第04讲 几何综合
知识构图
学好几何图形，一定要从基本元素、图形的性质和判定，两个方面入手思考。
（一）相似三角形
1、相似三角形的性质：
①相似三角形对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比.
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2、相似三角形的判定
①如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
②如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（二）全等三角形
1、全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等，对应角相等。
②全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；
③全等三角形的周长相等、面积相等。
2、全等三角形的判定
①三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”．
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”．
⑤直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”
或“HL”
（三）特殊三角形
1、直角三角形：
（1）勾股定理：直角三角形两直角边长的平方之和等于斜边长的平方。
（2）直角三角形斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（四）等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称三线合一）。
（2）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。
典例分析
例1．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
例2．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=
在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：
①AE=CF ②EF=AP
③△EPF是等腰直角三角形 ④S四边形AEPF=S△ABC
上述结论始终正确的有（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
例4．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长
例5．如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）若EF=6，求梯形ABCD的面积．
举一反三
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做平行四边形CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．
（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）求证：△BCG≌△DCE．
3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
典例分析
例1．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例3．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
例4．在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使CE=AD，连接DE．
（1）求证：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．
例5．Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
举一反三
1．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
3．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．
典例分析
1．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
A．50° B．20° C．60° D．70°
2．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
3．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧
EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC长为4，求阴影部分的面积之和
举一反三
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为
2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）
课堂闯关
初出茅庐
1．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ．
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
4．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长
优学学霸
1．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
考场直播
1．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
自我挑战
1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．
5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tan∠E；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径
第04讲 几何综合
知识构图
学好几何图形，一定要从基本元素、图形的性质和判定，两个方面入手思考。
（一）相似三角形
1、相似三角形的性质：
①相似三角形对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比.
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
2、相似三角形的判定
①如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
②如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（二）全等三角形
1、全等三角形的性质：
①全等三角形的对应边相等，对应角相等。
②全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；
③全等三角形的周长相等、面积相等。
2、全等三角形的判定
①三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
②两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”．
④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”．
⑤直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”
或“HL”
（三）特殊三角形
1、直角三角形：
（1）勾股定理：直角三角形两直角边长的平方之和等于斜边长的平方。
（2）直角三角形斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（四）等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称三线合一）。
（2）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。
典例分析
例1．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
【解析】C
例2．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=
在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 C
例3．如图，已知△ABC，AB=AC，∠A=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E、F．给出以下四个结论：
①AE=CF ②EF=AP
③△EPF是等腰直角三角形 ④S四边形AEPF=S△ABC
上述结论始终正确的有（ ）
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【解析】C ，提示如图
例4．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长
【解析】（1）证明：∵∠DOB=90°﹣∠AOD，∠AOC=90°﹣∠AOD
∴∠BOD=∠AOC
又∵OC=OD，OA=OB
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
（2）解：∵△AOC≌△BOD
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°
∴CD===
例5．如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60°．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．
（1）求证：EB=EF；
（2）若EF=6，求梯形ABCD的面积．
【解析】（1）证明：∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°，
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，
∴∠FAE=∠FAD+∠EAD=75°，∠BAE=∠DAB﹣∠EAD=75°，
∴∠FAE=∠BAE，
又∵AD=AB，
∴AB=AF，
在△FAE和△BAE中，，
∴△FAE≌△BAE（SAS），
∴EF=EB；
（2）在△FAE和△FDE中，，
∴△FAE≌△FDE（SSS），
∴∠DFE=∠AFE=×60°=30°，∠DEF=∠AEF=×150°=75°，
又∵∠FAE=60°+15°=75°，
∴∠AEF=∠FAE，
又∵EF=6，
∴AF=EF=6，AB=AD=AF=6，
过C作CM⊥AB于M，可得CM=AD=6，
∵tan∠ABC=，∠ABC=60°，
∴BM===2，
∴CD=AM=AB﹣BM=6﹣，
∴S梯形ABCD=×[（6﹣2）+6]×6=36﹣6．
举一反三
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】C．
2．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做平行四边形CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．
（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）求证：△BCG≌△DCE．
【解析】（1）解：∠ACB=∠GCD
理由如下：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵CG∥AB
∴∠ABC=∠GCD
∴∠ACB=∠GCD
（2）证明：∵四边形CDFE是平行四边形
∴EF∥CD
∴∠ACB=∠GEC，∠EGC=∠GCD
∵∠ACB=∠GCD
∴∠GEC=∠EGC ，∴EC=GC
∵∠GCD=∠ACB
∴∠GCB=∠ECD
在△BCG和△DCE中，∴△BCG≌△DCE
3．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，
∵AC=AD
∴MN=BM
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=
典例分析
例1．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ?AC，
其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】D
例2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】B
例3．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）证明四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．
【解析】（1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC
在△ADB与△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD
∵∠BCD=∠ADF
∴∠BAD=∠ADF
∴AB∥FD
∵BD⊥AC，AF⊥AC
∴AF∥BD
∴四边形ABDF是平行四边形
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，
∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，
∵AD=6，设BE=x，则DE=5﹣x，
∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，
即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得：x=，
∴=，
∴AC=2AE=．
例4．在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，延长BC到E，使CE=AD，连接DE．
（1）求证：BD=DE．
（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，CE=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∴BD=DE．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴CE=AD=3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD=DE，
∴S△BDE=BD?DE=BD2=BE?DF=（BC+CE）?DF=（BC+AD）?DF=S梯形ABCD=16，
∴BD=4，
∴BE=BD=8，
∴DF=BF=EF=BE=4，
∴CF=EF﹣CE=1，
∴由勾股定理得AB=CD==．
例5．Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
【解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线
∴AE=DE，BD=CD
在△AFE和△DBE中，，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB
∵DB=DC，∴AF=CD
∵AF∥BC
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点
∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形
（3）连接DF
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF=AB=5
∵四边形ADCF是菱形
∴S菱形ADCF=AC?DF=×4×5=10
举一反三
1．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】C
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
【解析】（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D、E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∵D是AB边上的中点，
∴AD=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF=FC=AD=5，
∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28
3．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．
【解析】（1）作EM⊥AC于M．
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ADC=90°，AD=DC=3，∠DCA=45°
∴在RT△ADE中，∵∠ADE=90°，AD=3，DE=1
∴AE==，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，∠ECM=45°，EC=2，∴EM=CM=，
∴在RT△AEM中，sin∠EAM===．
（2）在△GDC和△EDA中，，
∴△GDC≌△EDA，
∴∠GCD=∠EAD，GC=AE=，
∵∠DAE+∠AED=90°，∠DEA=∠CEH，
∴∠DCG+∠HEC=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AH⊥GC，
∵S△AGC=?AG?DC=?GC?AH，
∴×4×3=××AH，∴AH=．
典例分析
1．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
A．50° B．20° C．60° D．70°
【解析】D
2．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【解析】A
3．如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧
EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】C
4．如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，⊙O半径为5，AC长为4，求阴影部分的面积之和
【解析】（1）证明：连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∵Rt△斜边上的中线等于斜边的一半，
∴∠ABD=90°，∴∠ABE=90°，
即弧AE的度数是180°，∴AE是⊙O的直径；
（2）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，
∴根据勾股定理得：CE=2，
∴S阴影=S半圆﹣S△ACE=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4
举一反三
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，垂足为点E，连接OD、BC，若BC=1，则扇形OBD的面积为
【解析】
2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【解析】B
3．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）
【解析】（1）证明：连接OD，如图所示
∵DF是⊙O的切线，D为切点
∴OD⊥DF
∴∠ODF=90°
∵BD=CD，OA=OB
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°
由（1）得∠ODF=90°
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°
∵OB=OD
∴△OBD是等边三角形
∴∠BOD=60°
∴的长===π
课堂闯关
初出茅庐
1．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ．
【解析】，提示如图
2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【解析】B
3．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．不确定
【解析】A．提示：过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题
4．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC∥AB
∴∠OBE=∠ODF
在△OBE与△ODF中
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC
∴∠GEA=∠GFD=90°
∵∠A=45°
∴∠G=∠A=45° ∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO，∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3
优学学霸
1．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AEM=α（0°＜α＜90°），给出下列四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN﹣AM=2；④S△EMN=
上述结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】C
2．如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．
（1）求证：AG=C′G；
（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
【解析】（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，
∴∠A=∠C′，AB=C′D
∴在△GAB与△GC′D中
∴△GAB≌△GC′D
∴AG=C′G；
（2）解：∵点D与点A重合，得折痕EN，
∴DM=4cm，∵AD=8cm，AB=6cm，
在Rt△ABD中，BD==10cm，
∵EN⊥AD，AB⊥AD，
∴EN∥AB，
∴MN是△ABD的中位线，
∴DN=BD=5cm，
在Rt△MND中，
∴MN==3（cm），
由折叠的性质可知∠NDE=∠NDC，
∵EN∥CD，∴∠END=∠NDC，
∴∠END=∠NDE，
∴EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，
由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42，解得x=，即EM=cm
考场直播
1．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE?GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【解析】（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，
∵OC=2，
∴CD=2CM=2=2=2；
（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，
∴PC===2，
∵OC=2，PO=2+2=4，
∴PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，
∴∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE?GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点，∴∠GOE=90°，
∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴=，∴GE?GF=OG?GH=2×4=8．
自我挑战
1．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【解析】C
2．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】B
3．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
【解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴CD=BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．理由如下：
∵△AEF≌△DEC，∴AF=CD，
∵AF=BD，∴CD=BD；
∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，∴平行四边形AFBD是矩形．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，
∴∠BOD=∠A，
∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，
即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；
（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，
∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，
∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，
∵∠AFC=∠DFB，
∴△FDB是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，
∴HD==3，
在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，
∴OD=5，∴⊙O的半径是5．
5．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE．
（1）求证：△ABD∽△AEB；
（2）当=时，求tan∠E；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径
解：（1）∵∠ABC=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DBC
由题意知：DE是直径，∴∠DBE=90°
∴∠E=90°﹣∠BDE
∵BC=CD，∴∠DBC=∠BDE
∴∠ABD=∠E
∵∠A=∠A，∴△ABD∽△AEB
（2）∵AB：BC=4：3
∴设AB=4，BC=3，∴AC==5
∵BC=CD=3，∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2
由（1）可知：△ABD∽△AEB
∴==，∴AB2=AD?AE
∴42=2AE，∴AE=8
在Rt△DBE中tan∠E====
（3）过点F作FM⊥AE于点M
∵AB：BC=4：3，∴设AB=4x，BC=3x
∴由（2）可知；AE=8x，AD=2x
∴DE=AE﹣AD=6x
∵AF平分∠BAC，∴=
∴==
∵tanE=，∴cosE=，sinE=
∴=，∴BE=
∴EF=BE=，∴sinE==
∴MF=，∵tanE=
∴ME=2MF=
∴AM=AE﹣ME=
∵AF2=AM2+MF2
∴4=+，∴x=
∴⊙C的半径为：3x=
