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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课时作业（限时训练）
一、单选题
1．（ ）
A．-1 B． C．1 D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
4．已知为虚数单位，，复数，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（）
A．0 B．1 C． D．3
6．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．5 B． C． D．-5
7．下面是关于复数的四个命题,其中真命题为( )
A．的虚部为 B．为纯虚数
C． D．
8．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(??? )
A． B． C． D．
9．已知为虛数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．直线上 D．直线上
10．若，则n的值可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则方程只有一个根
B．若且，则
C．若，则不成立
D．若，且，那么一定是纯虚数
12．设集合，，i为虚数单位，，则M∩N为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1]
二、填空题
13．复数的共轭复数是___________.
14．复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .
15．若，且，则____________.
16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①； ②z2＝x2＋y2；
③； ④|z|≤|x|＋|y|.
三、解答题
17．计算.
18．已知复数，为虚数单位.
（1）求的值；
（2）类比数列的有关知识，求的值.
19．已知复数，，．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
20．已知（i为虚数单位），求：
（1）；
（2）；
（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课时作业（限时训练）
一、单选题
1．
A．-1 B． C．1 D．
答案：D
分析：根据复数的除法运算，可直接得出结果.
详解：.
故选D
本题主要考查复数的除法运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.
2．（ ）
A． B． C． D．
答案：C
分析：根据复数的运算法则计算得到答案.
详解：.
故选：.
本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.
3．若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
答案：B
分析：复数的共轭复数是，复数除法运算是将分母实数化，即．
详解：∵，∴.
本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.
4．已知为虚数单位，，复数，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
分析：由复数的除法运算，可得，即可求解，得到答案．
详解：由题意，复数，得，
所以，故选B．
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5．设，则（）
A．0 B．1 C． D．3
答案：B
分析：先将分母实数化，然后直接求其模．
详解：
本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．
6．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．5 B． C． D．-5
答案：C
分析：把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
详解：由（1+i）z＝|3+4i|，
得z，
∴z的虚部为．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7．下面是关于复数的四个命题,其中真命题为( )
A．的虚部为 B．为纯虚数
C． D．
答案：D
分析：根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.
详解：对于A,因为,根据复数定义可知,其虚部为,故A错误;
对于B, 因为,实部不为,所以不为纯虚数,故B错误;
对于C, 因为,所以,故C错误;
对于D, ,
,故D正确.
故选:D.
本题主要考查了复数相关概念,解题关键是掌握复数的基础知识,考查了理解能力,属于基础题.
8．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(??? )
A． B． C． D．
答案：A
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令
详解：
复数为纯虚数
，
故选：A.
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
9．已知为虛数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．直线上 D．直线上
答案：C
分析：化简：得到，写出复平面中对应的点的坐标，判断即可.
详解：，在复平面中的点为在第三象限，且在直线上.
故选：C
本题考查了复数的四则运算，以及复数的几何意义，考查了学生数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
10．若，则n的值可能为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：A
分析：先化简括号内的复数，再根据运算的周期性进行讨论.
详解：因为，，
所以
结合选项知，n的值可能为4.
故选：A.
本题考查复数的运算，涉及的周期性以及除法计算.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则方程只有一个根
B．若且，则
C．若，则不成立
D．若，且，那么一定是纯虚数
答案：D
详解：在复数集中存在三个根，A错；
因为只有两个实数才能比较大小，B错；
成立，C错；
设,则，
则，即，所以是纯虚数，D正确.
故选D.
12．设集合，，i为虚数单位，，则M∩N为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C．[0，1） D．[0，1]
答案：C
【解析】试题分析：，解不等式得
考点：三角函数性质；复数运算
二、填空题
13．复数的共轭复数是___________.
答案：
分析：由复数代数形式的除法运算化简复数，求出即可．
详解：解：，
复数的共轭复数是
故答案为
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．
14．复数满足，则此复数所对应的点的轨迹方程是 .
答案：
试题分析：设 ，则由题意得，即，化简得．
考点：复数的模．
15．若，且，则____________.
答案：2
分析：把两边平方求得，进一步求出，开方即可求得答案．
详解：解：由，得，
即，，
，
故答案为：2．
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．
16．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①； ②z2＝x2＋y2；
③； ④|z|≤|x|＋|y|.
答案：④
对于①，∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，
故④正确．
三、解答题
17．计算.
答案：
分析：先将通过变形运算转化为 ，再根据有关的幂的运算，分类讨论求解.
详解：
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
综上：
本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.
18．已知复数，为虚数单位.
（1）求的值；
（2）类比数列的有关知识，求的值.
答案：（1）（2）1
分析：（1）根据复数运算法则计算即可（2）根据等比数列的前n项和，利用复数的运算法则进行计算即可．
详解：（1）复数为虚数单位），
，
，
（2）
本题主要考查了复数的四则运算，等比数列的求和公式，属于中档题.
19．已知复数，，．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）若是纯虚数，求a的值；
（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）．
分析：（Ⅰ）写出共轭复数，由复数乘法法则计算；
（Ⅱ）由复数的概念可求；
（Ⅲ）计算出的代数形式，得对应点坐标，由点在第二象限可得的范围．
详解：（Ⅰ）由题意；
（Ⅱ）由题意为纯虚数，则，所以；
（Ⅲ），对应点，它是第二象限点，则，解得．故的范围是．
本题考查考查的乘法和除法运算，考查复数的概念，共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
20．已知（i为虚数单位），求：
（1）；
（2）；
（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.
答案：（1）3；（2）-1；（3）
分析：（1）分别计算出，，展开即可求解；
（2）根据运算法则结合即可求解；
（3）结合（1）已经算出的结果分析规律即可得解.
详解：（1），
，，，，
.
（2）.
（3）由（1）可知，，
.
此题考查复数的综合应用，涉及基本运算，观察规律，其关键在于根据运算法则准确计算并类比推理.
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