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专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D.1
2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2 B.
C.1 D.
3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
5.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－
C. D.
6. (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在上单调递减
7.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
8.（全国卷）定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( )
A. B.
C. D.
9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
10.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
12.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
13. (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值.
14. (2019浙江)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求角A的大小.
(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积.
15.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
16.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B.
C. D.
17..(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A.6 B.5
C.4 D.3
18.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
19.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________
20. 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
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专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编解析版
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B.
C. D.1
解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.
由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.
答案 B
2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2 B.
C.1 D.
解析 由题设知，函数f(x)的最小正周期T＝＝2＝π，解得ω＝2.
答案 A
3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D.π
解析 f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以
解得a≤.
所以0
答案 A
4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________.
解析 f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1
＝－2＋，
因为cos x∈[－1，1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝－4.
答案 －4
5.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边经过点(a，2a)(a≠0)，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－
C. D.
解析 法一 依题意tan θ＝＝2.
∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.
法二 由θ的终边过点(a，2a)(a≠0)，知cos2θ＝＝.∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
答案 B
6. (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在上单调递减
解析 (1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)根据函数解析式可知f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为
－2π，A项正确.
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B项正确.
f(x＋π)＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；
f(x)在上单调递减，在上单调递增，故D项不正确.
答案 (1)B (2)D
7.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
解析 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 C
8.（全国卷）定义一种运算＝ad－bc，将函数f(x)＝的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析 f(x)＝2cos x－2sin x＝4cos，
依题意g(x)＝f(x＋φ)＝4cos是偶函数(其中φ>0).∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φmin＝π.
答案 C
9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B.
C. D.
解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.
则2sin α＝cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，
又α∈，所以sin α＝.
答案 B
10.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B.
C. D.2
解析 由题意知cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32.
所以AB＝4.
答案 A
11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，
所以sin∠ADB＝.
由题设知，0°<∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25.
所以BC＝5.
12.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以因此，△ABC面积的取值范围是.
13. (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值.
解 (1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
14. (2019浙江)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B－bcos A＝0.
(1)求角A的大小.
(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积.
解 (1)由asin B－bcos A＝0及正弦定理，
得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
即sin B(sin A－cos A)＝0，
又B为三角形的内角，知sin B≠0，
所以sin A－cos A＝0，即sin A＝cos A.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
将a＝2，b＝2，cos A＝代入，得20＝4＋c2－4c×，
即c2－2c－16＝0，
解得c＝－2(舍去)或c＝4.
所以S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝4.
15.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)＝0，得sin x＝0或cos x＝1.
又x∈[0，2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.
答案 B
16.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B.
C. D.
解析 因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C.所以在△ABC中，C＝.
答案 C
17..(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析 由正弦定理得，asin A－bsin B＝4csin C?a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2，
又cos A＝＝－，于是可得到＝6.故选A.
答案 A
18.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析 ∵sin α＋cos β＝1，且cos α＋sin β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，
因此sin(α＋β)＝－.
答案 －
19.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________.
解析 根据正弦定理可得sin Bsin A＋sin Acos B＝0，即sin A(sin B＋cos B)＝0.显然sin A≠0，所以sin B＋cos B＝0，又B∈(0，π)，故B＝.
答案
20. 已知向量a＝，b＝(－sin x，sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.
解 (1)由已知得a＝(－sin x，cos x)，又b＝(－sin x，sin x)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x
＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
f(x)取得最大值.
(2)锐角△ABC中，因为f＝sin＋＝1，
∴sin＝，∴A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，此时△ABC为等边三角形.
S△ABC＝bcsin A＝bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值3.
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