章末质量检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
解析：选B 棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确．
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选A 三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.
3．如图所示的组合体，其构成是( )
A．左边是三棱台，右边是圆柱
B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体
D．左边是三棱柱，右边是长方体
解析：选D 根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．
4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
解析：选A 圆柱的正视图不可能是三角形，则该几何体不可能是圆柱．
5．如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．其中正确命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的正视图和俯视图，因此②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．故选A.
6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱
解析：选B 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.
7．已知圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A．120° B．150°
C．180° D．240°
解析：选C 设圆锥的底面半径为R，母线长为L.由题意，πR2＋πRL＝3πR2，∴L＝2R，圆锥的底面圆周长l＝2πR.展开成扇形后，设扇形圆心角为n，则扇形的弧长l＝＝，∴2πR＝，∴n＝180°，即展开后扇形的圆心角为180°.
8．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
图乙
A．①③ B．①③④
C．①②③ D．①②③④
解析：选A 若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.
9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B．4π
C．2π D.
解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝ ＝1，所以V球＝×13＝.故选D.
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
11．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，
剩余部分的体积V2＝13－＝.
所以＝＝，故选D.
12．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B.
C. D．2π
解析：选C 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
解析：S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
答案：2
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V圆柱＋V球＝×π×12×2＋×π×13＝π.
答案：π
15．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2 的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________．
解析：设三棱台的上底面面积为S0，则下底面面积为4S0，高为h，则V三棱台ABC－A1B1C1＝(S0＋4S0＋2S0)h＝S0h，V三棱柱FEC－A1B1C1＝S0h.设剩余的几何体的体积为V，则V＝S0h－S0h＝S0h，体积之比为3∶4或4∶3.
答案：3∶4(或4∶3)
16．一块正方形薄铁片的边长为4，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积为________．
解析：设圆锥筒的底面半径为r，高为h.由题意，得2πr＝×2π×4，所以r＝1，所以h＝＝，所以V＝πr2h＝×π×12×＝π.
答案：π
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某五面体的三视图如图所示，其正视图、俯视图均是等腰直角三角形，侧视图是直角梯形，部分长度已标出，试画出该几何体，并求出此几何体各棱的长．
解：借助正方体(棱长为1)及题目所给的三视图，该几何体可看作是从正方体中截出来的(如图①所示)，然后将所得图形从正方体中分离出来，即可得到该几何体(如图②所示)，易知该几何体为四棱锥A－BMC1C.
图① 图②
结合给定的三视图的长度关系，可知在四棱锥A－BMC1C中，AB＝1，BC＝1，AC＝，BM＝，AM＝，CC1＝1，AC1＝，MC1＝.
18．(本小题满分12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
解：如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝.
所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC
＝×2＋×1
＝.
19.(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比．
解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，
由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，V圆锥＝πr2h，V球＝πr3.
又h＝2r，
∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝∶∶(πr2h)＝∶∶(2πr3)＝1∶2∶3.
20．(本小题满分12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．
解：连接EF，B1D1.
设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E，F分 别是A1A，CC1的中点，
∴h1＋h2＝B1D1＝a.
又S△C1EF＝C1F·EF＝××a＝a2，
∴VC1－B1EDF＝VB1－C1EF＋VD－C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝×a2×a＝a3.
21．(本小题满分12分)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6 m铁丝．再用面积为S m2的塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．圆柱底面半径为r m.
(1)当r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01)；
(2)若要制作一个如图所示的底面半径为0.3 m的灯笼，请作出该灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．
解：(1)设圆柱的高为h m，
由题意，可知4(4r＋2h)＝9.6，即2r＋h＝1.2.
S＝2πrh＋πr2＝πr(2.4－3r)＝3π[－(r－0.4)2＋0.16](0所以当r＝0.4时，Smax＝0.48π≈1.51(m2)．
(2)由r＝0.3,2r＋h＝1.2，得圆柱的高h＝0.6，
则该灯笼的三视图为：
22．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示．
(1)求此几何体的表面积S；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点，求在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长．
解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．
又S圆锥侧＝πa×a＝πa2，
S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，
所以S＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.
(2)沿点P与点Q所在母线剪开圆柱侧面，如图所示．
则PQ＝＝＝a，
所以在几何体的表面上，从点P到点Q的最短路径的长为a.
第一章 1.1 空间几何体的结构
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课时分层训练
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
2．下面图形中，为棱锥的是( )
A．①③ B．①③④
C．①②④ D．①②
解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.
3．下列图形中，是棱台的是( )
解析：选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.
4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
答案：5 6 9
8．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.
答案：12
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确；过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．
3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.
4．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都相交于一点
解析：选C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．
5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析：将平面图形翻折，折成空间图形，
可得∠ABC＝60°.
答案：60°
6．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.
解析：由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
7．(2019·广西贵港覃塘高一月考)正方体各面所在的平面将空间分成________个部分．
解析：正方体竖直的四个侧面将空间分成9个部分，易知正方体各面所在平面将空间分成27个部分．
答案：27
8．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？
解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．
(2)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝a2.
课件49张PPT。第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征登高揽胜 拓界展怀课前自主学习形状 大小 空间图形 平面多边形 平面图形 定直线 平行 四边形 平行 平行 其余各面 公共边 公共顶点 多边形 三角形 多边形面 三角形面 公共边 公共顶点 平行于棱锥底面 截面 底面 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
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第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
课时分层训练
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.
3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
解析：选C 由球的定义知选C.
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )
A．4π B．8π
C．2π D．π
解析：选C 边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.
5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
答案：C
6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是__________________________．
解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．
答案：两个同底的圆锥组合体
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.
解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9(cm)．
答案：9
8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．
答案：圆柱
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
1．下列结论正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D 需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.
2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：选C 如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．①⑤
解析：选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.
5．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________.
解析：如图所示，将平面图折成正方体．很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.
答案：90°
6．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
解析：由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12.
答案：12
7．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台； ⑦球．
解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
答案：①②③⑤
8．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．
解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO＝30°.
在Rt△BO′A′中，＝sin 30°，
∴BA′＝2r.
在Rt△BOA中，＝sin 30°，
∴BA＝4r.
又BA－BA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.
∴S＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.
课件47张PPT。第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征登高揽胜 拓界展怀课前自主学习矩形的一边 旋转体 表示它的轴的字母 一条直角边 圆锥 表示它的轴的字母 圆锥SO √ × 截面 圆台 表示它的轴 圆台O′O × √ 直径 表示球心 球O 简单几何体 拼接 截去 挖去 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第一章 1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2．1 中心投影与平行投影
1．2．2 空间几何体的三视图
课时分层训练
1．小红拿着一物体的三视图(如图所示)给小明看，并让小明猜想这个物体的形状是( )
A．长方形 B．圆柱
C．立方体 D．圆锥
答案：B
2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
解析：选D 由三视图知D正确．
3．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
解析：选B 由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．
4．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是( )
解析：选D 满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，故选D.
5．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
解析：选A 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．
6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．
答案：①②③⑤
7．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.
答案：2 4
8．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________(填序号)．
①四边形BFD′E在面ABCD内的正投影是正方形；
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是菱形；
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
解析：①四边形BFD′E的四个顶点在面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，所以正投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的正投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确．对于③，由②可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而③正确．
答案：①③
9．画出如图所示的三棱柱的三视图．
解：三棱柱的三视图如图所示：
10．如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正．
解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．正四面体的三视图都是正三角形
D．圆台的俯视图是一个圆
解析：选A 正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B错误；C、D显然错误，故选A.
2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
解析：选C 由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C.
3．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )
A．8 B．4
C．4 D．2
解析：选C 设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8，所以a＝4.该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为，所以侧视图的面积为4.故选C.
4．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )
A．2 B．2
C. D．2
解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A－BCD，由三视图知正方体的棱长为2.
所以S△ABD＝×2×2＝2，
S△ADC＝×2×2×＝2，
S△ABC＝×2×2＝2，
S△BCD＝×2×2＝2.
所以所求的最大面积为2.故选D.
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．
解析：三棱锥P－ABC的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.
答案：1
6．已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.
解析：构造一个棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1，在此正方体中作出一个符合题意的正四面体A－B1CD1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2 cm，高为2 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 cm2.
答案：2
7．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体(或图形)的4个顶点，这些几何体(或图形)是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体．故①可能，如图，由图可知，②不可能，③④⑤都有可能．
答案：①③④⑤
8．如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值．
解：由题意，可知
解得
课件42张PPT。第一章 空间几何体 1．2 空间几何体的
三视图和直观图
1．2 ． 1 中心投影与平行投影
1．2 ． 2 空间几何体的三视图登高揽胜 拓界展怀课前自主学习不透明 影子 光线 留下物体影子 仍是直线或线段 平行或重合的直线 平行且等长 全等 这两条线段的比 √ × 前 后 左 右 上 下 三视图 高度 长度 宽度 剖析题型 总结归纳课堂互动探究③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
2．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影.知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第一章 1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2．3 空间几何体的直观图
课时分层训练
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
解析：选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C 正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
4．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解析：选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC中点，所以AB＝AC>AD.
5．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
解析：选C 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．
6．水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，所以B′E＝B′C′sin 45°＝2×＝.
答案：
7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
解析：在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为S＝6×6＝36.
答案：36
8．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm2.
解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
9．已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．
解：(1)画轴．如图①，画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画圆台的两底面．利用椭圆模板，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的长度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，类似底面⊙O的作法作出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点．在O′z上截取O′P，使O′P等于三视图中O′P的长度．
(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图②.
10．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
解：如图，建立直角坐标系xOy，
在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；
在过点B的x轴的平行线上取
BC＝B′C′＝1 cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3 cm，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×2＝2 cm2.
1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形A′B′C′D′的面积为( )
A．4 cm2 B．4 cm2
C．8 cm2 D．8 cm2
解析：选C 依题意，可知∠BAD＝45°，则原平面图形A′B′C′D′为直角梯形，上、下底边分别为B′C′，A′D′，且长度分别与BC，AD相等，高为A′B′，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.
3．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D 平面图形是上底长为1，下底长为1＋，高为2的直角梯形．计算得面积为S＝2＋.
4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A. B.
C．5 D.
解析：选A 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A.
5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析：将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.
答案：
6．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．
答案：5
7.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案：4
8.如图所示，△ABC中，AC＝12 cm，边AC上的高BD＝ 12 cm，求其水平放置的直观图的面积．
解：解法一：画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，则A′C′＝AC＝12 cm，B′D′＝BD＝6 cm，
故△A′B′C′的高为B′D′＝3 cm，所以 S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2)，
即水平放置的直观图的面积为18 cm2.
解法二：△ABC的面积为AC·BD＝×12×12＝72(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC的水平放置的直观图的面积是×72＝18(cm2)．
课件37张PPT。第一章 空间几何体 1．2 空间几何体的
三视图和直观图
1．2．3 空间几何体的直观图登高揽胜 拓界展怀课前自主学习45° 135° 水平面 x′轴 y′轴的线段 z z′ x′O′y′ y′O′z′ x′O′z′ 平行性 长度 × √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第一章 1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
课时分层训练
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
解析：选A 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
3．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝π.
4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
解析：选A 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
5．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，
∴VC－AA′B′B＝1－＝.
6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．
解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.
答案：9
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
解析：易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
答案：π
8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 ，则a＝________.
解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3，所以a＝.
答案：
9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解：(1)如图所示．
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，
作CF垂直AB于F点．
由已知得DE＝2，CE＝2，
∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
10．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋2＝h′2.
∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
解析：选B 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B－AB1C的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选D VB－AB1C＝VB1－ABC＝S△ABC×h＝××3＝.
3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D.πS
解析：选A 底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×22×2－××22×1＝.
5．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．
解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.
答案：
6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
解析：由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组合而成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×π×12×1＋π×12×2＝(m3)．
答案：π
7．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.
答案：8
8．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝(22＋4)cm2，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
课件49张PPT。第一章 空间几何体 1．3 空间几何体的
表面积与体积
1．3 ． 1 柱体、锥体、台体的
表面积与体积登高揽胜 拓界展怀课前自主学习各个面 展开图 Sh 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第一章 1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．2 球的体积和表面积
课时分层训练
1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( )
A. B.
C．8π D.
解析：选C 设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
解析：选A 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.
3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．
V＝π×32×4＋×π×33＝30π.
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：选A 设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝ ＜ .
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A. B.
C. D．π
解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．
解析：过正方体的对角面作截面如图．
故球的半径r＝，
∴其表面积S＝4π×()2＝8π.
答案：8π
7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．
解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
所以有2r1＝a，r1＝，所以球的表面积S1＝4πr＝πa2.
答案：πa2
8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
解析：设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．
答案：100π
9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．
解：设三个球的半径分别为R1，R2，R3，
∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，
∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，
即R∶R∶R＝1∶4∶9，
∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，
∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.
10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )
A．24π B．36π
C．48π D．60π
解析：选C 由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝2，其外接球的表面积S＝4π×2＝48π，故选C.
2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析：选C 根据球的截面的性质，得球的半径R＝＝5(cm)，所以V球＝πR3＝ (cm3)．
3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )
A．32＋π B．32＋2π
C．28＋2π D．28＋π
解析：选A 由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，
∴(5π＋4)r2＝16＋20π，
∴r2＝4，r＝2，故选B.
5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．
解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝ ＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案：12π
6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．
解析：设球的半径为r，则πr3＝π，得r＝2，三棱柱的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4，所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
答案：48
7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.
解析：设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．
答案：4
8．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．
解：如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC，AC相切于点D，E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.
∵Rt△AOE∽Rt△ACD，
∴＝.
∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，
设OE＝r，则AO＝(－r)，
∴＝，∴r＝ cm，
V球＝π3＝π(cm3)，
即球的体积等于π cm3.
课件39张PPT。第一章 空间几何体 1．3 空间几何体的
表面积与体积
1．3．2 球的体积和表面积登高揽胜 拓界展怀课前自主学习剖析题型 总结归纳课堂互动探究
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知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块课件32张PPT。第一章 空间几何体 章末复习与总结
