点A′(λ，7，－6)，则( )
A．λ＝－2，μ＝－1，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析：由题可得∴故选D．
答案：D
4．在空间直角坐标系中，点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为2，则点P的坐标为( )
A．(0,1,0)或(0，－1,0)
B．(1,0,0)
C．(1,0,0)或(－1,0,0)
D．(0,1,0)或(0,0,1)
解析：设P(a,0,0)，则|PP1|＝ ＝2，
∴a＝±1，故选C．
答案：C
5．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A． B．
C． D．
解析：设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.
∴＝.
答案：A
6．空间两点A(2,5,4)，B(－2,3,5)之间的距离等于________．
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．在空间直角坐标系O－xyz中，设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面xOy的对称点，则线段MN的长度等于________．
解析：M点的坐标为(2，－3，－5)，
∴|MN|＝＝10.
答案：10
8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，A1，B1，C1，O1，P的坐标．
解：点A在x轴上，且OA＝1，
∴A(1,0,0)．
同理，C(0,2,0)，O1(0,0,3)．
B在xOy平面内，且OA＝1，OC＝2，∴B(1,2,0)．
同理，C1(0,2,3)，A1(1,0,3)，B1(1,2,3)．
∴O1B1的中点P.
[B组 技能提升]
1．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x＝( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：|AB|＝＝2，
∴x＝－2或x＝6，故选D．
答案：D
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B．
C．5 D．2
解析：点C1的坐标为(0,2,3)，由两点距离公式可得|AC1|＝.故选B．
答案：B
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：以D1为原点，以D1A1，D1C1，D1D分别为x轴，y轴，z轴，E(1,0,2)，
∵EF∥平面AB1C，
∴EF∥AC.
∵E为AD的中点，
∴点F为CD的中点，
∴F(0,1,2)．
∴|EF|＝＝.
答案：
4.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．
解析：由长方体的性质可知M为OB1的中点，B1(2,3,2)，
∴M.
答案：
5．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．
(1)求P，Q之间的距离；
(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.
解：(1)|PQ|＝＝.
(2)设M点的坐标为(0,0，z)，
则|MP|＝，
|MQ|＝，
又|MP|＝|MQ|，
解得z＝－6，
∴M点的坐标为(0,0，－6)．
6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
解：(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，
∴N(2,1,0)．
同理可得M(1,2,3)．
又D是原点，则D(0,0,0)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
(3)在xDy平面上，设点P的坐标为(x，y,0)，
∵P点在DN上，
∴＝，
∴x＝2y.
则|MP|＝
＝
＝ .
∵y∈[0,1]，0<<1，
∴当y＝时，|MP|取最小值，即.
∴|MP|的最小值为.
课件41张PPT。第二章 平面解析几何初步 2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式自主学习 梳理知识课前基础梳理原点坐标轴坐标轴一一对应横坐标纵坐标竖坐标右典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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第二章 平面解析几何初步
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y－5＝0的倾斜角为( )
A．－30° B．60°
C．120° D．150°
解析：直线的斜率为－＝－，故倾斜角为150°.
答案：D
2．以(－1,2)为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0，故选C．
答案：C
3．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A．x＋y＝5
B．x－y＝5
C．x＋y＝5或x－4y＝0
D．x－y＝5或x＋4y＝0
解析：若直线过原点，则设直线方程为y＝kx，
将(4,1)代入，得1＝4k，
∴k＝，
∴y＝x，即x－4y＝0，
若直线不过原点，设直线方程为x＋y＝a，
将(4,1)代入，得a＝5，
即x＋y＝5，故选C．
答案：C
4．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )
A． B．
C． D．
解析：令＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，
问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，
则≤，∴k2≤3，∴－≤k≤，故的最大值为，故选D．
答案：D
5．已知在空间坐标系中，A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点不构成三角形
解析：|AB|＝＝，
|AC|＝＝＝2，
|BC|＝＝，
∴|AB|＋|BC|＝|AC|，即三点在同一条直线上．
答案：D
6．已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：(2a－1)x－ay－1＝0平行，则a的值是( )
A．0或1 B．1或
C．0或 D．
解析：∵l1∥l2，＝≠，∴a＝，当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：x＋1＝0，l1∥l2，∴a＝0或a＝，故选C．
答案：C
7．如图，直线y＝ax－的图象可能是( )
解析：当a＞0时，－＜0；当a＜0时，－＞0，故选A．
答案：A
8．过圆x2＋y2－6y－11＝0外一点P(4，－1)，作圆的两条切线，切点为A，B，则直线AB的方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x－y＋4＝0
C．2x－2y＋1＝0 D．x＋y＋3＝0
解析：圆的方程可化为x2＋(y－3)2＝20，C(0,3)，
切点A，B在以CP为直径的圆上，
∴圆心(2,1)，半径为 ＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝8，
即x2＋y2－4x－2y－3＝0.
AB所在直线即为两圆的相交弦所在直线，
∴AB所在直线的方程为x－y－2＝0，故选A．
答案：A
9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是( )
A．6 B．4
C．5 D．1
解析：圆x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值是d－r＝5－1＝4.
答案：B
10．过点P(1,3)，且与x，y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
解析：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
则
∴
∴＋＝1，
即3x＋y－6＝0，故选A．
答案：A
11．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝－x
解析：圆心为(－2,0)，r＝1.设所求直线l：y＝kx，即kx－y＝0.∴＝1，∴k＝±，又∵切点在第三象限，故k＝，故选C．
答案：C
12．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝2
B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2
解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题可知，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r＋3等于已知圆圆心到已知直线的距离，即＝2r＋3，
∴r＝，则∴a＝2，b＝2，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程是__________．
解析：若直线在x轴上的截距为0，可设直线方程为y＝kx，将A(1,1)代入，得k＝1，
∴直线方程为y＝x.
若直线在x轴上的截距不为0，可设直线方程为x＋y＝a，将A(1,1)代入，得a＝2，
∴直线方程为x＋y＝2.
答案：x－y＝0或x＋y－2＝0
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形，
故圆心C(1，a)到直线AB的距离为，
即＝，解得a＝4±.
答案：4±
15．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被C截得弦长为2时，则a＝________.
解析：C(a,2)，则由题可得2＋()2＝4，
∴a＝－1或a＝－－1(舍)．
答案：－1
16．已知点P是直线x＋y＋6＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则当四边形PACB的面积最小时，点P的坐标为________．
解析：如图所示，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，要使S最小，需|PC|最小，当CP与直线x＋y＋6＝0垂直时，|PC|取得最小值，此时直线PC的方程为y－1＝x－1，即x－y＝0，与方程x＋y＋6＝0联立得P(－3，－3)．
答案：(－3，－3)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.
(1)求过点A(3,2)，且与l垂直的直线方程；
(2)求与l平行，且到点P(3,0)的距离为的直线的方程．
解：(1)kl＝2，
∴过A(3,2)且与l垂直的直线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0.
(2)设所求直线方程为2x－y＋n＝0，
则＝，∴n＝－1或n＝－11，
故直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0.
18．(12分)已知圆M经过C(1，－1)，且圆心为(1,1)．
(1)求圆M的方程；
(2)点P是圆M上的动点，求点P到直线3x＋4y＋8＝0距离的最大值和最小值．
解：(1)r＝＝2.
∴圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)圆心(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离d＝＝3，
∴P到直线距离的最大值为5，最小值为1.
19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为2的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)，且被圆C所截得弦长为4的直线方程．
解：(1)设圆心C(a，a＋4)，则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－4)2＝8，代入原点得a＝－2，
故圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，经检验符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，圆心(－2,2)到直线y＝kx＋2的距离为d＝＝，
圆的半径r＝2，
∴22＋d2＝r2，即4＋＝8，
∴1＋k2＝k2，可知k无解，综上可知直线方程为x＝0.
20．(12分)已知圆C与x轴的交点分别为A(－1,0)，B(3,0)，且圆心在直线2x－y＝0上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求与圆C相切于点B(3,0)的切线方程；
(3)若圆C与直线y＝x＋m有公共点，求实数m的取值范围．
解：(1)由圆与x轴的交点分别为A(－1,0)，B(3,0)，
∴圆心在AB的垂直平分线上，即在x＝1上，
由得
∴圆心为(1,2)，
r2＝(1－3)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝8.
(2)由(1)知C(1,2)，
∴kBC＝＝－1，
∴过B点的切线的斜率为1，
∴切线方程为y－0＝x－3，
即x－y－3＝0.
(3)由题得≤2，
∴|m－1|≤4，
∴－3≤m≤5.
21．(12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B，C的坐标；
(2)若圆M经过A，B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．
解：(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC：x＝0.
又CD：2x－2y－1＝0，
由
得C，
设B(b,0)，则AB的中点D，代入方程2x－2y－1＝0，解得b＝2，所以B(2,0)．
(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①
由圆M与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线为y＋x＋3＝0，②
①②联立可得，M，
半径|MA|＝ ＝，
所以所求圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
22．(12分)平面上有A(1,0)，B(－1,0)两点，已知圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)在圆上求一点P，使△ABP面积最大，并求出此面积；
(2)求使|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P的坐标．
解：(1)|AB|＝2，要使△ABP面积最大，即找到圆上到x轴距离最大的点，圆心坐标为(3,4)，到x轴的距离为4.故圆上点到x轴的最大距离为4＋2＝6，S△ABP＝×2×6＝6，此时P点坐标为(3,6)．
(2)设P点坐标为(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x－1)2＋y2＋(x＋1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2.
要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，则要使|OP|最小．又P为圆上的点，则|OP|最小值为－2＝3.
此时直线OP的方程为y＝x.
解方程组
解得或(舍去)．
所以|AP|2＋|BP|2取得最小值时点P的坐标为.
