苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：16三角函数的应用(提高)word版含答案解析
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：16三角函数的应用(提高)word版含答案解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 594.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-17 23:17:01 | ||
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文档简介
三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；
2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【典型例题】
类型一：三角函数周期性的应用
例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）试确定在时间t min时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P点距离地面超过70 m？
【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A，h，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t）．（2）解不等式可得．
【答案】（1）（2）1分钟
【解析】（1）以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=40，h=50，T=3，，即，又，，，所以．
（2）令，
所以，所以，
所以，所以3k+1＜t＜3k+2．
令k=0，得1＜t＜2．
因此，共有1分钟时间距地面超过70 m．
【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A，ω的值和M，P两点间的距离．
【答案】 5
【解析】 依题意，有，，
又，∴．∴，x∈[0，4]．
∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0），
∴（km）．
类型二：三角函数模型在天气中的应用
例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时）
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期位置
序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间
y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
（1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图；
（2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？
【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得．
【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天
【解析】 （1）如图所示．
（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为，
由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax=19.4，ymin=5.4，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4．
又T=365，∴．
∴（等于，，，均可）．
∴（1≤x≤365，x∈N*）．
（3）由y＞15.9，得，
∴，
，∴112≤x≤232．
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题．
举一反三:
【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D（t）可由下式计算：，其中t表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D（t）在0≤t≤365时的图象．
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【答案】（1）略（2）6月20日 12月20日（3）243天
【解析】 （1）k=6时，．先用五点法画出的简图如图，由和，得t=79和t=444，列出下表：
t
79
170.25
261.5
352.75
444
f（t）
0
3
0
－3
0
若t=0，．
∵的周期为365，
∴．将，t∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到，0≤t≤365的图象，如右图所示．
（2）白昼时间最长的一天，即D（t）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D（t）取最小值，即12月20日白昼最短．
（3）D（t）＞10.5，即，，t∈[0，365]．
∴292＞t＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．
类型三：三角函数模型在物理学中的应用
例3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化规律为：
，t∈[0，+∞）．
用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？
（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
（3）经过多少秒，小球往复运动一次？
【答案】（1） （2）（3）3.14
【解析】 列表如下：
t
0
π
2π
s
4
0
－4
0
作图（如图）．
（1）将t=0代入，
得．
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是cm，方向为正向．
（2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
（3）由于这个函数的周期，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．
【总结升华】 （1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）．
（2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad，与时间t满足关系式．
（1）当时，的值是多少？并指出小球的具体位置；
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】
（1）当时，，这时小球恰好在平衡位置；
（2）因为单摆摆动的周期，所以频率；
（3）令t=0，得的最大值为1．故有最大值rad，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是rad．
例4.如图所示，表示电流I与时间t的关系式（A＞0，）在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）为了使中t在任意一段s时间内I能同时取得最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？
【思路点拨】由图象，可求出 ，因此可写出解析式．（2）要满足题意，则必须，解之可得．
【答案】（1）（2）629
【解析】 （1）由图可知，A=300，周期，
∴．
当时，，即．
故图象的解析式为．
（2）要使t在任意一段s的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期．
即．
由于为正整数，故的最小值为629．
【总结升华】 由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对应关系，分别确定A，，．
【巩固练习】
1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,
则sin2θ-cos2θ的值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s
3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
（A）； （B）
（C）； （D）
4．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当s时，电流强度I为（ ）
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
5．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，A=3 B．，A=3
C．，A=6 D．，A=6
6．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为=1°，若很小时，可取sin≈，试估算该气球的高BC约为（ ）
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
8．设是某港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24 h记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．，t∈[0，24]
B．，t∈[0，24]
C．，t∈[0，24]
D．，t∈[0，24]
9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．
11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危（＞0，＞0），则水面高度h与时间t的函数关系式为________．
12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．
（1）求出种群数量关于时间t的函数解析式，t以月为单位；
（2）画出种群数量关于时间t的简图．
13．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
t（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为
则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.
2．【答案】D
【解析】周期（s）．
3．【答案】A
【解析】八边形的面积=
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】A
【解析】 ∵T=15，故，显然的值等于圆O的直径长，即，故．
6．【答案】B
【解析】由周期T=12，得，，．
7．【答案】B
【解析】由已知CD=3 m，，又，
∴，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选B．
8．【答案】A
【解析】在中，．
，，而T=12，，显然．
9．【答案】
【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，
将点（0.1，2）代入，得．
10．【答案】60米，米
【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，
在Rt△CDE中，．
∴乙楼的高度为米．
11．【答案】
【解析】由题图知A=6，T=12，，又由，得，，k∈Z．
所以．
12．【解析】（1）设所求的函数解析式为，则，A=100，且，所以．又．所以．因此所求的函数解析式为．
（2）图象（简图）如图．
13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此，．
又当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13，得b=10，A=13―10=3．
于是所求函数解析式为．
（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）．
令，可得．
∴（k∈Z）．
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．
取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；
而取k=2时，则25≤t≤29（不合题意）．
∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．
【学习目标】
1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；
2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【典型例题】
类型一：三角函数周期性的应用
例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）试确定在时间t min时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P点距离地面超过70 m？
【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A，h，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t）．（2）解不等式可得．
【答案】（1）（2）1分钟
【解析】（1）以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=40，h=50，T=3，，即，又，，，所以．
（2）令，
所以，所以，
所以，所以3k+1＜t＜3k+2．
令k=0，得1＜t＜2．
因此，共有1分钟时间距地面超过70 m．
【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A，ω的值和M，P两点间的距离．
【答案】 5
【解析】 依题意，有，，
又，∴．∴，x∈[0，4]．
∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0），
∴（km）．
类型二：三角函数模型在天气中的应用
例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时）
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期位置
序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间
y（小时）
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
（1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图；
（2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？
【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得．
【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天
【解析】 （1）如图所示．
（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为，
由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax=19.4，ymin=5.4，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4．
又T=365，∴．
∴（等于，，，均可）．
∴（1≤x≤365，x∈N*）．
（3）由y＞15.9，得，
∴，
，∴112≤x≤232．
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题．
举一反三:
【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D（t）可由下式计算：，其中t表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D（t）在0≤t≤365时的图象．
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【答案】（1）略（2）6月20日 12月20日（3）243天
【解析】 （1）k=6时，．先用五点法画出的简图如图，由和，得t=79和t=444，列出下表：
t
79
170.25
261.5
352.75
444
f（t）
0
3
0
－3
0
若t=0，．
∵的周期为365，
∴．将，t∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到，0≤t≤365的图象，如右图所示．
（2）白昼时间最长的一天，即D（t）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D（t）取最小值，即12月20日白昼最短．
（3）D（t）＞10.5，即，，t∈[0，365]．
∴292＞t＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．
类型三：三角函数模型在物理学中的应用
例3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化规律为：
，t∈[0，+∞）．
用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？
（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
（3）经过多少秒，小球往复运动一次？
【答案】（1） （2）（3）3.14
【解析】 列表如下：
t
0
π
2π
s
4
0
－4
0
作图（如图）．
（1）将t=0代入，
得．
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是cm，方向为正向．
（2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
（3）由于这个函数的周期，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．
【总结升华】 （1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）．
（2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad，与时间t满足关系式．
（1）当时，的值是多少？并指出小球的具体位置；
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】
（1）当时，，这时小球恰好在平衡位置；
（2）因为单摆摆动的周期，所以频率；
（3）令t=0，得的最大值为1．故有最大值rad，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是rad．
例4.如图所示，表示电流I与时间t的关系式（A＞0，）在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）为了使中t在任意一段s时间内I能同时取得最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？
【思路点拨】由图象，可求出 ，因此可写出解析式．（2）要满足题意，则必须，解之可得．
【答案】（1）（2）629
【解析】 （1）由图可知，A=300，周期，
∴．
当时，，即．
故图象的解析式为．
（2）要使t在任意一段s的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期．
即．
由于为正整数，故的最小值为629．
【总结升华】 由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对应关系，分别确定A，，．
【巩固练习】
1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,
则sin2θ-cos2θ的值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s
3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
（A）； （B）
（C）； （D）
4．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当s时，电流强度I为（ ）
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
5．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，A=3 B．，A=3
C．，A=6 D．，A=6
6．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为=1°，若很小时，可取sin≈，试估算该气球的高BC约为（ ）
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
8．设是某港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24 h记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．，t∈[0，24]
B．，t∈[0，24]
C．，t∈[0，24]
D．，t∈[0，24]
9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．
11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危（＞0，＞0），则水面高度h与时间t的函数关系式为________．
12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．
（1）求出种群数量关于时间t的函数解析式，t以月为单位；
（2）画出种群数量关于时间t的简图．
13．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
t（小时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为
则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.
2．【答案】D
【解析】周期（s）．
3．【答案】A
【解析】八边形的面积=
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】A
【解析】 ∵T=15，故，显然的值等于圆O的直径长，即，故．
6．【答案】B
【解析】由周期T=12，得，，．
7．【答案】B
【解析】由已知CD=3 m，，又，
∴，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选B．
8．【答案】A
【解析】在中，．
，，而T=12，，显然．
9．【答案】
【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，
将点（0.1，2）代入，得．
10．【答案】60米，米
【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，
在Rt△CDE中，．
∴乙楼的高度为米．
11．【答案】
【解析】由题图知A=6，T=12，，又由，得，，k∈Z．
所以．
12．【解析】（1）设所求的函数解析式为，则，A=100，且，所以．又．所以．因此所求的函数解析式为．
（2）图象（简图）如图．
13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此，．
又当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13，得b=10，A=13―10=3．
于是所求函数解析式为．
（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）．
令，可得．
∴（k∈Z）．
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．
取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；
而取k=2时，则25≤t≤29（不合题意）．
∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．