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第三章综合复习
课时作业（限时训练二）
一、单选题
1．已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．设为坐标原点，复数在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．满足的复数对应的点的轨迹是圆
B．若，，则
C．复数（其中、）的虚部为
D．在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数
6．已知复数和复数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．设复数满足,则_________.
8．设是虚数单位，则________．
9．若复数满足，则复数的最大值为_____．
10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①； ②z2＝x2＋y2；
③； ④|z|≤|x|＋|y|.
三、解答题
11．设是虚数是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围．
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
12．已知顶点坐标分别为，，.
（1）若，，，求的值；
（2）若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围.
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第三章综合复习
课时作业（限时训练二）
一、单选题
1．已知i是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
分析：利用的次幂运算，将指数分别除以4，得到余数，即可得答案.
详解：∵.
故选：B．
点睛：本题考查的次幂运算，考查运算求解能力，属于基础题.
2．已知复数，则对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C
分析：转化条件得，即可得解.
详解：由题.
故选：C.
点睛：本题考查复数的概念和运算，属于基础题.
3．已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：D
试题分析：,所以互为共轭复数为，即，所以，故选D.
考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.
4．设为坐标原点，复数在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
分析：设出两个复数的代数式表达式,写出复数在复平面内对应的点分别为P、Q两点的坐标,运用平面向量运算的坐标表示公式、模的公式,结合复数的运算公式和复数模的计算公式对四个选项逐一判断即可.
详解：设,因此,
选项A: ,因为,
,所以本选项一定正确；
选项B: ,因为,
,所以本选项一定正确；
选项C:因为,,
所以本选项一定正确；
选项D:
,
,
,显然本选项不一定正确.
故选：D
点睛：本题考查了复数的加法、减法、乘法的运算法则,考查了复数模的计算公式,考查了平面向量的运算坐标表示以及平面向量模的计算公式.
5．已知是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．满足的复数对应的点的轨迹是圆
B．若，，则
C．复数（其中、）的虚部为
D．在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数
答案：B
分析：由复数模、乘方的计算，可判断A,B，由复数实部虚部的概念及几何意义可判断C,D，可得出结论.
详解：对于A，设，由可得，
化简得，所以，复数对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A错误；
对于B，若，，则，B正确；
对于C，复数（其中、）的虚部为，是虚数单位，C错误；
对于D，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D错误.
故选：B.
点睛：本题考查有关复数命题真假的判断，涉及复数的概念、几何意义以及复数的乘方，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
6．已知复数和复数，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
分析：利用复数的乘法运算法则结合两角和的正弦、余弦公式可计算出的值.
详解：.
故选：A.
点睛：本题考查复数的乘法运算，同时也考查了两角和的正弦、余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题
7．设复数满足,则_________.
答案：.
分析：利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
详解：∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
点睛：本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
8．设是虚数单位，则________．
答案：.
分析：直接计算，然后代入计算．
详解：，∴，，
，，，
∴
．
故答案为：．
点睛：本题考查复数的乘方运算，乘法运算．掌握复数乘法运算法则是解题基础．
9．若复数满足，则复数的最大值为_____．
答案：
分析：设出,结合条件,得在复平面内对应点的轨迹，再由
|z﹣1﹣i|的几何意义求解．
详解：设,则由,
得，即．
复数在复平面内对应点的轨迹如图：
∴复数的最大值为
．
故答案为:．
点睛：本题考查复平面轨迹问题,以及复数模长的几何意义,考查数形结合思想,属于中档题.
10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．(填序号)
①； ②z2＝x2＋y2；
③； ④|z|≤|x|＋|y|.
答案：④
对于①，∵＝x－yi(x，y∈R)，|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，∴①不正确；对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，∵|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，∴③不正确；对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，
故④正确．
三、解答题
11．设是虚数是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围．
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
答案：（1）；（2）见解析；（3） 1.
详解：（1）因为z是虚数,∴可设z=x+yiR,且、
∴ii
可得，
此时，；
从而证明u是纯虚数；
（2）
；
（3）i，然后化简和计算得到
12．已知顶点坐标分别为，，.
（1）若，，，求的值；
（2）若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围.
答案：（1）；（2）且
分析：（1） 将，，代入及可求出，利用要求即可求出,利用坐标运算求出即可.
（2）将代入方程，即可求出，即可写出，利用是钝角等价于且三点不共线,即可求出的取值范围.
详解：（1）因为，，.
所以，，
所以
因为
所以 .
（2）将代入得：.
展开得即
所以，，.
因为是钝角
所以且，，三点不共线
即且
解得且.
点睛：本题考查利用点的坐标求角的正弦值，复数的运算性质，利用向量法解钝角.属于基础题。本题中向量法解钝角需要注意的是：两向量的数量积为负，包括两向量共线，需排除.
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