章末质量检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：选D A中若一组对边平行就决定了共面．在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形，正确；B中同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C中这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就可知D不正确．
2．下列说法正确的是( )
A．都与直线a相交的两条直线确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．过一条直线的平面有无数多个
D．两个相交平面的交线是一条线段
解析：选C 当这两条直线异面时不能确定平面，A错误；两条直线异面，则不能确定平面，B错误；两个相交平面的交线是一条直线，D错误．
3．如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
解析：选A ∵EF与GH相交，设EF∩GH＝M，
∴M∈EF，M∈GH.
又∵EF?平面ABD，GH?平面BCD，∴M∈平面ABD，M∈平面BCD，又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD，故选A.
4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
解析：选B CE?平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.
5.如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C 过点P分别作BD，AB的平行线，这两条线都符合题意．
6．给定下列四个命题：
①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析：选D ①错，两个平面相交时，也有无数个公共点．③错，比如a⊥α，b?α，c?α，显然有a⊥b，a⊥c，但b与c也可能相交．故②④正确．
7．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是直线AD1与EF所成的角．∵AB⊥AD1，
∴cos ∠BD1A＝＝.
8．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 取AC的中点E，取CD的中点F，则EF＝，BE＝，BF＝，∴△BEF为直角三角形，cos θ＝＝.
9．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l?α，则l∥β；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中正确的说法个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A－MNCB的体积为( )
A. B.
C. D．3
解析：选A 如图，作出二面角A－MN－B的平面角 ∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A－MNCB的高．由题意，得AO＝.
V＝××3＝.
11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：选D 易知：△BCD中，∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝90°.
又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，
而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
12．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )
A．13 B.
C．12 D．15
解析：选A 如图，连接AD.
∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α.
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝.
在Rt△CAD中，CD＝＝＝13.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可)．
答案：BM⊥PC(其他合理即可)
14．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AB的位置关系是________．
解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，
知MN⊥平面ABCD.
∴MN⊥AB.
答案：垂直
15．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．
解析：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.
答案：60°
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
说法正确的命题序号是________．
解析：如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC.
(1)证明：CD⊥平面PAC；
(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.
证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，
∴CD⊥平面PAC.
(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，
∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝.
∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，
∴AD＝2.又E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴四边形ABCE是正方形，
∴CE∥AB.又AB?平面PAB，CE?平面PAB，
∴CE∥平面PAB.
18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．
解：(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．
又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以AA1⊥CD.
由已知AC＝CB，D为AB的中点，
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2得
∠ACB＝90°，CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3，
故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.
所以V三棱锥C－A1DE＝××××＝1.
19．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．
(1)求证：EF∥平面AA1B1B；
(2)若AA1＝3，AB＝2，求EF与平面ABC所成的角．
解：(1)证明：如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.
因为E是A1C1的中点，所以DE綊B1C1.
又因为BC綊B1C1，BF＝BC，
所以DE綊BF.
所以四边形BDEF为平行四边形．
所以BD∥EF.
又因为BD?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B，
所以EF∥平面AA1B1B.
(2)如图，取AC的中点H，连接HF，EH.
因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，
所以EH⊥平面ABC.
所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．
在Rt△EHF中，FH＝，EH＝AA1＝3，
tan ∠EFH＝＝，
所以∠EFH＝60°.
故EF与平面ABC所成的角为60°.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中点，过A，D，N的平面交PC于点M.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明：(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，
AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC.
又∵N为PB的中点，∴M为PC的中点，
∴MN＝BC.
∵E为AD的中点，DE＝AD＝BC＝MN，
∴DE綊MN，∴四边形DENM为平行四边形，
∴EN∥DM.又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，E为AD中点，
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥PB.
又∵PA＝AB，且N为PB的中点，∴AN⊥PB.
∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.
21．(本小题满分12分) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.
(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；
(2)求多面体CDEFG的体积．
解：(1)证明：由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF.又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥平面CFG，所以平面DEG⊥平面CFG.
(2)过点G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为S长方形DEFC·GO＝×4×5×＝16.
22．(本小题满分12分)如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的大小；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小．
解：(1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.易得OC⊥OB，
∵AB⊥平面BC′，
∴OC⊥AB.又AB∩BO＝B，
∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin ∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角为30°.
(2)如图所示，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝ ＝，
∴tan ∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O.
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角为90°.
第二章 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．1 平 面
课时分层训练
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.
2．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则( )
A．P一定在直线BD上
B．P一定在直线AC上
C．P在直线AC或BD上
D．P既不在直线BD上，也不在AC上
解析：选B 由题意知GH?平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．
4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )
A．六边形 B．五边形
C．菱形 D．直角三角形
解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.
5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )
解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．
答案：A∈l，l?α
7．如图，看图填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.
答案：A1B1 AC
8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)由点A，O，C可以确定一个平面；
(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．
(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.
10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．
解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图所示．
1．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l?α B．l?/ α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析：选A ∵M∈a，a?α，∴M∈α，
同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.
2．下列命题正确的是( )
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
解析：选B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B.
3．下列命题中，正确的是( )
A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面
B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面
C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面
D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面
解析：选B 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
解析：选C 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD于点P，延长C1N交CB于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体的过点M，N，C1的截面图形是五边形．故选C.
5．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
解析：因为m?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.
又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.
答案：P∈l
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
解析：作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
答案：5
7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．
解析：∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线．
答案：共线
8．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC?β，BD?β，平面α，β相交．
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
课件45张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．1 空间点、直线、
平面之间的位置关系
2．1 ． 1 平 面登高揽胜 拓界展怀课前自主学习无限延展 平行四边形 45° 2倍 虚线 平面AC 所有点 两点 有且只有 过该点的公共直线 × √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系
课时分层训练
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
解析：选D 因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
解析：选A 我们现在研究的平台是锥空间．如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
4．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，
∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
解析：如图所示，连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．
答案：③④
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
答案：90°
9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
解：取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.
2．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
解析：选B 如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.
3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：选C 设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°
C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°
解析：选D 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
解析：连接BC1，AD1，AB1，
则EF为△BCC1的中位线，
∴EF∥BC1.
又∵AB綊CD綊C1D1，
∴四边形ABC1D1为平行四边形．
∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.
∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.
∴EF与B1D1所成的角为60°.
答案：60°
7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，
PM＝BD＝3，∴MN＝5.
答案：5
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1
＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABCD中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
课件48张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．1 空间点、直线、
平面之间的位置关系
2．1．2 空间中直线与直线之间
的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习不同在 有且只有一个 没有没有同一条直线 a∥b 相等 互补 锐角 直角 垂直 a⊥b √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．3 空间中直线与平面之间的位置关系
2．1．4 平面与平面之间的位置关系
课时分层训练
1．正方体的六个面中互相平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
解析：选B 作出正方体观察可知，3对互相平行的平面．
2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：选A 延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知，三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．
3．若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行或异面 B．平行或相交
C．相交或异面 D．平行、相交或异面
解析：选D 若a∥α，b∥α，则直线a，b的位置关系可能是平行、相交或异面．
4．若直线a，b是异面直线，且a∥α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b?α B．b∥α
C．b与α相交 D．以上都有可能
解析：选D 首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行，可能相交，也可能在平面内，故选D.
5．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：选B ∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线．
6．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若a∥b，b?α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a?α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交．
解析：①中a∥b，b?α，所以不管a在平面内或平面外，都有结论成立，故①正确；②中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故②错误；③中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④中直线a与平面β有可能平行，故④错误．
答案：①③
7．若直线m不平行于平面α，且m?α，则m与α的位置关系是________．
答案：相交
8．空间中三个平面将空间分成________部分．
解析：①当三个平面两两平行时，将整个空间分成4部分；
②当三个平面中有两个互相平行，且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时，分成6部分；
③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时，分成7部分；
④当三个平面两两相交于共点的三条直线时，分成8部分．
答案：4或6或7或8
9．如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么，平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．
解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：
∵AB与l不平行，AB?α，l?α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．
而C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P，
∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
10．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c?β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b没有公共点．因为a，b都在平面γ内，所以a∥b，又c∥b，所以c∥a.
1．若直线a，b是异面直线，a?β，则b与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．b?β D．平行或相交
解析：选D ∵a，b异面，且a?β，∴b?β，∴b与β平行或相交．
2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
解析：选D 如图所示：
故相交、平行、异面都有可能．
3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c?a∥b; ②a∥c，c∥α?a∥α；
③a∥β，a∥α?α∥β； ④a?/ α，b?α，a∥b?a∥α.
其中正确命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A 由公理4，知①正确；对于②，可能a∥α，也可能a?α；对于③，α与β可能平行，也可能相交；对于④，∵a?α，∴a∥α或a与α相交．∵b?α，a∥b，故a∥α.
4．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：
①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，CD∥AB，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；
A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；
AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；
A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．
5．空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．
解析：以打开的书面或长方体为模型，观察可得结论．
答案：1或3
6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是________．
解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立，平行或直线在平面内都有可能．
答案：平行或直线在平面内
7．给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．
其中正确的有________个．
解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确．
答案：1
8．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P是A′D的中点，Q是B′D′的中点，判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系，并利用定义证明．
解：直线PQ与平面AA′B′B平行．
连接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位线，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且与直线AB′平行，∴PQ与平面AA′B′B没有公共点，∴PQ与平面AA′B′B平行．
课件35张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．1 空间点、直线、
平面之间的位置关系
2．1．3 空间中直线与
平面之间的位置关系
2．1．4 平面与平面之间的位置关系登高揽胜 拓界展怀课前自主学习有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 × × × × 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．1 直线与平面平行的判定
2．2．2 平面与平面平行的判定
课时分层训练
1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )
A．直线m在平面α外
B．直线m与平面α内的两条直线平行
C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行
D．直线m与平面α内的一条直线平行
解析：选C 选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．
2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D 选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
3．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．直线AC在平面DEF内
D．不能确定
解析：选A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.
4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 根据图1和图2可知α与β平行或相交．
5．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )
解析：选C 在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，
所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.
6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．
解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．
答案：l?α
7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．
解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．
答案：0或1
8．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．
解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
答案：平行
9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.
求证：平面PAB∥平面EFG.
证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF?平面PAB，AB?平面PAB.∴EF∥平面PAB.
同理可证EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.
10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
1．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析：选B 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析：选A 画出相应的截面如图所示，即可得答案．
3．已知P是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有( )
A．3个 B．6个
C．9个 D D．12个
解析：选A 因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.
4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．以上都有可能
解析：选D 若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．
5．已知三棱柱ABC－A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，
∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，
DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
6．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由＝＝，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC、平面ABD
7．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．
解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．
答案：①②③
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：如图所示，连接SB，SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
课件45张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．2 直线、平面平行的
判定及其性质
2．2．1 直线与平面平行的判定
2．2．2 平面与平面平行的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习平面外 平面内 平行 两条相交直线 × × √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．3 直线与平面平行的性质
2．2．4 平面与平面平行的性质
课时分层训练
1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
解析：选A 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
2．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA B．GH∥SD
C．GH∥SC D．以上均有可能
解析：选B 因为GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.
3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①?α∥β；②?α∥β；
③?a∥α；④?a∥β.
其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①④
C．② D．①③④
解析：选C ①α与β有可能相交；②正确；③有可能a?α；④有可能a?β.故选C.
5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
解析：∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
答案：
6. 如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.
解析：EF可看成为直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.
又＝，∴EF＝＝＝.
答案：
7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：
①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；
②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③若a∥α，a∥β，则α∥β；
④若a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．
答案：②④
9．如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
证明：在AB上取一点P，使＝，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又＝，∴＝，
∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面SBC，而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
10．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD.
∵AD?平面APD，BC?平面APD，
∴BC∥平面APD.
又平面BCFE∩平面APD＝EF，
∴BC∥EF，∴AD∥EF.
又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.
∴四边形BCFE是梯形．
1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a?α，b?α，c?α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
解析：选C 由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．
2．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b无公共点
解析：选D 由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．
3．已知平面α∥平面β，a?α，b?β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a?α，b?β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．
4．如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
解析：选D ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.
5．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
解析：∵AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
答案：5
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为EF∥平面AB1C，且EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又因为E为AD的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以EF＝AC＝×2＝.
答案：
7.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________.
解析：∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.
同理，EH＝FG＝n，
∴m＝n，∴AE∶EB＝m∶n.
答案：m∶n
8. 如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.
解：(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并分别延长交AC，AD，CD于P，F，H.
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2.
连接PF，FH，PH，有MN∥PF.
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD.
同理MG∥平面ACD.
又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.
(2)由(1)可知，＝＝，
∴MG＝PH.
又PH＝AD，∴MG＝AD.
同理NG＝AC，MN＝CD，
∴△MNG∽△ADC，且相似比为1∶3，
∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.
课件45张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．2 直线、平面平行的
判定及其性质
2．2．3 直线与平面平行的性质
2．2．4 平面与平面平行的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习交线 平行 剖析题型 总结归纳课堂互动探究2．面面平行的性质定理的几个推论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．
(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定
课时分层训练
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．在平面α内 D．无法确定
解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l?α或l∥α或l与α斜交．
2．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．
3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直相交
C．垂直但不相交 D．相交但不垂直
解析：选C 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )
A. B．2
C．3 D．4
解析：选D 取BC中点为D，连接AD.
∵AB＝AC＝5，BC＝6.
∴AD⊥BC，AD＝4，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
AD∩BC＝D，∴BC⊥平面PAD，
∴BC⊥PD，∴PD的长即为P到BC的距离，PA＝8，AD＝4，
∴PD＝＝4.
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，
cos∠O1OD1＝＝＝.
6．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有______________________；
(2)与AP垂直的直线有______________________．
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC.
∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.
(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP.
答案：(1)AB，AC，BC (2)BC
8.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．
解析：连接A1C1，交B1D1于E，则A1C1⊥B1D1，即A1E⊥B1D1.又DD1⊥A1C1，即DD1⊥A1E，
∴A1E⊥平面BB1D1D.连接BE，则∠A1BE是A1B与对角面BB1D1D所成的角．在Rt△A1BE中，∵A1E＝A1B，
∴∠A1BE＝30°，即A1B与对角面BB1D1D所成的角为30°.
答案：30°
9．如图所示，在直角△BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
解：因为BM＝5，MA＝3，AB＝4，
所以AB2＋AM2＝BM2，
所以MA⊥AB.
又因为MA⊥AC，AB，AC?平面ABC，且AB∩AC＝A，所以MA⊥平面ABC，
所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．
又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，
所以sin∠MCA＝＝＝.
10．如图所示，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且 ∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点．
证明：AD⊥平面DEF.
证明：取AD的中点G，连接PG，BG.
∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.
在△ABG中，∵∠GAB＝60°，AG＝，AB＝1，
∴∠AGB＝90°，即AD⊥GB.
又PG∩GB＝G，∴AD⊥平面PGB，从而AD⊥PB.
∵E，F分别是BC，PC的中点，
∴EF∥PB，从而AD⊥EF.
又DE∥GB，AD⊥GB，∴AD⊥DE，
∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
答案：B
2．下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．①② D．③④
解析：选B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.
3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
解析：选B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．
4．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：选D 选项A正确，∵SD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥SD，又由ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD?AC⊥SB；
选项B正确，∵AB∥CD，CD?平面SCD，AB?SCD，
∴AB∥平面SCD；
选项C正确，设AC∩BD＝O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等；
选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，面DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
5．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，
知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．
在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝.
答案：
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，
∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
答案：90°
7．如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)
解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.
折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.
答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
8．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1；
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
又∵AB1?平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，
∴A1D＝×B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
∴sin∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
课件39张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．3 直线、平面垂直的
判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习任意一条 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 × √ × 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 斜足 垂足 AO 直角 0°的角 √ √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．2 平面与平面垂直的判定
课时分层训练
1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是( )
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b?β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.
4．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
解析：选C 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，A1O⊥BD.
又∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan ∠A1OA＝＝.
6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．
解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．
答案：平行
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________(填“垂直”或“不垂直”)．
解析：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
∴BD⊥平面AA1C1C.
又BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面AA1C1C.
答案：垂直
8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为________．
解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.
证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
10．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
解：∵E为SC中点，且SB＝BC，
∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，
∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.
又SC∩SA＝S，
∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，
∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．
设SA＝AB＝1.
在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝，
AC＝，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C为60°.
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
解析：选A ∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
2．(2019·河南名校联盟联考)设点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1的中点，平面α过点P，且与直线BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，则m与A1C所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知，点P是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1的中点，平面α过点P，且与直线BD1垂直，平面α∩平面ABCD＝m，根据面面平行的性质，可得m∥AC，所以直线m与A1C所成角即为直线AC与直线A1C所成的角，
即∠ACA1为直线m与A1C所成角，
在Rt△ACA1中，cos∠ACA1＝＝＝，
即m与A1C所成角的余弦值为，故选B.
3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
在翻折的过程中，可能成立的结论是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.
4．如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF?平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.
5．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为________．
解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，
∴SO＝sin 60°·SC＝×2＝3.
答案：3
6．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________．
解析：如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，
则AE⊥BC，DE⊥BC，
所以∠DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝，
又AD＝2，
所以∠DEA＝90°.
答案：90°
7．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成角的正弦值是________．
解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
答案：
8．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A－BCD，如图．
(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．
解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝.
∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.
∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝120°.
在△AOC中，AO＝CO＝，
∴AC＝.
如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.
∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.
∵AH?平面AOC，∴BD⊥AH.
又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.
∴AH⊥BC.
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.
∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.
∵HK?平面AHK，∴BC⊥HK.
∴∠AKH为二面角A－BC－D的平面角．
在△AHO中，AH＝，OH＝，
∴CH＝CO＋OH＝＋＝.
在Rt△CKH中，HK＝CH＝.
在Rt△AHK中，tan ∠AKH＝＝＝.
∴二面角A－BC－D的正切值为.
课件46张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．3 直线、平面垂直的
判定及其性质
2．3．2 平面与平面垂直的判定登高揽胜 拓界展怀课前自主学习半平面 两个半平面 棱 面 棱 角 [0，π] 平面角 直角 直二面角 横边 垂线 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块第二章 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．3 直线与平面垂直的性质
2．3．4 平面与平面垂直的性质
课时分层训练
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B 对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．
2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l?α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l?α，l⊥m，则l⊥β
解析：选D 选项A缺少了条件：l?α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．
3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
解析：选C 如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.
∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
解析：选B 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?/ α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
6．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，
∴CO⊥平面ABD.
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，
∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
答案：6
7.如图，直二面角α－l－β中，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：如图，连接BC，
∵二角面α－l－β为直二面角，
AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BC?β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，
∴CD＝＝.
答案：
8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；
③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；
④若α∩β＝m，n∥m且n?α，n?β，则n∥α且n∥β.
其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．
解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．
答案：②④
9.如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，
PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．
解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，
∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝.
∴直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
解析：选B 圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
4．在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选B 连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
5．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为________．
解析：①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l作一平面与β交于l′，则l∥l′，所以l′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l?β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l与α的各种位置关系都可能存在．
答案：1
6.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________．
解析：取BC的中点为F，连接EF，DF，易知∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tan ∠EDF＝＝.
答案：
7．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设平面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
8．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO?平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
课件42张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系2．3 直线、平面垂直的
判定及其性质
2．3．3 直线与平面垂直的性质
2．3．4 平面与平面垂直的性质登高揽胜 拓界展怀课前自主学习平行 a∥b 一个平面内 交线 垂直 线面 √ √ × √ 剖析题型 总结归纳课堂互动探究知识归纳 自我测评堂内归纳提升word部分： 请做： 课时分层训练
水平达标 提升能力点此进入该word板块课件35张PPT。第二章 点、直线、平面
之间的位置关系章末复习与总结
