课件37张PPT。第一章 立体几何初步 章末总结归纳第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
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[A组 基础过关]
1．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
解析：当矩形水平放置时，沿竖直方向平移才可得到一个长方体，当不是水平放置时，沿竖直方向平移不能得到长方体，即命题A不正确，命题B、C、D符合长方体的性质．故选A．
答案：A
2．下列命题正确的是( )
A．直线的平移只能形成平面
B．直线绕定直线旋转形成柱面
C．直线绕定点旋转可以形成锥面
D．曲线的平移一定形成曲面
解析：直线的平移，可以形成平面或曲面，A不正确；当两直线不平行时旋转不能形成柱面，B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确；只有C正确．故选C．
答案：C
3．图中空间图形的画法中错误的是( )
答案：D
4．下列说法正确的个数是( )
①正方体是由六个相同正方形围成的几何体；②桌面所在的平面，长2米，宽1米；③用平面图形表示一个平面，只能画出平面的一部分；④圆、椭圆都可以用来表示平面．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①③④正确．
答案：C
5．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是( )
解析：正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点，即有7个顶点，故选C．
答案：C
6．在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，与AA′垂直的平面是________．
答案：平面ABCD，平面A′B′C′D′
7．下列说法：
(1)一条线段围绕其中一个端点旋转一周可得到一个圆面；
(2)若点在运动时方向时刻发生变化，则点运动的轨迹是一条曲线；
(3)一条曲线运动不可能形成平面．
其中正确的是________．
解析：(1)正确，根据圆的定义可知；(2)正确，若点运动时方向一定，则得到直线，否则是曲线；(3)错误，例如一段圆弧平行移动的方向与圆弧所在的平面平行时，其运动的轨迹就是平面．
答案：(1)(2)
8．判断题：
(1)长方体是由六个平面围成的几何体；
(2)长方体可以看作一个矩形ABCD上各点沿垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；
(3)长方体一个面上任一点到对面的距离相等．
解：(1)错误．因为长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成，注意区别“平面”与“矩形”的本质区别．
(2)错误．矩形水平放置时才可以．
(3)正确．
[B组 技能提升]
1．如图，正方体的六个面各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放在3个不同的位置，所看见的表面字母已标明，则字母A，B，C对面的字母依次是( )
A．D，E，F B．F，D，E
C．E，F，D D．E，D，F
解析：利用正方体六个面相对的性质来做．由(1)知，A，B，C三个字母是在相邻的三个面上；由(2)知，D与A，C相邻，故D是字母B所对的字母；由(3)知，E与B，C相邻，故E与A相对，∴C与F相对，故选D．
答案：D
2．如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
答案：A
3．将图中给出的平面图形，制作成几何体．在几何体的棱所在的直线中，有________对平行直线；________(填“有”或“没有”)既不平行又不相交的直线．
答案：2 有
4．如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于________．
答案：60°
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：
(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？
(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？
(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？
(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？
解：(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC.
(2)与直线B1C1垂直的平面有：平面AB1，平面CD1.
(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1.
(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AB1，平面A1C1，平面CD1，平面AC.
6．根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
解：把平面图折叠成正方体，容易知道J与N；A，M与D；H与E，G与F；B与C分别重合在一起．
课件37张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素自主学习 梳理知识课前基础梳理六个矩形(包括它的内部)各个矩形相邻两个面棱和棱点、线、面无限延展平行四边形没有公共点两条没有公共点其中一个平面通过另一个平面的一条垂线典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
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[A组 基础过关]
1．下列说法中正确的是( )
A．所有的棱柱都有对角线
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
解析：对三棱柱而言没有对角线，A错；侧棱至少3条，C错；棱柱的棱至少9条，D错．
答案：B
2．下列说法中正确的有( )
①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③长方体是正四棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥．
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
答案：A
3．下列说法正确的是( )
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．四面体一定是三棱锥
C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥
D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥
答案：B
4．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1，故选C．
答案：C
5．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是3 cm，则棱台的高是( )
A．12 cm B．9 cm
C．6 cm D．3 cm
解析：由棱台上、下底面面积比为1∶4，
所以边的比为1∶2.
即截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2，故原棱锥的高为6 cm，所以棱台的高为3 cm，故选D．
答案：D
6．四个面都是正三角形的三棱锥各棱长均为a，其两条相对棱的中点分别为M，N，则MN的长是________．
解析：如图所示，三棱锥A－BCD，M，N分别为BC，AD的中点，
连接MN，NC，BN，
∴BN＝CN＝a，
∴△BNC为等腰三角形，MN⊥BC，
∴MN＝＝a.
答案：a
7．一个正四棱台上、下底面边长为a，b，高为h，则它的一个对角面(经过不相邻两条侧棱的截面)的面积是________．
解析：可知对角面是上、下底分别为a和b，高为h的等腰梯形，其面积S＝(a＋b)h＝.
答案：
8．观察下列各图的结构特征，指出其中的棱柱、棱锥和棱台，并进行分类和符号表示．
解：图中(1)(2)(3)均为棱柱，其中(1)为四棱柱，记作四棱柱ABCD－A1B1C1D1；(2)为六棱柱，记作六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1；(3)为五棱柱，记作五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1.
图中(4)(5)(6)均为棱锥，其中(4)为三棱锥，记作三棱锥P－ABC；(5)为四棱锥，记作四棱锥P－ABCD；(6)为五棱锥，记作五棱锥P－ABCDE.
图中(7)(8)均为棱台，其中(7)为四棱台，记作四棱台ABCD－A′B′C′D′；(8)为三棱台，记作三棱台ABC－A1B1C1.
[B组 技能提升]
1．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北
C．西 D．下
解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上，可知“△”的方位为北，故选B．
答案：B
2．设四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两个侧棱都垂直于底面中一边的平行六面体是直平行六面体；④体对角线相等的平行六面体是直平行六面体，以上四个命题中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②③错，④正确，故选A．
答案：A
3．给出下列几个命题：
①直棱柱的侧面都是矩形；
②棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，假命题的个数是__________．
解析：显然命题①是真命题；命题②是假命题；对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题；对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题④为真命题．
答案：1个
4．已知正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为3，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为________．
解析：如图所示，E为△ABD的重心，F为△ADC的重心，取BD的中点M，CD的中点N，连接AM，AN，MN，则EF∥MN，且EF＝MN，
又MN＝BC＝，
∴EF＝1.
答案：1
5．现有两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5 cm，4 cm，3 cm，将它们摞起来组成一个新的长方体，这个新长方体的对角线的长是多少？
解：将两个完全相同的长方体摞在一起形成新长方体，其情形有以下几种：将面积为5×3＝15(cm2)的面重叠到一起；将面积为5×4＝20(cm2)的面重叠到一起；将面积为4×3＝12(cm2)的面重叠到一起．三种情形下对角线的长分别为：
l1＝＝7(cm)，
l2＝＝(cm)，
l3＝＝5(cm)．
6．已知正四棱锥S－ABCD的高为，侧棱长为.
求：(1)侧面上的斜高；
(2)一个侧面的面积；
(3)底面的面积．
解：(1)如图所示，
在正四棱锥S－ABCD中，高SO＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，得OA＝2，则AC＝4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB的中点，
∴OE＝BC＝.
连接SE，则SE为斜高．
∵SO＝，∴SE＝，
即侧面上的斜高为.
(2)由(1)知SE＝，AB＝2，
∴S侧面＝·SE·AB＝××2＝.
(3)S底面＝AB·BC＝2×2＝8.
课件40张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征自主学习 梳理知识课前基础梳理平面多边形都在这个平面的同一侧相等平行四边形全等的多平行四边形边形矩形有一个公共顶点过底面中心平行于底面典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
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[A组 基础过关]
1．下列说法中，正确的是( )
A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
答案：C
2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
答案：D
3．将半径为2，中心角为90°的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为( )
A． B．
C． D．
解析：设圆锥的底面半径和高分别为r，h，
∵扇形弧长为圆锥底面周长，
∴×2π×2＝2πr，∴r＝.
∴高h＝＝.
∴轴截面面积S＝×2r·h＝.
答案：A
4．一个圆台的上、下底面的面积分别为1 cm2、49 cm2，一个平行于底面的截面的面积为25 cm2，则这个截面与上下底面的距离之比是( )
A．2∶1 B．3∶1
C．∶1 D．∶1
解析：把圆台O1O还原成圆锥SO，其轴截面如图所示．
其中O2为截面圆的圆心，
则
∴
∴O1O2＝SO2－SO1＝4SO1，
OO2＝SO－SO2＝2SO1，
∴＝2∶1，故选A．
答案：A
5．已知正方体的棱长为1，则它的内切球与外接球半径的比值为( )
A． B．
C． D．
解析：正方体的内切球的直径为正方体的棱长，则内切球的半径r1＝，
正方体的外切球的直径为正方体的体对角线，则外切球的半径r2＝，
∴＝＝，故选B．
答案：B
6．地球半径为R，则南纬30°的纬线圈长为________．
解析：如图是过球心O及纬线圈圆心O1的轴截面，则∠OAO1＝30°，AO＝R，
∴AO1＝R·cos30°＝R，
∴纬线圈周长为2π·AO1＝πR.
答案：πR
7．用长和宽分别为3π 和π 的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是________．
解析：以3π 为底面周长得2πr1＝3π ，∴r1＝；
以π 为底面周长得2πr2＝π ，∴r2＝.
答案：或
8．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长以及圆锥的轴截面的面积．
解：如图，设圆锥SO的底面圆直径为AB，SO为高，SA为母线，
则SO＝2，∠ASO＝30°，
在Rt△SAO中，
AO＝SO·tan30°＝2×＝，
SA＝＝＝，
而S△ASB＝SO·AB＝SO·AO＝2×＝，
所以圆锥的母线长为，它的轴截面面积为.
[B组 技能提升]
1．点O1为圆锥的高中靠近顶点的一个三等分点，过O1与底面平行的截面面积是底面面积的( )
A． B．
C． D．
解析：如图，SO是圆锥SO的高，
SO1∶SO＝1∶3.∵△SO1A1∽△SOA，
∴A1O1∶AO＝SO1∶SO＝1∶3.
∴＝＝2＝.∴选D．
答案：D
2．一个长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝，AA1＝1，则顶点A，B间的球面距离是( )
A．2π B．π
C． D．
解析：由题可得球的直径即为长方体的体对角线，
即2R＝＝2，∴R＝，
设球的球心为O，则OA＝OB＝，又AB＝2，
∴∠AOB＝90°，
∴顶点A，B间的球面距离为·2πR＝·2π·＝π，故选C．
答案：C
3．一个圆柱的母线长为15 cm，底面半径为12 cm，则圆柱的轴截面面积是________．
解析：圆柱的轴截面是矩形，一边是底面圆的直径，另一边是母线，故面积S＝12×2×15＝360(cm2)．
答案：360 cm2
4．用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为________．
解析：如图所示，半径为10 cm的半圆纸片卷成的圆锥底面半径为r，
则2πr＝10π，
∴r＝5 cm，且圆锥的母线为10 cm，
圆锥的轴截面VAB是等边三角形，高BH＝5 cm，故放倒后的圆锥最高点到桌面的距离为5 cm.
答案：5 cm
5．圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm，高为8 cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线的距离分别是3 cm和6 cm，求截面面积．
解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB1A1，OO1为圆台的高，取AB，A1B1的中点分别为C，C1，则OC＝6 cm，O1C1＝3 cm.
∴AB＝2＝16(cm)．
∴A1B1＝2 ＝8(cm)，
CC1＝＝＝
(cm)，
∴S截＝(AB＋A1B1)·CC1＝(16＋8)＝12(cm2)．
6．对于矩形ABCD，若AB＝3，BC＝4，以边AB为轴旋转形成圆柱，那么绕圆柱一周的绳子由C点到D点，最短多长？
解：侧面展开图如图，圆柱侧面展开后得矩形CDD′C′，对角线CD′即为所求．
∵CC′＝2π ·BC＝8π ，CD＝AB＝3，
∴CD′＝ ＝.
课件39张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球自主学习 梳理知识课前基础梳理矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面轴上垂直于轴不垂直于轴这条边直径曲面球面圆心线段球心大圆劣弧弧长典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.4 投影与直观图
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[A组 基础过关]
1．有下列说法：
①从投影的角度看，正等测画法和斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：由平行投影和中心投影的概念知，以上三种说法都正确，故选C．
答案：C
2．下列叙述中正确的个数是( )
①相等的角，在直观图中仍然相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；
④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：从原图到直观图只能保证平行的仍然平行，故只有③正确，正确命题的个数只有1个，故选B．
答案：B
3．已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′＝2，B′C′＝4，A′B′＝1，则直角梯形DC边的长度是( )
A． B．2
C．2 D．
解析：将直角梯形还原如图所示，
其中AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝4，AB＝2A′B′＝2，
取OC的中点E，连接DE.
则DE⊥OC，∴DC＝＝＝2.
答案：B
4．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．梯形的直观图可能不是梯形
C．正方形的直观图为平行四边形
D．正三角形的直观图一定是等腰三角形
解析：根据斜二测画法画水平放置的平面图形时的画法原则可得，等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，梯形的直观图还是梯形，正方形的直观图是平行四边形，正三角形的直观图可以是一个钝角三角形，故选C．
答案：C
5．已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，若平行四边形中有一条边为4，则此正方形的面积是( )
A．16或36 B．36或64
C．16或64 D．36
解析：若水平的边为4，则正方形的边长为4，面积为16.
若斜边为4，则正方形的边长为8，面积为64，故选C．
答案：C
6．在一张不透明的胶纸上有一个小孔，在这张胶纸前有一高为2 cm的线光源，且离胶纸的距离为4 m，则在胶纸后面的墙上将会有一个长为________ cm的光斑(已知墙离胶纸的距离为8 m)．
解析：本题中小孔成像是物理的光学中研究的问题，在数学中可将其视为中心投影，其实质是考查三角形的相似关系．
答案：4
7.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：由题可知△ABC是直角三角形，如图所示，其中C为直角，
∴AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，
取AB边的中点D，连接CD，
∴AB边上的中线CD＝AB＝ ＝.
答案：
8．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
解：画法：(1)画底面．如图①.画x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，以点O′为中心，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm，在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(2)画z′轴．使z′轴与x′轴的夹角为90°.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图②.
[B组 技能提升]
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)是( )
解析：过△DMN三个顶点D，M，N分别在投影面ADD1A1上作正投影即得．故选A．
答案：A
2．下列说法中正确的是( )
A．正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°
B．水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形
C．不等边三角形的水平放置的直观图是不等边三角形
D．水平放置的平面图形的直观图是平面图形
解析：对于A，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“‘二测’——横不变，纵减半”的规则，因而答案不正确；对于B，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于C，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．
答案：D
3.如图是水平放置的三角形的直观图，D是△ABC的BC边的中点，AD∥y′轴，那么AB，AD，AC三条线段的长度关系是________．
解析：∵AD∥y′轴，根据斜二测画法规则，则在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB，AC等长．
答案：AB＝AC＞AD
4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形的面积为________．
解析：将直观图还原，如图所示是平行四边形OABC，
由直观图可知OA＝O′A′＝6，O′C′＝2，∴O′D′＝2，∴OD＝4，
∴SOABC＝OA·OD＝6×4＝24.
答案：24
5．如图，画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
解：按斜二测画法画图．
(1)画轴：画O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在x′轴上取点B′，使O′B′＝OB＝4；在y′轴上取C′，
使O′C′＝OC＝1，在x′O′y′中，对应取A′，使A′.
(3)成图：顺次连接C′，B′，A′，O′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．
6．如图所示，A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，已知A′B′C′D′是一个直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′且B′C′与y′轴平行，又A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，试求梯形A′B′C′D′的原图形ABCD的面积．
解：由斜二测画法的规则知梯形A′B′C′D′的原图形ABCD为梯形且BC⊥AB.
∴AB＝A′B′＝6，DC＝D′C′＝4，
BC＝2B′C′＝2A′D′＝4，
∴S四边形ABCD＝×(6＋4)×4＝20.
课件41张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.4 投影与直观图自主学习 梳理知识课前基础梳理平行于投射面投射线直线或线段平行或重合的直线平行且等长全等这两条线段的比直观图位置关系保持长度不变原来的一半坐标轴中心投影典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.5 三视图
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1.将如图所示的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是( )
答案：D
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体( )
答案：D
3．(2018·天津卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
解析：观察图形图可知，俯视图为，故答案为A．
答案：A
4.已知正三棱锥V－ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，则该三棱锥的左视图的面积为( )
A．9 B．6
C．3 D．
解析：由主视图和俯视图可知，
正三棱锥的底边长为AC＝2，侧棱长VA＝4，如图所示，V在底面的射影是底面的中心O，
∴AO＝2××＝2，
又VA＝4，
∴VO＝＝＝2.
正三棱锥的左视图是等腰三角形，底为2，高为2.
∴S左＝×2×2＝6，故选B．
答案：B
5．如图是一个简单的组合体的直观图与三视图，一个棱长为4的正方体，正上面中心放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是( )
A． B．1
C． D．2
解析：由俯视图中所给数据可知，大圆的直径为2，∴球的半径为1，故选B．
答案：B
6．如图，三视图代表的立体图形是________．
答案：两个圆台的组合体
7．一个圆锥的主视图如图所示，则圆锥的高为________．
解析：由主视图可知，该圆锥的母线长为2，底面直径为2，所以半径为，高SO＝＝＝.
答案：
8．如图所示，画出下列几何体的三视图．
解：如图所示：
[B组 技能提升]
1．(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由三视图可得四棱锥P－ABCD，
在四棱锥P－ABCD中，PD＝2，AD＝2，CD＝2，AB＝1，
由勾股定理可知，PA＝2，PC＝2，PB＝3，BC＝，
则在四棱锥中，直角三角形有：△PAD，△PCD，△PAB共3个，故选C．
答案：C
2．下列命题：
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．
其中，真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①是假命题，这个几何体也可以是球；
②中的几何体也可以是横放的圆柱，故为假命题；
③是真命题；
④中的几何体也可以是棱台，是假命题，故选B．
答案：B
3．若线段AB平行于投影面，O是线段AB上一点，且＝，则O的平行投影O′分线段AB的平行投影A′B′的长度之比为________．
解析：由题意知AB∥A′B′，OO′∥AA′，OO′∥BB′，则有＝＝.
答案：
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的主视图与左视图的面积的比值为________．
解析：P－ABC的主视图与左视图是底和高相等的三角形，则主视图与左视图的面积的比值为1∶1.
答案：1∶1
5.如图为一个正四棱锥的视图，画出其左视图，并求该棱锥的侧棱长和高．
解：作出该正四棱锥的左视图和直观图，如图．
取CD中点E，连接PE，OE，由题意知，底面正方形ABCD，边长CD＝4，正四棱锥斜高PE＝4，
在Rt△POE中，PO＝＝2，
在Rt△PCE中，PC＝＝2，
故正四棱锥的侧棱长为2，高为2.
6．一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的左视图的面积．
解：由三视图中高平齐，宽相等可知，该几何体的左视图是由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为3的三角形组成，∴左视图的面积为×4×3＋4×4＝22.
课件37张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.5 三视图自主学习 梳理知识课前基础梳理点直线或直线的一部分垂直水平放置俯视图正前方主视图垂直右面左视图正投影一个平面内下面右面主视图俯视图长对正高平齐宽相等主左一样高主俯一样长俯左一样宽典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么此几何体的表面积(单位：cm2)是( )
A．102 cm2 B．128 cm2
C．144 cm2 D．184 cm2
解析：由三视图可知，该几何体是正四棱锥，其中底面边长为8 cm，斜高为5 cm，∴该几何体的表面积为8×8＋×4×8×5＝144 cm2，故选C．
答案：C
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l＝2r.由题意知，轴截面面积S＝×(2r)2＝×r2＝.
∴r＝1，故圆锥的全面积S全＝πr·l＋πr2＝3π.故选A．
答案：A
3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A． B．
C． D．
解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，
则由题意得2πr＝l.此圆柱S侧＝l2＝(2πr)2＝4π2r2，
S全＝S侧＋2S底＝4π2r2＋2πr2，＝＝.故选A．
答案：A
4．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A． B．
C． D．
解析：如图为球的截面图，球的半径为OA，
截面圆的半径为AC，OC＝OA，
∴AC＝ ＝OA.
∴＝＝＝.故选A．
答案：A
5．一个直棱柱的底面是菱形，棱柱的体对角线长分别是9 cm和15 cm，高是5 cm，则这个直棱柱的侧面积是( )
A．160 cm2 B．320 cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：设底面边长为a，则由已知可得4a2＝(92－52)＋(152－52)，解得a＝8，
∴直棱柱的侧面积为4×8×5＝160 cm2，故选A．
答案：A
6．底边和侧棱长均为的三棱锥的表面积为________．
解析：如图所示，在三棱锥A－BCD中，取CD的中点E，连接AE，知AE为斜高．
AE＝＝ ＝，
∴三棱锥的表面积为4×××＝3.
答案：3
7．一个圆锥的底面半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为________．
解析：S侧＝πrl＝π×2×＝8π.
答案：8π
8．正四棱锥底面边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
解：如图所示，正棱锥的高PO，斜高PE，
底面边心距OE组成Rt△POE.
因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
所以PE＝＝4 (cm)．
因此S侧＝ch′＝×4×4×4＝32 (cm2)，
S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48 (cm2)．
[B组 技能提升]
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶ B．1∶
C．1∶2 D．∶2
解析：设正方体的棱长为a，则S正方体＝6a2，正四面体D1－AB1C的棱长为a，则S正四面体＝4××(a)2＝2a2，所以＝＝ .故选B．
答案：B
2.某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积是( )
A．4π B．
C． D．20π
解析：由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面是等边三角形，边长为2，高为2，设外接球的半径为R，底面截面圆的半径为r，
∴r＝·＝，
∴R2＝r2＋12＝＋1＝，
∴S球＝4πR2＝，故选B．
答案：B
3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．
解析：由正视图知三棱柱底面边长a＝2，高h＝1，
∴S侧＝3×2×1＝6，
S底＝2××22＝2，
∴表面积为6＋2.
答案：6＋2
4．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．
解析：因为几何体的三视图的轮廓均为正方形，将几何体放入正方体中，如图所示，几何体EF－ABCD.
SABCD＝2×2＝4，S△AED＝×2×2＝2，S△ABF＝S△BFC＝S△EDC＝2，S△AEF＝×2××2＝2，S△EFC＝S△AEF＝2，∴S表＝4＋2×4＋2＋2＝12＋4.
答案：12＋4
5．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积．
解：(1)作出直观图如图所示，是底面为直角梯形的四棱柱．
(2)此几何体的表面积为S＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝7＋(m2)．
6．已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积；
(2)在如图的主视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝π×2×2＝4π，
S圆柱侧＝(2π×2)×4＝16π，S圆柱底＝4π，
所以S表＝4π＋16π＋4π＝4(＋5)π.
(2)沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB＝＝＝2，
所以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2.
课件43张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积自主学习 梳理知识课前基础梳理典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.1 空间几何体
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．
其中AB为高，底面是直角三角形，
V＝AB×BD×CD＝×2××3×2＝2，故选A．
答案：A
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．＋π B．＋π
C．＋2π D．＋2π
解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为××2×1×1＋π×12×2＝＋π，故选A．
答案：A
3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是( )
A．96 B．128
C．140 D．152
解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，
V＝S·h＝×6×4×8＝96.
答案：A
4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( )
A． B．
C． D．或
解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝，底面面积S＝a2＝，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝，底面面积S′＝a′2＝，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝.所以正三棱柱的体积为或.
答案：D
5．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )
A． B．
C． D．
解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为，∴V＝2××1×1×＝.故选B．
答案：B
6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．
解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5
得r＝4，
∴圆锥的高h＝＝3.
∴圆锥的体积为V＝πr2·h＝16π.
答案：16π
7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为2××1×()2＝.
答案：
8．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的侧面积．
解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.如图所示，
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝ ＝5，
因此S侧＝2×＝40＋24.
[B组 技能提升]
1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A． B．
C． D．
解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，V＝×a2·a＝a3，
∴＝＝，故选D．
答案：D
2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为( )
A．9π B．π
C．27π D．π
解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为3，
∴球半径为，
∴V＝π3＝π.
故选D．
答案：D
3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则＝________.
解析：由题知πr3＝πR2·r，∴＝.
答案：
4．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为2的等腰三角形，∴V＝××2×1×1＝.
答案：
5．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解：(1)如图．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝.
6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．
解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，
∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，
于是AB＝2AA1＝12 cm，
由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，
又∠A＝90°－30°＝60°，
得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，
故△A1B1B为等腰三角形，
∴A1B1＝B1B＝6 cm.
又OO1·AB＝AA1·A1B得，
OO1＝＝＝3(cm)，
由圆台的体积公式：
V圆台＝π·OO1·(A1O＋A1O1·AO＋AO 2)＝
·π·3·(32＋3×6＋62)＝63π(cm3)．
课件48张PPT。第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体
1.1.7 柱、锥、台和球的体积自主学习 梳理知识课前基础梳理两个平行面间这两个平面总相等相等等底面积等高平行于典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
层级训练 提能过关点此进入该word板块第一章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．下列四个命题中错误的是( )
A．若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能在同一个平面
解析：由平面的基本性质可知A、B正确；若两条直线没有公共点，这两条直线平行或异面，故C不正确，D正确，故选C．
答案：C
2．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可以确定一个平面；④三条平行线最多可以确定三个平面．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①②④正确，③不正确，故选C．
答案：C
3.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：由题可知，β与γ的公共点为C，D，故选D．
答案：D
4．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l至少与l1，l2中的一条相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l与l1，l2都不相交
答案：A
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1共面的棱共有( )
A．4条 B．5条
C．6条 D．7条
解析：从AC1的每一个端点出发有3条棱，线段AC1有两个端点，所以有6条．故选C．
答案：C
6．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．
答案：②④
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．
①直线AC1在平面CC1B1B内；
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
③由A，C1，B确定的平面是ABC1D1；
④由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．
解析：如图所示，AC1?平面CC1B1B，①错；平面AA1C1C∩平面BB1D1D＝OO1，②正确；∵AB∥C1D1，∴A，B，C1，D1共面，③正确；AD∥B1C1，∴A，B1，C1，D共面，即A，C1，B1确定平面ADC1B1，④正确．
答案：②③④
8．已知：如图，a∩b＝C，b∩c＝B，a∩c＝A.求证：a，b，c共面．
证明：∵三条直线两两相交且不交于一点，
∴A，B，C三点不共线(否则与已知矛盾)，
∴可设A，B，C三点确定一个平面α，
∵A∈α，B∈α，
∴AB?α，即c?α，
同理，b?α，a?α，所以a，b，c共面．
[B组 技能提升]
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1与CC1的中点，则经过P，B，Q三点的截面是( )
A．邻边不相等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．矩形
D．正方形
解析：经过P，B，Q三点的截面是PBQD1，是菱形，但不是正方形．
答案：B
2．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是( )
①BM与ED平行 ②CN与BE是异面直线 ③CN与BM异面 ④DM与BN异面
A．①②③ B．③④
C．②④ D．②③④
解析：如图，正方体ABCD－EFMN，ED与BM异面，CN与BE平行，CN与BM异面，DM与BN异面，故③④正确．
答案：B
3．给出下列说法：
(1)若直线上有两个点在平面外，则直线上至少有一个点在平面内；
(2)若直线上有两个点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面内；
(3)若直线上有两个点在平面外，则直线上所有点都在平面外；
(4)若直线上有两个点在平面外，则直线上至多有一个点在平面内；
(5)若a，b是异面直线，c∥a，那么c与b一定是异面直线．
其中正确的是________．
解析：如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
直线A1A上的两点A1与中点E在平面ABCD外，
但直线只有一个点在平面ABCD内，故(2)(3)错，
直线A1B1上有两个点A1，B1在平面外，且A1B1与平面ABCD没有公共点，故(1)错，(4)正确，若a、b异面，c∥a，则c与b异面或相交，故(5)错．
答案：(4)
4．不重合的三个平面把空间分成n部分，则n的可能值为________．
答案：4或6或7或8
5．如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1，
B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C在平面BCD1A1内，
∴Q∈平面BCD1A1，Q∈平面ABC1D1，
∴Q在两平面的交线BD1上，
∴三点B，Q，D1共线．
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．
解：如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，
∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA.
又∵FD1?平面BED1F，AD?平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
课件41张PPT。第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论自主学习 梳理知识课前基础梳理线段只有两点所有点在平面内经过直线有且只有确定有一个公共点有且只有直线外相交直线平行直线几个点几条直线不相交不平行∈?∈?∩??∩典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.2 空间中的平行关系
第一课时 平行直线、直线与平面平行
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．下列结论中正确的是( )
A．如果两个角相等，那么这两个角的两边分别平行
B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内
C．空间四边形的两条对角线相交
D．空间四边形的两条对角线不相交
答案：D
2．下列命题正确的个数是( )
①一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一直线的任何平面平行；③平行于同一平面的两条直线互相平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则该线与此平面平行．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①直线和平面平行，它和这个平面内的直线可能平行，可能异面，②可能平行，可能在平面内，③平行、相交、异面都有可能，④平行或相交．故①②③④均不正确．
答案：A
3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，则下列说法正确的是( )
A．直线EF与AC异面
B．直线EF与AC相交
C．EFAC
D．EFAC
解析：连接A1C1，A1C1∥EF，又AC∥A1C1，
∴EF∥AC.
又EF＝A1C1，∴EFAC，故选C．
答案：C
4．连接空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD，若M，N分别是△ABC和△ACD的重心，则( )
A．MN∥BD
B．MN∥AC
C．MN和BD不平行
D．直线BM与DN不相交
解析：如图，连接AM并延长交BC于点E，则E为BC的中点，同理连接AN并延长AN交CD的中点F.连接EF，则EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD.又M、N分别为△ABC、△ACD的重心，则＝＝.
∴MN∥EF.
由公理4知MN∥BD.故选A．
答案：A
5．对于直线m，n和平面α，以下结论正确的是( )
A．如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果m?α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
答案：C
6．下列命题正确的有________．
①若直线l上有一个点在平面α内，则直线l与平面α不可能平行；
②若直线l∥平面α，则l与α内的无数条直线平行；
③两条平行线中的一条与直线l垂直，则另一条也与l垂直；
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．
答案：①②③
7．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是________．
解析：∵AB∥A1B1，AB?平面A1B1ED，A1B1?平面A1B1ED.
∴AB∥平面A1B1ED，
又平面ABC∩平面A1B1ED＝DE，∴AB∥DE.
答案：平行
8.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1.
证明：连接B1C交BC1于O点，
则O为B1C的中点，连接EO，
在△AB1C中，EO为△AB1C的中位线，
∴AB1∥EO.
又∵AB1?平面BEC1，
EO?平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1.
[B组 技能提升]
1. P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列四个命题：
①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；
③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由O为BD的中点，M为PB的中点，
∴OM∥PD，
OM?平面PCD，PD?平面PCD，∴OM∥平面PCD，OM∥平面PAD，故选B．
答案：B
2.如图所示，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )
A．EH∥FG
B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．Ω是棱台
解析：∵EH∥A1D1，又A1D1∥BC，
∴EH∥BC，EH?平面EFGH，BC?平面EFGH，
∴BC∥平面EFGH.
又平面BCGF∩平面EFGH＝FG，
∴BC∥FG，
∴FG∥EH，A正确，易知B正确．
Ω是一个五棱柱或四棱柱，
∴C正确，D不正确，故选D．
答案：D
3．在空间四边形ABCD中，各边及对角线长均为2，E是AB的中点，过CE且平行于AD的平面交BD于F，则△CEF的面积为________．
解析：如图，取BD的中点F，则AD∥平面CEF.
∵AD＝2，∴EF＝1.又∵△BCD，△ABC均为正三角形，
∴CE＝CF＝，取EF的中点M，连接CM，
∴CM⊥EF，
∴CM＝＝ ＝，
∴S△CEF＝EF·CM＝×1×＝.
答案：
4．以下结论中，正确的结论序号为________．
①过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行；
②过直线l外一点P，有且只有一条直线与l平行；
③过直线l外一点P，有且只有一个平面与l平行；
④与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行；
⑤l∥α，A∈α，过A与l平行的直线l1必在α内．
答案：②⑤
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a.
(1)求证：MN∥平面BB1C1C；
(2)求MN的长．
解：(1)证明：如图所示，过M点作MP∥A1B1交BB1于点P，过N点作NQ∥AB交BC于Q，连接PQ.
∵MP∥A1B1，A1M＝a＝A1B,
∴MP＝A1B1.
又∵NQ∥AB，AN＝a＝AC，
∴NQ＝AB.
又∵ABA1B1，∴MPNQ.
∴四边形MPQN是平行四边形．
∴MN∥PQ.
∵PQ?平面B1BCC1，MN?平面B1BCC1，
∴MN∥平面BB1C1C.
(2)由(1)，知MP∥A1B1，A1M＝A1B.
∴BP＝BB1＝a，
同理，BQ＝BC＝a.
∴在Rt△PBQ中，PQ＝＝ ＝a，而由(1)知MN＝PQ，即MN＝a.
6.四边形ABCD是正方形，S为四边形ABCD所在平面外一点，SA＝SB＝SC＝SD，P是SC上的点，M，N分别是SB、SD上的点，且SP∶PC＝1∶2，SM∶MB＝SN∶ND＝2∶1.
求证：SA∥平面PMN.
证明：由SM∶MB＝SN∶ND＝2∶1，可知MN∥BD.
连接AC与BD，交于O，连接SO，交MN于E，
∴＝＝，
连接PE，取SC的中点H，连接OH，
∵SP∶PC＝1∶2，
∴SP∶PH＝2∶1，
∴＝，
∴PE∥OH，
又OH为△SAC的中位线，
∴OH∥SA，∴PE∥SA，
SA?平面PMN，EP?平面PMN，
∴SA∥平面PMN.
课件50张PPT。第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.2 空间中的平行关系
第一课时 平行直线、直线与平面平行自主学习 梳理知识课前基础梳理有且只有一条互相平行分别对应平行方向相同不共面顶点相邻顶点间不相邻表示顶点的四个字母有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.2 空间中的平行关系
第二课时 平面与平面平行
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面( )
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．一定重合
解析：根据平行的定义及平面平行的判定定理．
答案：C
2．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．平行或在平面内
答案：D
3．下列结论中正确的是( )
A．∵a∥α，b∥α，∴a∥b
B．∵a∥α，b?α，∴a∥b
C．∵α∥β，a∥β，∴a∥α
D．∵α∥β，a?β，∴a∥α
答案：D
4．已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，有下列命题：①若m?α，n∥α， 则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α或m∥β ；④若α∥β，α∥γ，则β∥γ.其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①m与n还可能是异面；②α与β可能相交；③正确，m至少与α、β中的一个平面平行；④正确．
答案：C
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D(包括边界)上的动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围是( )
A．
B．[0,1]
C．
D．
解析：过DEF三点作出正方体的截面DEMF，
其中M在BB1上，且BM＝BB1，
取D1C1的中点T，连接B1T，可得B1T∥DE，过T作TS∥DF，
则S在DD1上，且D1S＝D1D，
由平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
作SR∥FM，且AR＝AA1，
连接RB1，可得四边形RB1TS共面
且平面RB1TS∥平面DEF，
∴若PB1∥平面DEF，
则P∈RS，当P在R时，tan∠ABP＝＝，
当P在S时，tan∠ABP＝＝，
∴tan∠ABP的取值范围为，故选D．
答案：D
6．已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，则CS的值为________．
解析：∵α∥β，AB与CD相交可确定一个平面，
∴AC∥BD，当交点S在α，β之间时，有＝，
∴＝，∴CS＝16.
当交点S不在α，β之间时，
如图所示，
∴＝，∴＝，
∴CS＝272.
答案：16或272
7.如图在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，D分别是B′C′与BC的中点．求证：平面A′EB∥平面ADC′.
证明：∵E，D分别是B′C′，BC的中点，
∴C′E＝DB，且C′E∥DB.
∴四边形C′EBD为平行四边形，
∴EB∥C′D.而C′D?平面ADC′，
EB?平面ADC′，
∴EB∥平面ADC′.
同理，连接ED，EB′＝BD，
EB′∥BD，
∴四边形EB′BD也为平行四边形．
∴ED∥B′B，且ED＝B′B，而棱柱侧面A′ABB′也为平行四边形．
∴B′B∥A′A，B′B＝A′A.
∴ED∥A′A，且ED＝A′A.
∴四边形EDAA′为平行四边形．
∴A′E∥AD.
∵AD?平面ADC′，
A′E?平面ADC′，
∴A′E∥平面ADC′.
∵EB∩A′E＝E，∴平面A′EB∥平面ADC′.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，
∴MB1＝NB，
∴＝，∴＝，
∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，
∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.
又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面AA1B1B.
[B组 技能提升]
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1B1的中点，则下列结论中正确的有( )
①AB∥D1M；②DB1∥平面AMD1；③BC1∥平面AMD1；④平面ACD1∥平面A1C1B.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：如图所示，AB与D1M为异面直线，①错；连接A1D交AD1于O点，连接OM，可知OM∥DB1，∴DB1∥平面AMD1，②正确；由ABCD－A1B1C1D1为正方体知BC1∥AD1，∴BC1∥平面AMD1，③正确；AC∥A1C1，AD1∥BC1，∴平面ACD1∥平面A1C1B，④正确．故选C．
答案：C
2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A，B如何移动，都共面
解析：由面面平行的性质定理知，点C应在过AB中点，且平行于α(或β)的平面内，故选D．
答案：D
3.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝，G是△ABC的重心．过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.
解析：∵BC∥平面α，平面α∩平面ABC＝MN，
∴BC∥MN.又∵G是△ABC的重心，∴AG∶GD＝2∶1，∴AG∶AD＝2∶3，∴MN∶BC＝2∶3.在△ABC中，BC＝.∴MN＝.
答案：
4.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：展开图可以折成如图所示的正方体．
连接AN，知AN∥BM，∴BM∥平面AEND，①正确；
CN∥EB，∴CN∥平面ABEF，②正确；
由AF∥DM，BD∥FN，可知平面BDM∥平面AFN，③正确；
由BE∥NC，BD∥FN可知平面BDE∥平面NCF，④正确．
答案：①②③④
5.如图所示，在三棱锥A－BCD中，M，N，G分别是△ABC，△BCD，△ABD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ACD.
解：(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并延长，分别交AC，CD，DA于P，E，F，由M，N，G分别是△ABC，△BCD，△ABD的重心知P，E，F分别是AC，CD，DA的中点．连接PE，EF，PF，
则PE∥AD，且PE＝AD；
EF∥AC，且EF＝AC；
PF∥CD，且PF＝CD.又＝＝＝＝2.
∴MN∥PE，∴MN∥AD，
又∵MN?平面ACD，AD?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.同理：MG∥平面ACD.
∵MN∩MG＝M，∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)知＝＝，
∴＝，即MN＝PE.
又PE＝AD，∴MN＝AD，即＝.
由(1)知：MN∥AD，MG∥CD，∴∠GMN＝∠ADC.
同理∠MNG＝∠CAD，∠MGN＝∠ACD，
∴△MNG∽△DAC，∴＝2＝2＝，
即S△MNG∶S△ACD＝1∶9.
6.如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在□A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′.
∵A′B′?平面C′D′DC，C′D′?平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.
同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形．
课件38张PPT。第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.2 空间中的平行关系
第二课时 平面与平面平行自主学习 梳理知识课前基础梳理无数个没有两条同时与第三个平面相交对应线段成比例典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
层级训练 提能过关点此进入该word板块第一章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.3 空间中的垂直关系
第一课时 直线与平面垂直
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．如果直线a与直线b垂直，同时直线b又垂直于平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．a⊥α B．a∥α
C．a?α D．a?α或a∥α
解析：当a?α时，由b⊥α知b⊥a，符合题设条件，同理当a∥α时，也符合a⊥b这一条件．
答案：D
2．下列说法正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．垂直于同一条直线的两直线垂直
C．垂直于同一个平面的两直线平行
D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
解析：在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A、B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；由线面垂直性质定理知C正确．
答案：C
3.E，F分别是正方形ABCD中AB，BC的中点，沿DE，DF及EF把△ADE，△CDF和△BEF折起，使A，B，C三点重合于一点P，则有( )
A．DP⊥平面PEF
B．DE⊥平面PEF
C．EF⊥平面PED
D．DF⊥平面PEF
解析：如图所示，A，B，C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF.
答案：A
4．设有两条直线a，b和两个平面α，β，则下列说法中错误的是( )
A．若a∥α，且a∥b，则b?α或b∥α
B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥β
C．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b
D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α
解析：易判断A正确；对于B，由a∥b，b⊥β知a⊥β，又a⊥α，故α∥β，从而B正确；C中，由α∥β，a⊥α知a⊥β，又b⊥β，故a∥b，从而C正确；而D中由a⊥b，a∥α知b与α可能垂直，也可能相交而不垂直，也可能平行．
答案：D
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为4，点A1到截面AB1D1的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：在正方体中，△AB1D1是等边三角形，边长为4，
∴S△AB1D1＝×4×2＝8.
设A1到截面AB1D1的距离为h，
∴V＝V，
∴h·S＝AA1·S，
∴h·8＝×4××4×4，
∴h＝＝，故选A．
答案：A
6．已知两条不同直线m，l，两个不同平面α，β，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若l⊥α，m?α，则l⊥m；④若l∥m，m⊥α，则l⊥α；⑤若m?α，l?β且α∥β，则m∥l.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
答案：①③④
7.如右图，□ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
解析：∵AF⊥平面ABCD，AF∥DE，
∴DE⊥平面ABCD，
CD?平面ABCD，∴DE⊥CD.
∵DE＝AF＝2，CD＝3，
∴EC＝＝.
答案：
8．如图所示，直角△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)如图，∵SA＝SB＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC.连接BD.
在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD.
∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SD⊥BD.
∵AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.
[B组 技能提升]
1．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
解析：过E作BB1的平行线交AB于M，
过F作BB1的平行线交BC于N，如图所示．
连接MN，可知M，N分别是AB与BC的中点，
∴EF∥MN∥AC，∵AC⊥BB1，∴EF⊥BB1，A正确；
∵AC⊥BD，∴EF⊥BD，B正确；EF与CD异面，C正确；
∵AC∥A1C1，∴EF∥A1C1，∴D不正确，故选D．
答案：D
2.如图所示的多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，且BD∥AE，AC＝AB＝BC＝BD＝2AE，F为CD的中点，则下列命题正确的有( )
①AC⊥平面DBC；
②EF⊥平面DBC；
③BC⊥平面ADC；
④DC⊥平面EFB.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由题可知△ABC为等边三角形，
∴AC与BC不垂直，①③错；
∵DB＝BC，F为CD的中点，
∴BF⊥DC.
连接EC，在△EAC中，
EC＝＝AE，
ED＝ ＝AE，
∴EC＝ED，∴EF⊥DC，又BF⊥DC，BF∩EF＝F，
∴DC⊥平面EFB，④正确；
取BC的中点M，连接FM，AM，
可知EAFM，四边形EAMF是平行四边形，
∴EF∥AM，又AM⊥BC，∴EF⊥BC，EF⊥DC，DC∩BC＝C，
∴EF⊥平面BDC，②正确，故选B．
答案：B
3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥MN，
又MN⊥B1M，
∴MN⊥平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，
∴∠C1MN＝90°.
答案：90°
4．△ABC所在平面α外有一点P，过P作PO⊥平面α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是△ABC的________心．
解析：(1)若PA＝PB＝PC，
则AO＝BO＝CO，
∴O为△ABC的外心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC，
又AC⊥PO，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面POB，∵BO?平面POB，∴AC⊥BO，
同理可得AB⊥CO，故O是△ABC高的交点，
∴O为垂心．
答案：(1)外 (2)垂
5.如右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.
证明：(1)如右图取CD的中点E，连接EM，EN，则CD⊥EM，
且EN∥PD.
∵PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，
∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.
∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，
而CD∥AB，故MN⊥AB.
(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，
则KNDCAM，且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形，
从而MN∥AK.因此MN⊥PD.
由(1)知MN⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.
6.已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有的棱长均为2，D是CC1的中点，
(1)求多面体ABD－A1B1C1的体积；
(2)求点C到平面ABD的距离．
解：(1)V＝S△ABC·AA1
＝×2×2××2＝2.
VD－ABC＝××2×2××1＝，
∴V＝V－VD－ABC＝2－＝.
(2)设点C到平面ABD的距离为h，
由VD－ABC＝VC－ABD，得hS△ABD＝，
∵AB＝2，BD＝＝，AD＝，
取AB的中点M，∴DM＝ ＝2，
∴S△ABD＝×2×2＝2，∴h＝，即点C到平面ABD的距离为.
课件53张PPT。第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.3 空间中的垂直关系
第一课时 直线与平面垂直自主学习 梳理知识课前基础梳理经过平移后直角垂直两条相交直线垂直垂直典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.3 空间中的垂直关系
第二课时 平面与平面垂直
课时跟踪检测
[A组 基础过关]
1．设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
答案：D
2．给出下列四个说法：
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在第一个平面内．其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②③④ D．④
答案：D
3．在空间四面体SABC中，SC⊥AB，AC⊥SC，且△ABC是锐角三角形，那么必有( )
A．平面SAC⊥平面SCB
B．平面SAB⊥平面ABC
C．平面SAC⊥平面SAB
D．平面SCB⊥平面ABC
解析：∵SC⊥AB，AC⊥SC，AB∩AC＝A，
∴SC⊥平面ABC，∵SC?平面SCB，
∴平面SCB⊥平面ABC，故D正确．
答案：D
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥平面α，直线m∥平面β，则下列四种关系中不一定成立的是( )
A．直线AB∥m B．直线AC⊥m
C．直线AB∥平面β D．直线AC⊥平面β
解析：∵m∥α，m∥β，可得m∥l，又AB∥l，
∴m∥AB，故A正确；
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m，B正确；
∵AB∥l，AB?β，l?β，
∴AB∥β，C正确；
C点不一定在平面β内，故D不一定成立，故选D．
答案：D
5．如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，CD的值为( )
A． B．
C．2 D．1
解析：当平面ADB⊥平面ABC时，取AB的中点E，连接CE，DE，
∵AC＝BC，∴CE⊥AB，
∴CE⊥平面ABD，DE?平面ABD，∴CE⊥DE.
又DE＝AB＝，CE＝＝＝1.
∴DC＝＝＝2.故选C．
答案：C
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.
其中正确命题的序号是________．
答案：①③
7．给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的序号是________．
解析：由两个平面垂直的判定定理知②正确；由两个平面垂直的性质定理知④正确；①中的条件应为两条相交直线；③中的条件应为“垂直于同一平面的两条直线”或者“在同一平面内”．故应填②④.
答案：②④
8．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明：(1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD.∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，GD.
∵F，G分别为PB和PC的中点，
∴FG∥BC，且FG＝BC.
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE＝BC，
∴ED∥FG，且ED＝FG，
∴四边形EFGD为平行四边形，
∴EF∥GD.
又EF?平面PCD，GD?平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
[B组 技能提升]
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：∵α∩β＝l，∴l?β，又n⊥β，∴n⊥l，故选C．
答案：C
2.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PAE
C．BC∥平面PAE
D．AD⊥平面PBD
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
又AB⊥AE，∴AB⊥平面PAE.
又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故选B．
答案：B
3．如图，三棱锥S－ABC中，三个侧面两两垂直，且三条侧棱SA＝SB＝SC＝a，则该三棱锥的体积为________．
解析：由题可知，三棱锥的体积V＝··SA·SB·SC＝.
答案：
4.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB＝AD＝3，AC＝5，BC＝4，则四面体ABCD的各面中有________组平面互相垂直．
解析：∵AD⊥平面ABC，
∴平面ABD⊥平面ABC，平面ACD⊥平面ABC，
可得BC⊥平面ABD，∴平面BCD⊥平面ABD，
故有3组平面互相垂直．
答案：3
5.如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AC，D，E分别是棱BC，CC′上的点(点D不同于点C)，且AD⊥BC，F为B′C′的中点．求证：
(1)平面ADE⊥平面BCC′B′；
(2)直线A′F∥平面ADE.
证明：(1)在△ABC中，
∵AD⊥BC，
又BB′⊥底面ABC，
∴BB′⊥AD，BC∩BB′＝B，
∴AD⊥平面BCC′B′.
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC′B′.
(2)∵F为B′C′的中点，又AD⊥BC，AB＝AC，
∴D为BC的中点，连接DF，
∴DFBB′，又AA′BB′，∴DFAA′，
∴四边形ADFA′是平行四边形，
∴A′F∥AD，A′F?平面ADE，AD?平面ADE.
∴A′F∥平面ADE.
6．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．
连接OP，因为P为AM 的中点，所以MC∥OP.
MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.
课件42张PPT。第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.3 空间中的垂直关系
第二课时 平面与平面垂直自主学习 梳理知识课前基础梳理相交垂直互相垂直一条垂线垂直于它们交线的典例精析 规律总结课堂互动探究即学即练 稳操胜券基础知识达标word部分： 请做： 课时跟踪检测
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第一章 立体几何初步
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n∥m，则n∥α
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
答案：D
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P－A1B1A的左视图可能为( )
答案：D
3．已知l⊥平面α，直线m?平面β.有下面四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
正确的有( )
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
解析：l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m?β，∴l⊥m，①正确；α⊥β，l⊥α，∴l∥β或l?β，但l与m有可能相交、异面、平行，②错；l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又m?β，∴α⊥β，③正确；l⊥α，l⊥m，则m∥α或m?α，但得不到α∥β，④错，故选D．
答案：D
4．如图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．8－π B．8－π
C．8－π D．8－π
解析：由三视图可得几何体是由一个正方体挖去半个圆锥，则V＝V正－V圆锥＝2×2×2－π·12·2＝8－，故选B．
答案：B
5．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6 B．2
C． D．2
解析：正六棱锥的高h＝＝2，S底＝6××12.∴V＝S·h＝××2＝，故选C．
答案：C
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四种说法：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①④正确，故选B．
答案：B
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．＋6 B．＋7
C．π＋12 D．2π＋6
解析：几何体为一个长方体和一个半圆柱，表面积为1×2×4＋1×1×2＋1×2＋π×1×1＝12＋π，选C．
答案：C
8．下列说法中正确的是( )
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行
C．三点确定唯一一个平面
D．如果一个平面内不共线的三个点到另一平面的距离相等，则这两个平面相互平行
解析：经过两条平行直线确定一个平面，故A正确．
答案：A
9．圆台上、下底面面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是( )
A．π B．2π
C．π D．π
解析：∵πr＝π ，∴r1＝1，同理r2＝2，∴S侧＝(1＋2)πl＝6π，∴l＝2，在轴截面中，求出高h＝＝，∴V＝××(1＋2＋4)＝π.故选D．
答案：D
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2 B．1
C． D．
解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形，边长为，高为1的四棱锥，
∴V＝×××1＝.故选C．
答案：C
11.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48
B．32＋8
C．48＋8
D．80
解析：换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为，所以该几何体的表面积为48＋8，故选C．
答案：C
12．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M，N分别为A1B，B1C1的中点．
下列结论中正确的个数有( )
①直线MN与A1C相交；②MN⊥BC；③MN∥平面ACC1A1；④三棱锥N－A1BC的体积为V＝a3.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：由三视图可知该几何体是直三棱柱，底面ACB是直角三角形，
AC⊥BC，AA1⊥底面ABC.
取A1B1的中点H，
连接HN，HM，可知NH∥A1C1，MH∥A1A，
∴NH∥平面AA1C1C，MH∥平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C∥平面MNH，
∴MN与A1C不相交，①错，③正确；
∵BC⊥AC，BC⊥AA1，AC∩AA1＝A，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又平面MNH∥平面ACC1A1，
∴BC⊥平面MNH，
∴MN⊥BC，②正确；
V＝V＝A1C1·S△BCN＝×a××a×a＝a3，④正确，故选B．
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m、高为2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m、高为4 m的圆柱，所以该几何体的体积是×4π×2＋4π＝(m3)．
答案：
14.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列三个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1.其中正确的命题的序号是________．
解析：①V＝V，
∵AD1∥BC1，∴S不变，
C到平面AD1C1的距离为定值，
∴V是定值，①正确；
②连接AC，A1C1，AD1，D1C，
可知平面AD1C∥平面A1C1B，A1P?平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确；
③连接B1C，B1C⊥BC1，BC1⊥DC，∴BC1⊥平面A1B1CD.DP?平面A1B1CD，∴DP⊥BC1，③正确．
答案：①②③
15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的动点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析：V＝V＝××1×1×1＝.
答案：
16．在三棱柱ABC－A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，且三棱柱ABC－A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的表面积为________．
解析：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，∴AC＝＝，
∴V＝AC·BC××AA1＝3，
即×1××AA1＝3，
∴AA1＝2，
∴外接球的半径为r＝ ＝2，
∴外接球的表面积为4π×4＝16π.
答案：16π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一个几何体的三视图如图(图中三角形为正三角形)所示，求它的表面积和体积．
解：由三视图知几何体为正三棱柱，高为2 mm，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为h＝2 mm.设底面边长为a，则a＝2，∴a＝4，∴三棱柱的表面积S＝S侧＋2S底＝3×4×2＋2××4×2＝24＋8(mm2)，体积V＝S底h＝4×2＝8(mm3)．
18．(12分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点．
(1)求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；
(2)当点P在DD1上运动时，是否都有MN∥平面A1C1P，证明你的结论．
解：(1)证明：正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，MN?平面ABCD，∴BB1⊥MN.
连接AC，∵M，N分别为AB，BC的中点，∴MN∥AC，
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴MN⊥BD.
∵BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BB1D1D.
又MN?平面B1MN，∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.
(2)当点P在DD1上移动时，都有MN∥平面A1C1P，
证明：∵A1C1∥AC，
∴MN∥AC，∴MN∥A1C1，
又MN?平面A1C1P，A1C1?平面A1C1P，
∴MN∥平面A1C1P.
19．(12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，AB⊥AC.
又BA⊥AD，且AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin45°＝1.
20．(12分) (2017·全国卷Ⅱ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.
因为AD＝CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.
从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.
(2)连接EO.
由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.
21．(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥P－ABD的体积V＝，求点A到平面PBC的距离．
解：(1)证明：连接BD交AC于O，连接EO，E为PD的中点，O为BD的中点，∴EO∥PB，∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.
(2)设A到平面PBC的距离为h，
则VP－ABD＝VP－ABC＝VA－PBC＝，PA·AB·BC＝，∴AB＝，∴PB＝＝，∴h·SPBC＝，h·PB·BC＝，即h···＝，∴h＝.
22．(12分)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE和CF的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；
(3)求多面体ABCDEF的体积．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.
又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC?平面ABCD，
所以AC⊥平面BDEF.
(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE和CF的中点，所以GH∥EF.
又因为GH?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因为OH?平面AEF，AF?平面AEF，所以OH∥平面AEF，
因为OH∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
(3)由(1)得AC⊥平面BDEF，
又因为AO＝，四边形BDEF的面积S1＝3×2＝6，
所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝·AO·6＝4，
同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4，所以多面体ABCDEF的体积等于8.
