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3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课时作业（限时训练）
一、单选题
1．复数的虚部为( )
A． B． C．2 D．-2
2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值是（ ）
A．-1和1 B．1 C．-1 D．0
3．下列命题正确的是（）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
4．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如果复数是纯虚数，则实数的值为
A．0 B．2 C．0或3 D．2或3
6．复数 在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )
A．(-1，6) B．(－∞，1) C．(4,6) D．(1，＋∞)
7．已知复数，，其中，，，若，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
8．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则实数________.
9．若复数是纯虚数，则实数的值为________．
10．已知复数，当实数________，为实数，当实数________时，为虚数.
三、解答题
11．若复数( 为虚数单位) 其中，根据下列条件求m的取值.
（1）为实数
（2）为纯虚数.
12．已知复数，(其中为虚数单位)
（1）当复数是纯虚数时，求实数的值；
（2）若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
13．已知为实数，设复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）当复数对应的点在直线的下方，求的取值范围．
14．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
15．设为关于的方程（）的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求、的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
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3.1.1 数系的扩充和复数的概念
课时作业（限时训练）
单选题
1．复数的虚部为( )
A． B． C．2 D．-2
答案：D
分析：根据复数的概念可知复数的虚部.
详解：形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部,
所以复数的虚部为-2.
故选：D.
点睛：考查复数的概念，知识点较为基础.
2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值是（ ）
A．-1和1 B．1 C．-1 D．0
答案：B
分析：根据纯虚数概念,即可求得的值.
详解：因为复数是纯虚数
所以实部为0,即
解得
又因为纯虚数 ,即
所以
所以选B
点睛：本题考查了复数的基本概念，纯虚数的定义，属于基础题．
3．下列命题正确的是（）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
答案：B
分析：分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
详解：选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
点睛：本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.
4．若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
试题分析：若复数为纯虚数，则必有解得：，所以答案为C．
考点：1．纯虚数的定义；2．解方程．
5．如果复数是纯虚数，则实数的值为
A．0 B．2 C．0或3 D．2或3
答案：A
分析：由复数中纯虚数的概念，求得m的值，注意虚部不能为0．
详解：根据纯虚数的概念可知
，解得
当时，，此时不再是纯虚数
所以
所以选A
点睛：本题考查了复数的基本概念，属于基础题．
6．复数 在复平面内所对应的点位于第四象限,则m的取值范围是( )
A．(-1，6) B．(－∞，1) C．(4,6) D．(1，＋∞)
答案：C
分析：根据复平面内点所对应的象限，列出不等式组，解不等式组得m的取值范围．
详解：因为复平面内复数z对应的坐标为
点在第四象限，所以
解方程组，得
所以选C
点睛：本题考查了复平面内对应点的坐标，一元二次方程的解法，属于基础题．
7．已知复数，，其中，，，若，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案：C
由复数相等的充要条件可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sin θ∈
8．已知为虚数单位，，若为纯虚数，则实数________.
答案：
分析：根据题意得到，解得答案.
详解：为纯虚数，则，故.
故答案为：.
点睛：本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.
9．若复数是纯虚数，则实数的值为________．
答案：.
分析：实部为0，虚部不为0，由此解方程和不等式，求得参数.
详解：因为复数是纯虚数，
所以且，
因此
故答案为：0.
点睛：本题考查由复数的类型求参数的值，属基础题.
10．已知复数，当实数________，为实数，当实数________时，为虚数.
答案：或 且
分析：根据复数的相关概念得到方程（不等式组）解得即可.
详解：解：复数的实部为，虚部为
当为实数时，虚部为零，对数的真数大于零，即，解得或；
当为虚数时，虚部不为零，对数的真数大于零，即即，解得且；
故答案为：或；且.
点睛：本题考查复数的基本概念，掌握基本概念的条件是解题的关键，属于基础题．
11．若复数( 为虚数单位) 其中，根据下列条件求m的取值.
（1）为实数
（2）为纯虚数.
答案：（1）-1（2）2
分析：（1）根据复数表示的为实数，则虚部为零，即可得到方程；
（2）跟纯虚数的实部为零，虚部不为零计算可得.
详解：解：（1）∵复数为实数，
∴
（2）∵复数为纯虚数，
∴，解得．
点睛：本题考查复数的相关概念，属于基础题.
12．已知复数，(其中为虚数单位)
（1）当复数是纯虚数时，求实数的值；
（2）若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围.
答案：（1）,（2）
详解：（1）由题意有时，
解得，
即时，复数为纯虚数.
（2）由题意有：，
解得：，
所以当时，复数对应的点在第三象限
考点：纯虚数概念
13．已知为实数，设复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）当复数对应的点在直线的下方，求的取值范围．
答案：（1）；（2）
分析：(1)根据复数为纯虚数，得到，求解即可得出结果；
(2)先写出复数所对应的点的坐标，再根据点在直线下方，列出不等式即可得出结果.
详解：（1）由题意得：，解之得，所以．
（2）复数对应的点的坐标为，
直线的下方的点的坐标应满足，
即：，
解之得，所以的取值范围为．
点睛：本题主要考查复数的分类、以及根据复数对应点的位置求参数的问题，熟记复数的分类以及复数的几何意义即可，属于基础题型.
14．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
答案：（1）（2）或
分析：（1）将复数化成代数式，再令实部为零，虚部不为零得到方程组，解得；
（2）根据实部和虚部互为相反数得到方程即可解得.
详解：解：
，
则实部为，虚部为；
（1）为纯虚数，，解得则.
（2），解得或.
点睛：本题考察了复数的基本概念以及几何意义，根据实数、纯虚数的定义列出对应方程进行求解，还利用了象限角平分线上点的特点，属于基础题．
15．设为关于的方程（）的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求、的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
分析：（1）将代入方程，，利用复数相等，得出关于的方程组，即可求解；
（2）设代入方程方程，求出复数所对应的点的轨迹，根据，求出范围，利用几何法，即可求出结论.
详解：（1）为方程（）的虚根，
，
解得；
（2）设且是的虚根，
，
，
，
，
复数所对应的点在单位圆上（去掉，
复数所对应的点为，
所以的范围为.
故答案为:.
点睛：本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.
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