苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：18《三角函数》全章复习与巩固(提高)word版含答案解析

三角函数综合

【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.
3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义.
5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．
6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.
【知识网络】
【典型例题】
类型一：三角函数的概念
例1. 已知角的终边过点，求的三个三角函数值.
【思路点拨】分两种情况求的三个三角函数值．
【解析】因为过点，所以，.
当；
，.
当，；.
【总结升华】(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；
(2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
类型二：扇形的弧长与面积的计算
例2．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
【答案】
【解析】设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是
依题意，得
≈≈
【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：
举一反三：
类型三：同角三角函数的基本关系式
例3．已知，求的值.
【思路点拨】由题意知，所以A为钝角，然后求出即可求得．
【解析】
方法一：由，得
又
由 得
方法二：由可得
即整理得
即
或，由已知知不合题意，舍去.
，两边平方得：，所以
【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．
举一反三：
【变式1】已知cosθ－sinθ= －， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
【答案】
【解析】
，，
，
【变式2】证明：.
【证明】 [法1]——右到左，切化弦，由繁到简.
右左.
[法2](证与原式等价的式子)即证：.
左右.
类型四：三角函数的诱导公式
例4．已知sin(3π＋θ)＝，求的值．
【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－．然后化简要求的式子，即可求得结果．
【答案】18
【解析】　∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，
∴原式＝
＝
＝＋＝
＝＝＝18.
【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数k来讲的，象限指中，将看作锐角时，所在象限，如将写成，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又看作第四象限角，为“+”，所以有.
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 009)＝3，则f(2 010)的值是 (　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．1
【答案】C
【解析】
f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－3.
【变式2】化简(1)
(2)．
【解析】(1)当n=4k(k∈Z)时，
当n=4k+1(k∈Z)时，
当n=4k+2(k∈Z)时，
当n=4k+3(k∈Z)时，
(2)①当时，
原式．
②当时，
原式．
【总结升华】关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
类型五：三角函数的图象和性质
例5. 函数的图象是( )
【答案】A
【解析】是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.
举一反三：

【变式1】函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
例6．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）
【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．
【答案】A
【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移?1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点和，且在区间上函数值小于0，由此可得，选项A正确，故选A．
举一反三：
【变式1】已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象（ ）
A． 向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【思路点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．
【答案】A
【解析】
由题知又，所以所以
=
=
显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象．故选A．
例7．已知函数其中，
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．
【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出，由，
，求出的值．（Ⅱ）由题意求得，，故，进一步求出的解析式．
【答案】（I）（Ⅱ）
【解析】
（I）由，得，得
又．
（Ⅱ）由（I）得，
依题意，
又故
函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为

是偶函数当且仅当
即
从而，最小正实数
　【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数的性质，属中等难度题．
举一反三：
【变式1】已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）最小值为1，最大值为．
【解析】（1）由最低点为
由
由点在图像上得即
又，
（Ⅱ）
．
【巩固练习】
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A.是周期函数为的奇函数 B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数
4．已知函数的图象关于直线对称，则可能是（ ）
A. B. C. D.
5．函数在区间上的简图是（ ） ．
6．设是定义域为，最小正周期为的函数，若
则等于（ ）
A. B. C. D.
7．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.设0A.sin(sinx)C.sin(tanx)9．函数的定义域为，则函数的定义域为__________________.
10．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________．
11．函数的定义域为________________．
12．如图所示，一个半径为3m的圆形水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟绕圆心O逆时针旋转3圈．若点P从如图位置开始旋转（OP平行于水面），那么5s后点P到水面的距离为 m，试进一步写出点P到水面的距离与时间满足的函数关系式 ．
13．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）
14．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示：
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
15．是否存在角，其中，，使得等式
同时成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
2. 【答案】C
【解析】 在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
3．【答案】B
4. 【答案】C
【解析】对称轴经过最高点或最低点，
5．【答案】A
6. 【答案】B
【解析】
7．【答案】 B
【解析】令，则，对称轴，
是函数的递增区间，当时；
8. 【答案】A
【解析】当09. 【答案】
【解析】
10. 【答案】
【解析】令则是函数的关于
原点对称的递增区间中范围最大的，即，
则
11．【答案】
【解析】
12. 【答案】
【解析】每秒点P转过的角度为；秒后，P转过的角度为．
以水轮中心为原点，以水平方向为轴建立坐标系，所以水轮上任意一点P，其中为从水平位置逆时针转过的角度，即P，所以P到水面的距离．
13．【解析】由已知得
（1）=
（2）原式=
=
=
=．
14．【解析】　(1)由图象可知，函数的最大值M=3，
最小值m=-1，则A=
又，
∴，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1，
将x=，y=3代入上式，得，
∴，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=，
∴f(x)=2sin+1.
(2)由2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，
∴f(x)=2sin+1的对称轴方程为
kπ，k∈Z.
15．【解析】假设满足题设要求的存在，则满足

（1）2+（2）2，得
即，
，或
（1）当时，由（2）得，
，
（2）当时，由（2）得，，但不适合（1）式，故舍去．
综上可知，存在使两个等式同时成立．
16．【解析】由，得因为，所以．
又的图象关于点对称，所以，即，
结合，可得，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是减函数；
当时，，在上不是单调函数；
所以，综上得或．