苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：20向量的概念及表示(提高)
文档属性
| 名称 | 苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：20向量的概念及表示(提高) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 315.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-18 10:19:36 | ||
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文档简介
平面向量的实际背景及基本概念
【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；
(3)若，则
(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．
(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．
(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．
(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．
举一反三：
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量与共线，则=；
④若=，则；
⑤向量与平行，则与的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．
类型二：向量的表示方法
例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点．
（1）作出向量，，；
（2）求．
【解析】 （1）如图所示．
（2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD．
又，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴（千米）．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【变式2】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在图所示向量中，
（1）写出与，，相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
【解析】 （1），，。
（2），，。
【总结升华】利用三角形的中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是常考题型，要注意掌握解决这类问题的方法．
【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，
试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？
（2）与平行且模为的向量有几个？
（3）与同向且模为有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且。
求证：。
证明：∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB。
又∵与的方向相同，∴。
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴。
∵，，∴，
又与的方向相同，∴。
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若，则且AB∥CD。
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．
【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例4． 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
【解析】 （1）如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB+BC=70（n mile）．
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为，由于，故方向为北偏东53°．
【总结升华】 本题往往会误认为路程和位移是一致的，事实上，路程是指物体行进轨迹的长度，只有大小，而位移只与物体起点和终点有关，有大小和方向，与行进的轨迹无关．
举一反三：
【变式1】已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km，飞机向西飞行50km，飞机向东飞行50km．下列判断中正确的是（ ）．
A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
【答案】B
【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则、方向相同或相反；③若向量、满足，且与同向，则；④若=，则，的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
3．若且，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
4．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A．＞ B．∥ C．＞0 D．
5．如图，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
6．正多边形有n条边，它们对应的向量依次为，，…，，则这n个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．下列说法中，正确的是（ ）．
A．若＞，则＞ B．若=，则=
C．若=，则∥ D．若≠，则与不是共线向量
8．下列命题正确的是( )
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，，则__________．
10．已知四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状是________．
11．若某人从点出发向东走3至点，从点向北走至点C，则点C相对于点的位置向量为 。
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．如图所示，已知□ABCD，□AOBE，□ACFB，□ACGD，□ACDH，点O是?ABCD的对角线交点，且＝，＝，＝.
(1)写出图中与相等的向量；
(2)写出图中与相等的向量；
(3)写出图中与相等的向量．
14．若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：．
15．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行l 000应km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
④错误．由=，只能说明、的长度相等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
3．【答案】C
【解析】 ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵，∴四边形为菱形．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
【解析】 共线向量有：，，，，，，7个．
6．【答案】D
【解析】 由于正多边形的n条边都相等．
7．【答案】C
【解析】 向量不能比大小，故A错；模相等但方向不同的向量不相等，故B错；不相等的向量可以共线．故D错．
8．【答案】D
【解析】 当时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
在?ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】
【解析】 ，∴．
10．【答案】等腰梯形
【解析】 由可知AB∥DC且，又．前者可知为梯形，后者知腰相等．
11．【答案】“东偏北60°，6km”或“北偏东30°，6km”
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】 (1)在□OAEB中，＝＝；在□ABCD中，＝＝，所以＝＝.
(2)在□ABCD中，＝＝；在□AOBE中，＝＝，所以＝＝.
(3)在□ABCD中，＝＝；在□ACGD中，＝＝，所以＝＝.
14．【解析】如图所示，连接AC，在△DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
∴，且与的方向相同．同理可得且与的方向相同，故有，且与的方向相同，∴．
15．【解析】如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°，．
∴△ACD为等腰直角三角形，即km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km．
【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；
(3)若，则
(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．
(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．
(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．
(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．
举一反三：
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量与共线，则=；
④若=，则；
⑤向量与平行，则与的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．
类型二：向量的表示方法
例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点．
（1）作出向量，，；
（2）求．
【解析】 （1）如图所示．
（2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD．
又，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴（千米）．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【变式2】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在图所示向量中，
（1）写出与，，相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
【解析】 （1），，。
（2），，。
【总结升华】利用三角形的中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是常考题型，要注意掌握解决这类问题的方法．
【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，
试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？
（2）与平行且模为的向量有几个？
（3）与同向且模为有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且。
求证：。
证明：∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB。
又∵与的方向相同，∴。
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴。
∵，，∴，
又与的方向相同，∴。
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若，则且AB∥CD。
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．
【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例4． 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
【解析】 （1）如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB+BC=70（n mile）．
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为，由于，故方向为北偏东53°．
【总结升华】 本题往往会误认为路程和位移是一致的，事实上，路程是指物体行进轨迹的长度，只有大小，而位移只与物体起点和终点有关，有大小和方向，与行进的轨迹无关．
举一反三：
【变式1】已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km，飞机向西飞行50km，飞机向东飞行50km．下列判断中正确的是（ ）．
A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
【答案】B
【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则、方向相同或相反；③若向量、满足，且与同向，则；④若=，则，的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
3．若且，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
4．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A．＞ B．∥ C．＞0 D．
5．如图，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
6．正多边形有n条边，它们对应的向量依次为，，…，，则这n个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．下列说法中，正确的是（ ）．
A．若＞，则＞ B．若=，则=
C．若=，则∥ D．若≠，则与不是共线向量
8．下列命题正确的是( )
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，，则__________．
10．已知四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状是________．
11．若某人从点出发向东走3至点，从点向北走至点C，则点C相对于点的位置向量为 。
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．如图所示，已知□ABCD，□AOBE，□ACFB，□ACGD，□ACDH，点O是?ABCD的对角线交点，且＝，＝，＝.
(1)写出图中与相等的向量；
(2)写出图中与相等的向量；
(3)写出图中与相等的向量．
14．若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：．
15．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行l 000应km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
④错误．由=，只能说明、的长度相等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
3．【答案】C
【解析】 ∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵，∴四边形为菱形．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
【解析】 共线向量有：，，，，，，7个．
6．【答案】D
【解析】 由于正多边形的n条边都相等．
7．【答案】C
【解析】 向量不能比大小，故A错；模相等但方向不同的向量不相等，故B错；不相等的向量可以共线．故D错．
8．【答案】D
【解析】 当时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
在?ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】
【解析】 ，∴．
10．【答案】等腰梯形
【解析】 由可知AB∥DC且，又．前者可知为梯形，后者知腰相等．
11．【答案】“东偏北60°，6km”或“北偏东30°，6km”
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】 (1)在□OAEB中，＝＝；在□ABCD中，＝＝，所以＝＝.
(2)在□ABCD中，＝＝；在□AOBE中，＝＝，所以＝＝.
(3)在□ABCD中，＝＝；在□ACGD中，＝＝，所以＝＝.
14．【解析】如图所示，连接AC，在△DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
∴，且与的方向相同．同理可得且与的方向相同，故有，且与的方向相同，∴．
15．【解析】如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°，．
∴△ACD为等腰直角三角形，即km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km．