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第三章综合复习
课时作业（限时训练一）
一、单选题
1．复数z，则|z|=( )
A．1 B．2 C． D．2
2．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ）
A． B．5
C． D．
4．如果复数满足，为虚数单位，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数，是共轭复数，若，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．2
6．设为复数,则下列命题中一定成立的是( )
A．如果,那么 B．如果,那么
C．如果,那么 D．如果,那么
7．
的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．复数的值是______.
10．若复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数的模的取值范围是__________．
11．已知且，则（为虚数单位）的最小值是________
12．在下列命题中,正确的命题有________(填写正确的序号)
①若,则的最小值是6;
②如果不等式的解集是,那么恒成立;
③设x,,且,则的最小值是;
④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;
⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;
⑥若,,,则必有;
三、解答题
13．已知复数，实数a取什么值时，z是:①实数？②虚数？③纯虚数？
14．已知复数.
（1）求；
（2）在中，，且，求的取值范围.
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第三章综合复习
课时作业（限时训练一）
一、单选题
1．复数z，则|z|=( )
A．1 B．2 C． D．2
答案：A
分析：运用复数的除法运算法则,先计算出的表达式,然后再计算出.
详解：由题意复数z得,所以.
故选
点睛：本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
2．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：A
分析：先将整理为的形式,再由复数的几何意义判断即可
详解：因为,所以,
所以在复平面对应的点是,位于第一象限,
故选:A
点睛：本题考查判断复数在复平面对应的点所在象限,考查复数的除法法则的应用
3．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝（ ）
A． B．5
C． D．
答案：C
分析：利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出.
详解：∵(1＋2i)z＝－3＋4i，
∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，
则|z|＝＝.
故选：C.
点睛：本题主要考查的是复数的四则运算，以及复数模的求法，是基础题.
4．如果复数满足，为虚数单位，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
分析：由模的几何意义可转化为以为圆心，1为半径的圆上一点与点距离的最小值,根据圆的性质即可求解.
详解：因为，
所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
因为表示点与定点的距离，
所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径，
即，
故选：A
点睛：本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.
5．已知复数，是共轭复数，若，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．2
答案：B
分析：原等式两边同乘以，可求得，从而可得，利用复数模的公式可得结果.
详解：因为，
所以，
即，
，可得，
所以，，故选B.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．设为复数,则下列命题中一定成立的是( )
A．如果,那么 B．如果,那么
C．如果,那么 D．如果,那么
答案：C
分析：根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.
详解：对于A,取,时,,即,但虚数不能比较大小, ,故A错误;
对于B,由,可得,不能得到,故B错误;
对于C,因为,所以,故C正确;
对于D,取,,满足,但是,故D错误.
故选:C.
点睛：本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.
7．的三个顶点所对的复数分别为，复数z满足 ，则的对应点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
答案：A
分析：利用到三个顶点的距离相等得到是三角形的外接圆的圆心.
详解：∵
∴到三个顶点的距离相等，
∴是三角形的外接圆的圆心，故选：A.
点睛：本题考查复数差的几何意义，注意表示复平面中对应的两点之间的距离，本题属于基础题.
8．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
分析：将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.
详解：
点睛：本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.
二、填空题
9．复数的值是______.
答案：0
分析：先利用复数的除法运算计算，再计算，相加即得解.
详解：.
点睛：本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.
10．若复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，则复数的模的取值范围是__________．
答案：
分析：根据椭圆的定义可知，从而可得复数的模的取值范围.
详解：因为复数满足，且复数对应的点的轨迹是椭圆，
所以，
根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心，4为半径的圆的内部，
数形结合可得.
故答案为：
点睛：本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中与的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.
11．已知且，则（为虚数单位）的最小值是________
答案：
分析：设,根据复数的几何意义分析即可.
详解：设,因为,故,即在复平面内是在以原点为圆心,1为半径的圆上.
又,几何意义为到的距离.
故最小值为.
故答案为：
点睛：本题主要考查了复数的几何意义的运用,属于基础题.
12．在下列命题中,正确的命题有________(填写正确的序号)
①若,则的最小值是6;
②如果不等式的解集是,那么恒成立;
③设x,,且,则的最小值是;
④对于任意,恒成立,则t的取值范围是;
⑤“”是“复数()是纯虚数”的必要非充分条件;
⑥若,,,则必有;
答案：①②③④⑥
分析：①,利用均值定理求最值即可；
②由一元二次不等式与一元二次方程的关系,利用韦达定理求解即可；
③由得,代入式子中可得关于的函数,进而求得最值即可；
④设,则可转化为在时,,进而求解即可；
⑤由纯虚数的定义可知虚部不为0,实部为0,进而判断即可；
⑥由可得,代入中可得,再将代入求解即可
详解：①因为,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故①正确；
②由不等式与方程的关系可知和是方程的解,所以,,所以,,则,故②正确；
③因为,所以,
则,
则当时,的最小值为,故③正确；
④由题,因为,即在时恒成立,
当时,,不成立；
当时,设,
当时,,解得或,所以；
当时,,解得或,所以,
综上,,故④正确；
⑤因为()是纯虚数,所以,解得或,
所以“”是“复数()是纯虚数”的充分不必要条件,故⑤错误；
⑥因为,,所以,代入可得,
则,即,所以,
即,
所以,
故⑥正确；
故答案为: ①②③④⑥
点睛：本题考查均值定理求最值,考查不等式与方程的关系的应用,考查不等式恒成立问题,考查复数的概念,考查同角的三角函数关系的应用,此题考查了多个知识点的应用,熟练掌握不等式、复数、三角函数等知识点是解题关键
三、解答题
13．已知复数，实数a取什么值时，z是:①实数？②虚数？③纯虚数？
答案：①；②且；③无解.
分析：对于复数，若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数；得到不等式解得；
详解：解：
①若复数是实数，则即即.
②若复数是虚数，则即即且.
③若复数是纯虚数，则即此时无解.
点睛：本题考查复数的基本概念，需注意实部的分母不能为零，属于基础题.
14．已知复数.
（1）求；
（2）在中，，且，求的取值范围.
答案：（1） （2）
分析：（1）利用复数的运算法则化简即可
（2）由条件得，化成基本型，利用三角函数的知识求出范围.
详解：（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以
因为，所以，所以，
所以
即
因为，所以，
所以，所以
所以的取值范围为.
点睛：三角函数有关的范围问题，一般要先将函数化为基本型，然后利用三角函数的图象及其性质求解.
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