章末质量检测卷(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
解析：选A 纵、竖坐标相同．故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(－3,4,5)．
2．已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．无法判断
解析：选B 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆O上．
3．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B.
4．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3,0)．因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率kAP＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
5．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A．4 B．2
C. D.
解析：选A P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，∴kl＝.∴a＝4，∴直线m：4x－3y＝0，直线l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
6．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图形可能是( )
解析：选B 由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.∵圆M过原点(0,0)，∴排除A、C选项．选项B、D中，圆心M(a，－b)在第一象限，∴a＞0，b＜0，∴直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．
7．若直线x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，则n的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．1或2
解析：选D 由题意，得圆心(0,0)到直线x＋y＋2n＝0的距离为＝2n－1，所以n＝2n－1.由n＝2n－1，结合选项，得n＝1或2.
8．圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
解析：选A 由题意，知圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以圆C1的圆心为C1(－1,3)，半径长r1＝6，圆C2的圆心为C2(2，－1)，半径长r2＝1.又|C1C2|＝＝5，所以|C1C2|＝r1－r2＝6－1，故两圆的位置关系是内切．
9．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析：选D ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
10．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0
解析：选C ∵M(2,1)在圆上，∴切线与MO垂直．
∵kMO＝，∴切线斜率为－2.又过点M(2,1)，
∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
11．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．以上都不对
解析：选C 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径长为，由题意得＝－1，解得a＝±3.
12.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
A．14米 B．15米
C. 米 D．2 米
解析：选D 如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，
则由已知可得A(6，－2)，
设圆的半径长为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.
将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，
当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，
可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，
∴水面宽度|A′B′|＝2 米．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为 ．
解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，
半径长r＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
14．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点之间的最短距离是 ．
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由x2＋y2－4x＋2y＋3＝0得(x－2)2＋(y＋1)2＝2，两圆圆心距为 ＝3＞2.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3－－＝.
答案：
15．已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为 ．
解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有＝4，＝3，＝1，解得x＝5，y＝4，z＝1，
故B点的坐标为(5,4,1)．
答案：(5,4,1)
16．圆O：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线l：3x＋4y＋8＝0的距离的最大值是 ．
解析：圆O的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心(1,1)到直线l的距离为d＝＝3＞1，∴动点Q到直线l的距离的最大值为3＋1＝4.
答案：4
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.
解：∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，
∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0，0,1)．
∴G点的坐标为G，
∴|BG|＝ ＝.
18．(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程．
解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B.
(1)求以OP为直径的圆的方程；
(2)求直线AB的方程．
解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，
半径为|OP|＝ ＝，
∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.
(2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B两点都在以OP为直径的圆上．
由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝|AB|＝为半径．
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)解法一：直线AB的斜率kAB＝＝－3，
则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.
则?
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.
21．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．
解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，
此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系．
由得
∴已知圆恒过定点(4，－2)．
(2)圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)；
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，
即|－2|＝，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
综上所述，a＝1±.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，所以r＝＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)解法一：因为直线l：y＝kx＋3与圆O相交于A，B两点，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝＜2，
解得k＞或k＜－.
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝|OM|＝1.
所以＝1，解得k2＝8.
即k＝±2，经验证满足条件．
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
解法二：设直线OM与AB交于点C(x0，y0)．
因为直线l斜率为k，显然k≠0，所以直线OM方程为y＝－x，
由解得
所以点M的坐标为.
因为点M在圆上，所以2＋2＝4，解得k＝±2，经验证均满足条件．所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
第四章 4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程
课时分层训练
1．已知点P(3,2)和圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，则它们的位置关系为( )
A．在圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
解析：选C ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，
∴点P在圆内．
2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是( )
A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2
答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：选A 解法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
解法二(数形结合法)：根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
解法三(验证法)：将点(1,2)代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，故选A.
4．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析：选D 圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题意得，(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．
6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是 ．
解析：由可得即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
7．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是 ．
解析：由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：[0,1)
8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是 ．
解析：如图所示，设圆心C(a,0)，则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，
解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
9．求经过A(－1,4)，B(3,2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．
解：解法一：设圆心坐标为(a，b)．
∵圆心在y轴上，∴a＝0.
设圆的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆过A，B两点，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
解法二：∵线段AB的中点坐标为(1,3)，kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由解得∴点(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．
解：圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①
而r＝，
代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4.
故所求圆为(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若点A(a，a－1)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2的外部，则实数a的取值范围是( )
A．(2,4) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)
解析：选D 由题意得(a－3)2＋(a－3)2>2，即a>4或a<2.
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是 ．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为 ．
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为
＋5＝5＋.
答案：5＋
7．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是 ．
解析：y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，
则kAB＝，kAC＝－，
∴t≤－或t≥.
答案：
8．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．
解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．
∵圆C过定点P(4,2)，
∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．
∴r2＝2x－12x0＋20.
∴圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.
(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，
∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．
此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.
课件36张PPT。第四章 圆与方程4．1 圆的方程
4．1．1 圆的标准方程登高揽胜 拓界展怀课前自主学习圆上 圆外 圆内 圆C上 圆C外 圆C内 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第四章 4．1 圆的方程
4．1．2 圆的一般方程
课时分层训练
1．圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(2，－3) D．(－2，－3)
解析：选C 将x2＋y2－4x＋6y＋3＝0配方，得(x－2)2＋(y＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C.
2．将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
解析：选D 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即∴表示点(－a，－b)．
4．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
解析：选A 由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：选C 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是 ．
解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，
∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为 ．
解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．
答案：(2，－3)
8．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝ .
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.
答案：3
9．当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
解：要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，
所以m＝－3或m＝1.
①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；
②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆．
综上，m＝－3时满足题意．
10．点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
解析：选A 方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
2．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
解析：选C ∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.
3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B 设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r＝＝2，
∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝.
∴共有3个点．
5．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是 ．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此得a－b＜1.
答案：(－∞，1)
6．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 ．
解析：∵r＝ ＝ ，∴当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
7．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于 ．
解析：∵A(1,1)关于y轴的对称点为A′(－1,1)，
∴所求的最短路程为|A′C|－2，
|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
答案：6－2
8．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为
.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝，从而
又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点和点.
课件45张PPT。第四章 圆与方程4．1 圆的方程
4．1．2 圆的一般方程登高揽胜 拓界展怀课前自主学习外 上 内 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第四章 4．2 直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系
课时分层训练
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心
C．相切 D．相离
解析：选D 圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A. B.
C．1 D．5
解析：选A 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2＝.
3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
解析：选D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4 B．0或3
C．－2或6 D．－1或
解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B．1
C. D.
解析：选D 圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.
6．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝ .
解析：根据“半径、弦长AB的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a的方程，解方程求a.
圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.
答案：4±
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为 ．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是 ．
解析：由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，
即－＋1＋1＝0，∴k＝4.
∴r＝＝1.
答案：1
9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．
解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
∴r2－d2＝r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(x＋7)2＝244.
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定，与m的取值有关
解析：选A 圆心到直线的距离d＝＝＜1＝r，故选A.
2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
3．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意得<1，解得04．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数k的取值范围是( )
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析：选A 设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2时，
|AC|＝＝＝1.∴当|MN|≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.
∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.
由二次函数的图象可得－≤k≤0.
5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为 ．
解析：圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝.
答案：
6．若直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则实数b的取值范围是 ．
解析：如图所示，y＝是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y＝x＋b是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A(－1,0)和B(0,1)即直线l2，直线l必在AB以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切即直线l1，则可求出两个临界位置直线l的b值，直线l2中b＝1；直线l1中b＝.所以b的取值范围是[1，)．
答案：[1，)
7．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为 ．
解析：圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，如图所示．则圆心为O′(3,4)，r＝.
切线长|OP|＝＝2.
∴|PQ|＝2·＝2×＝4.
答案：4
8．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值．
解：(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b.
∵直线过点A，∴1＋a＝b，即a＝b－1.①
又圆心到直线的距离d＝，
∴2＋2＝4，②
由①②，得或
课件43张PPT。第四章 圆与方程4．2 直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ × √ × 剖析题型 总结归纳课堂互动探究(3)求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第四章 4．2 直线、圆的位置关系
4．2．2 圆与圆的位置关系
4．2．3 直线与圆的方程的应用
课时分层训练
1．已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
解析：选B 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，
则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝＝.显然有|r－|＜＜＋r.所以两圆相交．
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．
3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
解析：选C 圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝3.6(米)，故选C.
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0
解析：选B 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.
6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则实数a＝ .
解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y＝，利用圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝1.
答案：1
7．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为 ．
解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，C1C2的方程为x＋y－3＝0，即线段AB的中垂线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
8．点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为 ．
解析：如图所示．
设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，圆O的半径为r1，圆C的半径为r2，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.
答案：1
9．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．
解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，
即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
解：以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为
＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(4－1)km.
1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P(3,1)，圆心C(1,0)，又切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB的外接圆圆心的坐标为，半径长为 ＝，∴此圆的方程为(x－2)2＋2＝ ①.又圆C：(x－1)2＋y2＝1 ②，①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．
2．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r＜＋1 B．r＞＋1
C．|r－|＜1 D．|r－|≤1
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，圆心距＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
解析：选D 由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为.设点(－2,0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得
∴所求圆的圆心为(－1，－1)．
又所求圆的半径为，∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
解析：选C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径长r1＝3；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径长r2＝2，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为 ．
解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，
在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5，
∴|AC|＝＝2，
∴|AB|＝4.
答案：4
6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ．
解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
7．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为 ．
解析：如图所示，以A为原点，正东和正北方向为x轴、y轴正方向，则B(40,0)．台风中心在直线y＝x上移动．则问题转化成以点B为圆心，30 km为半径的圆与直线y＝x相交的弦长就是B处在危险区内台风中心走过的距离．
则圆B的方程为(x－40)2＋y2＝302，直线y＝x被圆B截得弦长为CD＝2·＝20(km)．
故B城市处于危险区的时间为t＝＝1(h)．
答案：1 h
8．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2
＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
课件43张PPT。第四章 圆与方程4．2 直线、圆的位置关系
4．2．2 圆与圆的位置关系
4．2．3 直线与圆的方程的应用登高揽胜 拓界展怀课前自主学习相交 内切或外切外离或内含× × × √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第四章 4．3 空间直角坐标系
4．3．1 空间直角坐标系
4．3．2 空间两点间的距离公式
课时分层训练
1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于坐标平面yOz的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C 对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.
2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7 B．－7
C．－1 D．1
解析：选D 点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析：选D 点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.
4．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选B 点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，
故|BC|＝ ＝4.
5．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A．－3或4 B．6或2
C．3或－4 D．6或－2
解析：选D ∵|AB|＝
＝＝2，
∴x＝6或－2.
6．已知A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)，则△ABC是 三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB|＝ ＝.
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，
所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰
7．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为 ．
解析：由两点间距离公式可得
|AB|＝
＝ ≥.
答案：
8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝|CD|，E为C1G的中点，则EF的长为 ．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D为坐标原点，
由题意，得F，C1(0,1,1)，C(0,1,0)，G，则E.所以
|EF|＝ ＝.
答案：
9．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin 30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos 60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
10.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解：如图所示，分别以AB、AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，D(0,3,0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，
∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝ ＝.
1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上 B．在xOy平面内
C．在yOz平面内 D．在xOz平面内
解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．
2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．
3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P与点C的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为，
由空间两点间的距离公式，得|PC|＝＝.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.
5．已知点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为 ．
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
答案：
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是 ．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
7．对于任意实数x，y，z则 ＋的最小值为 ．
解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，
则＋
＝|PM|＋|PO|.
由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，则|PM|＋|PO|≥|OM|＝＝，
故所求的最小值为.
答案：
8．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
解：(1)设P(x,0,0)．
由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．
则|MN|＝
＝.
所以当x0＝1时，|MN|min＝.
此时点M的坐标为(1,0,0)．
课件40张PPT。第四章 圆与方程4．3 空间直角坐标系
4．3．1 空间直角坐标系
4．3．2 空间两点间的距离公式登高揽胜 拓界展怀课前自主学习点O x轴、y轴、z轴 每两个坐标轴 xOy yOz zOx x轴 y轴 z轴 有序实数组(x，y，z) 有序实数组(x，y，z) M(x，y，z) x y z × √ √ × 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块课件32张PPT。第四章 圆与方程章末复习与总结
