1.6 完全平方公式同步测试卷（含解析）

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七下同步课堂〖一课一练〗（北师大版）
1.6 完全平方公式
学校:___________姓名：___________班级：___________总分：___________
一．选择题（共8小题）
1．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
2．若x2﹣2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m是（　　）
A．7或﹣1 B．﹣1 C．7 D．5或1
3．已知x2+kx+64是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±l6
4．利用乘法公式计算正确的是（　　）
A．（2x﹣3）2＝4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2＝16x2+8x+1
C．（a+b）（a+b）＝a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）＝4m2﹣3
5．若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（　　）
A．﹣4 B．16 C．4或16 D．﹣4或﹣16
6．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
7．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．已知a2﹣2ab+b2＝6，则a﹣b＝　 　．
10．若4x2+kx+25＝（2x﹣5）2，那么k的值是　 　．
11．若a+＝3，则a2+＝　 　．
12．若（a+b）2＝9，ab＝2，则（a﹣b）2＝　 　．
13．已知x2﹣3x+1＝0，则＝　 　．
14．如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共5小题）
15．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
16．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
17．发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
验证 （1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．
18．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．

19．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．




1.6 完全平方公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，
∴则a可为：16．
故选：C．
2．若x2﹣2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m是（　　）
A．7或﹣1 B．﹣1 C．7 D．5或1
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，
∴m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1，
故选：A．
3．已知x2+kx+64是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±l6
【解答】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，
∴x2+kx+64＝（x+8）2或x2+kx+64＝（k﹣8）2，
∴k＝±16．
故选：D．
4．利用乘法公式计算正确的是（　　）
A．（2x﹣3）2＝4x2+12x﹣9 B．（4x+1）2＝16x2+8x+1
C．（a+b）（a+b）＝a2+b2 D．（2m+3）（2m﹣3）＝4m2﹣3
【解答】解：A、（2x﹣3）2＝4x2﹣12x+9，故本选项不正确；
B、符合完全平方公式，故本选项正确；
C、（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不正确；
D、（2m+3）（2m﹣3）＝4m2﹣9，故本选项不正确．
故选：B．
5．若x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，x+n与x+2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（　　）
A．﹣4 B．16 C．4或16 D．﹣4或﹣16
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m﹣3＝±1，n+2＝0，
解得：m＝4，n＝﹣2，此时原式＝16；
m＝2，n＝﹣2，此时原式＝4，
则原式＝4或16，
故选：C．
6．如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　）

A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【解答】解：∵长方形ABCD面积＝两个小长方形面积的和，
∴可得a（a+b）＝a2+ab
故选：D．
7．已知x+y＝1，x﹣y＝3，则xy的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：∵x+y＝1，x﹣y＝3，（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∴12﹣32＝4xy，
∴xy＝﹣2，
故选：D．
8．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（　　）
A．6ab B．12ab C．0 D．24ab
【解答】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，
∴A＝24ab．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．已知a2﹣2ab+b2＝6，则a﹣b＝　　．
【解答】解：∵a2﹣2ab+b2＝6，
又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝6，
∴a﹣b＝±．
故答案为：．
10．若4x2+kx+25＝（2x﹣5）2，那么k的值是　﹣20　．
【解答】解：4x2+kx+25＝（2x﹣5）2＝4x2﹣20x+25，
故k＝﹣20．
11．若a+＝3，则a2+＝　7　．
【解答】解：∵a+＝3，
∴＝32
a2+2+＝9
∴＝7，
故答案为：7．
12．若（a+b）2＝9，ab＝2，则（a﹣b）2＝　1　．
【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝9﹣4×2，
＝9﹣8，
＝1．
故答案为：1．
13．已知x2﹣3x+1＝0，则＝　7　．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝x2++2＝9，
∴x2+＝7．
故答案为：7．
14．如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为　　．
【解答】解：a2+b2+2c2+2ac﹣2bc
＝a2+2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a+c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a+c＝0，b﹣c＝0，
解得a＝﹣c，b＝c，
∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1＝．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
15．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9
＝﹣8x+13，
当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．
16．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
【解答】解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2，
证明：因为左边＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2，
＝n2+（n2+n）2+（n+1）2，
＝（n2+n）2+2n2+2n+1，
＝（n2+n）2+2（n2+n）+1，
＝（n2+n+1）2，
而右边＝（n2+n+1）2，
所以，左边＝右边，等式成立．
17．发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
验证 （1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．
【解答】解：（1）发现：（﹣1）2﹣（﹣3）2的＝1﹣9＝﹣8＝4×（﹣2），
则（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的（﹣2）倍；
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为n+1，最小的数为n﹣1，
（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1＝4n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
延伸：设中间的一个奇数为n，则最大的奇数为n+2，最小的奇数为n﹣2，
（n+2）2﹣（n﹣2）2＝n2+4n+4﹣n2+4n﹣4＝8n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
18．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．

【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
19．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，
∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab
＝53+2×14＝81
∴a+b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9．

②∵a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
且∴a﹣b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b＝5，
∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）＝53×9×5＝2385．





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