学科教师辅导讲义
学员编号：
年 级：九年级（下）
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
学科教师：
授课主题
第08讲-----二次函数
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
深刻理解并运用二次函数的相关知识点；
掌握常考重点题型及相关解法，突破中考数学第22、23题；
提高综合分析与解题能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、求证“两线段相等”的问题
2、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题
3、平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题
4、“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题
5、三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题
6、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题
7、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题
8、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题
9、常数问题
10、“两个三角形相似”的问题
11、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题
12、“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”
13、三角形面积的最大值问题
14、“定四边形面积的求解”问题
15、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题
知识概念
常用公式或结论———破解二次函数难题的基石
1. 横线段的长= 横标之差的绝对值 = =
纵线段的长=纵标之差的绝对值==
（2）点轴距离：
点P（ ，）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。
（3）两点间的距离公式：
若A（）,B(),则AB=
（4）点到直线的距离：
点P（）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为：或
（5）中点坐标公式:
若A()，B（），则线段AB的中点坐标为（）
（6）直线的斜率公式：
若A（），B（），则直线AB的斜率为：
,
（7）两直线平行的结论：
已知直线
若 ② 若
（8）两直线垂直的结论：
已知直线
若 ②若
（9）由特殊数据得到或猜想的结论：
① 已知点的坐标或线段的长度中若含有、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。
在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。
还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率k的值，若，则直线与X轴的夹角为；若；则直线与X轴的夹角为；若，则直线与X轴的夹角为。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。
1.求证“两线段相等”的问题：
借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；?
然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
2.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。
例1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
例2、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
4.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。
5.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：
“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：
由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。
6. “某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：
若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。
例3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
7.“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：
这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：
若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
例4、如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
8.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：
（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉）
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程（通常需要用到点到直线的距离公式），解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
9.常数问题：
（1）点到直线的距离中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：
先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
（2）三角形面积中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：
先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
例5、如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
例6、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10.“两个三角形相似”的问题：
?（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。?
（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。?
一个定三角形和动三角形相似：?
（1）已知有一个角相等的情形：?
先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。?
?（2）不知道是否有一个角相等的情形：?
这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。
11.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。
若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。
例7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
12.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与4相同。
例8、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
13.三角形面积的最大值问题：
“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；再求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。
（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。
“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。
例9、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
14.“定四边形面积的求解”问题：
有两种常见解决的方案：
方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；
方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）
１5.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：
题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似或三角函数来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”或直角三角形并表示出这组角的三角函数值是关键和突破口。
例10、如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠CEF＝∠ABD时，求点E的坐标；
（3）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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深刻理解并运用二次函数的相关知识点；
掌握常考重点题型及相关解法，突破中考数学第22、23题；
提高综合分析与解题能力。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、求证“两线段相等”的问题
2、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题
3、平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题
4、“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题
5、三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题
6、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题
7、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题
8、“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题
9、常数问题
10、“两个三角形相似”的问题
11、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题
12、“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”
13、三角形面积的最大值问题
14、“定四边形面积的求解”问题
15、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题
知识概念
常用公式或结论———破解二次函数难题的基石
1. 横线段的长= 横标之差的绝对值 = =
纵线段的长=纵标之差的绝对值==
（2）点轴距离：
点P（ ，）到X轴的距离为，到Y轴的距离为。
（3）两点间的距离公式：
若A（）,B(),则AB=
（4）点到直线的距离：
点P（）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C最好化为整系数，也方便计算)的距离为：或
（5）中点坐标公式:
若A()，B（），则线段AB的中点坐标为（）
（6）直线的斜率公式：
若A（），B（），则直线AB的斜率为：
,
（7）两直线平行的结论：
已知直线
若 ② 若
（8）两直线垂直的结论：
已知直线
若 ②若
（9）由特殊数据得到或猜想的结论：
① 已知点的坐标或线段的长度中若含有、等敏感数字信息，那很可能有特殊角出现。
在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状，若有特殊角出现，那很多问题就好解决。
还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率k的值，若，则直线与X轴的夹角为；若；则直线与X轴的夹角为；若，则直线与X轴的夹角为。这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。
1.求证“两线段相等”的问题：
借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；?
然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x轴（y轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。
2.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（一母示），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意）。
例1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A（5，0），B（0，10），
∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为y=ax2+bx，
∵抛物线过点B（0，10），C（8，4），∴，∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，
∴2t=10﹣t，∴t=，
∴当运动时间为时，PA=QA；
（3）存在，∵y=x2﹣x，∴抛物线的对称轴为x=，
∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5，设点M（，m），
①若BM=BA时，∴（）2+（m﹣10）2=125，∴m1=，m2=，
∴M1（，），M2（，），
②若AM=AB时，∴（）2+m2=125，
∴m3=，m4=﹣，∴M3（，），M4（，﹣），
③若MA=MB时，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，∴m=5，
∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣）
3.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
例2、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，
与y轴相交于点 C，∴令y=0，可得x=或x=，
∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），
设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
4.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出（利用求交点坐标的方法）。
5.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：
“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：
由于有两个定点，所以该三角形有一定边（其长度可利用两点间距离公式计算），只需另两边的和最小即可。
6. “某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：
若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1），得到一个方程，解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。
例3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【解析】（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，
PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10
解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2
解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18
解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
【第3问也可以采用第6点中，超纲的高中公式（斜率之积为-1）求解，此处答案省略，依据学生理解能力选择其中一种解法讲解】
7.“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：
这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：
若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
例4、如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点
B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC
以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为
何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE===3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，
∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；
（2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，
∵BD=，DE==，∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，∴t=；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，∴=﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，
∵EM，CN互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．
8.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：
（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉）
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示（如果图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（如果图形是定图形就计算出它的具体面积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程（通常需要用到点到直线的距离公式），解之即可。（注意去掉不合题意的点），如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
9.常数问题：
（1）点到直线的距离中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：
先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
（2）三角形面积中的常数问题：
“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：
先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
例5、如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
【解析】（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点
A（﹣3，0），点C（0，3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD?sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，∴（4﹣m）=m，m=﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN=PD?sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，
∵PN=PE，∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，
其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；
（3）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
∴B（1，0），∴S△EBC=EB?OC=3，
∵2S△FBC=3S△EBC，∴S△FBC=，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，
如图3，∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB?HQ﹣BH?HF﹣QF?FM
=BH（HQ﹣HF）﹣QF?FM
=BH?QF﹣QF?FM=QF?（BH﹣FM）
=FQ?OB=FQ=，∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=﹣3x+3，设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，）．
例6、【2016?西宁】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形，点A，B在x轴上，△MBC是边长为2的等边三角形，过点M作直线l与x轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平分．
（1）求过A，B，E三点的抛物线的解析式；
（2）求证：四边形AMCD是菱形；
（3）请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知，△MBC为等边三角形，点A，B，C，E均在⊙M上，
则MA=MB=MC=ME=2，又∵CO⊥MB，∴MO=BO=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），E（﹣1，﹣2），
抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣2），设函数解析式为y=a（x+1）2﹣2（a≠0）
把点B（1，0）代入y=a（x+1）2﹣2，解得：a=，
故二次函数解析式为：y=（x+1）2﹣2；
（2）证明：连接DM，∵△MBC为等边三角形，∴∠CMB=60°，∴∠AMC=120°，
∵点D平分弧AC，∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°，
∵MD=MC=MA，∴△MCD，△MDA是等边三角形，∴DC=CM=MA=AD，
∴四边形AMCD为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；
（3）解：存在．理由如下：
设点P的坐标为（m，n）
∵S△ABP=AB|n|，AB=4∴×4×|n|=5，即2|n|=5，解得：n=±，
当时，（m+1）2﹣2=，解此方程得：m1=2，m2=﹣4
即点P的坐标为（2，），（﹣4，），
当n=﹣时，（m+1）2﹣2=﹣，此方程无解，
故所求点P坐标为（2，），（﹣4，）．
10.“两个三角形相似”的问题：
?（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。?
（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。?
一个定三角形和动三角形相似：?
（1）已知有一个角相等的情形：?
先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。?
?（2）不知道是否有一个角相等的情形：?
这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。
11.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式（如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合题，反之不合题，舍去。
若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1？若为-1，则就说明所求交点合题；反之，舍去。
例7、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．
（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为
C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2；
∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2，
∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．
当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1，
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）设P（m，n）．∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点
的 三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则=，即=，
解得n=．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，），
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为（m，）
②若△OCB∽△DPB，则=，即=，解得n=2m﹣2．
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m），
∵P在第一象限，m＞1，∴点P的坐标为（m，2m﹣2）
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，2m﹣2）．
（3）方法一：
假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E．
∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，∴∠DBP=∠QPE．
在△DBP与△EPQ中，，∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ．
分两种情况：
①当P（m，）时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得，（均不合题意舍去）；
②当P（m，2（m﹣1））时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），
∴，解得，（均不合题意舍去）；
综上所述，不存在满足条件的点Q．
方法二：若在第一象限内存在点Q，【方法三：可尝试利用垂直时斜率之积为-1】
①∵B（1，0），P（m，），点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成，
将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，），
将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（，m﹣1），
将点P′平移回P（m，），则点Q′平移后即为点Q，
∴Q（，），将点Q代入抛物线得：
m2﹣m=0，∴m1=1，m2=0，∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均舍去），
②∵B（1，0），P（m，2m﹣2），同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），
将点Q代入抛物线得：3m﹣3=2（2﹣m）2﹣2，∴2m2﹣11m+9=0，∴m1=1，m2=，
∴Q1（1，0），Q2（﹣，）（均不合题意舍去）综上所述，不存在满足条件的点Q．
12.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与4相同。
例8、如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【解析】（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，
得，解得：；
（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD
过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
S△OAD=OD?AD=×2×4=4；
S△ACD=AD?CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；
S△BCD=BD?CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，
∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），
∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，
∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．
13.三角形面积的最大值问题：
“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；再求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。
（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。
“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。
例9、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）把B（1，0）代
入y=ax2+2x﹣3，
可得a+2﹣3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，
令y=0，可得x2+2x﹣3=0，
解得x=1或x=﹣3，
∴A点坐标为（﹣3，0）；
（2）若y=x平分∠APB，
则∠APO=∠BPO，
如图1，若P点在x轴上方，PA
与 y轴交于点B′，由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中，∴△BPO≌△B′P（ASA）∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得
，解得，∴直线AP解析式为y=x+1，
联立，解得，∴P点坐标为（，）；
若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（，）；
（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，
∵CF为y=x﹣，∴可求得C（，0），F（0，﹣），∴tan∠OFC==，
∵DQ∥y轴，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，
不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE?HQ=×t×t=t2，
若DQ=QE，则S△DEQ=DE?HQ=×2DH?HQ
=×t×t=t2，
∵t2＜t2，∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x，x﹣），
∵Q点在直线CF的下方，∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，
当x=﹣时，tmax=3，∴（S△DEQ）max=t2=，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．
14.“定四边形面积的求解”问题：
有两种常见解决的方案：
方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；
方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的和（差）
１5.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：
题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似或三角函数来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”或直角三角形并表示出这组角的三角函数值是关键和突破口。
例10、如图，抛物线y＝x 2＋bx＋c（c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3．点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠CEF＝∠ABD时，求点E的坐标；
（3）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵OB＝OC＝3，c＜0，∴B（3，0），C（0，－3）
∴y＝x 2＋bx－3，把B（3，0）代入得：0＝9＋3b－3，∴b＝－2
∴抛物线的解析式为y＝x 2－2x－3
（2）作DG⊥x轴于G，CH⊥EF于H
∵y＝x 2－2x－3＝( x－1 )2－4，∴D（1，－4）
∴DG＝4，BG＝3－1＝2
设直线BD的解析式为y＝kx＋n
∴ 解得
∴直线BD的解析式为y＝2x－6；设E（m，2m－6）
∵EF⊥x轴，∴CH＝m，EH＝－( 2m－6 )－3
∵∠CEF＝∠ABD，∴tan∠CEF＝tan∠ABD
∴ ＝ ＝ ＝2，∴ ＝2
解得m＝ ，∴E（ ，－ ）
（3）①若∠CEF＝90°，则CE∥x轴
∴点E的纵坐标为－3，代入y＝2x－6－3＝2x－6，
∴x＝ ∴E1（ ，－3）
若∠ECF＝90°，作CH⊥EF于H
则△CHE∽△FCH，∴ ＝
∴ ＝ ，解得m＝－3±3
∵1≤m＜3，∴m＝3－3
∴E2（3－3，6－12）
综上所述，E点坐标为E1（ ，－3），E2（3－3，6－12）
【说明】考虑到教案篇幅、内容难度、使用学生有限等问题，本份教案格式特殊化，且没有安排课堂狙击与课后练习部分，后期会更新对应中考专题演练，请务必让学生消化好例题部分。
S(Summary-Embedded)——归纳总结
本节课我学到
我需要努力的地方是
