苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：22向量的线性运算(提高)

平面向量的线性运算

【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.
2．能结合图形进行向量的计算．
3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．
4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．
5．掌握向量共线的条件．
【典型例题】
类型一：向量的加法运算
例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++．
【解析】 利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则．
利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则．

【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
举一反三：
【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．
【证明】如图所示，在四边形CDEF中，，
所以．
在四边形ABFE中，，所以．
所以．
因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以．
【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．
类型二：向量的减法运算
例2．（1）在平面内任画两个非零向量、，求作－；
（2）如图，已知不共线的两个非零向量、，求作向量―，―．
【解析】 （1）①当、共线时，若、同向，如下图甲．任取一点A，作，，则．

若、反向，如上图乙．任取一点，作，，则．
②当、不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作，，则．
．

（2）作，，则，，如图（右）．
【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．
（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．
举一反三：
【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（ ）．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【答案】Ｂ

【变式2】化简
【解析】原式=．
类型三：与向量的模有关的问题
例3．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．
【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，
∴|++|的最大值为6．
（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．
∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，
∴，，
于是，
∴．
【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．
举一反三：
【变式1】已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如图，，，则．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．
类型四：向量的数乘运算
例4． 计算下列各式：
（1）4(+)―3(―)；
（2）3(―2+)―(2+―3)；
（3）．
【解析】 （1）原式=4―3+4+3=+7．
（2）原式=3―6+3―2―+3=―7+6．
（3）原式
．
【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）6(3―2)+9(―2+)；
（2）；
（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．
【解析】 （1）原式=18―12―18+9=―3．
（2）
．
（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2
=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)
=6+2．
例5.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.
【解析】在中

【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三：

【变式1】如图，已知三边中点为，求证：.
【解析】
=
==
=
=
【变式2】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．
【解析】 ∵，
∴，
∵，
∴，
．
类型五：共线向量与三点共线问题
例6.设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
【思路点拨】 要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.
【解析】(1)证明?
　　共线，又有公共点，
　　∴三点共线.
(2)解? ∵ 和 共线，
　　∴存在，使，
　　则由于 和不共线，
　　只能有 则.
【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)
举一反三：
【变式1】两个非零向量，不共线．
（1）若，，，求证：A、B、D三点共线．
（2）求实数k，使k+与2+k共线．
【解析】证明三点共线，一般转化为证明有共同起点的两个向量共线，可用向量的共线定理进行讨论．
（1）证明：因为，所以与共线，又因为它们有公共起点A，所以A、B、D三点共线．
（2）解：因为k+与2+k共线，所以存在实数使k+=(2+k)，即(k―2)+(1―k)=0．所以，解得或，所以．
【总结升华】若与不共线，则向量1+1与向量2+2共线需要满足条件：（其中2≠0，2≠0）．
类型六：向量的综合应用
例7．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心．
【思路点拨】 要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性质证之．
【证明】 ∵，
∴，即是与方向相反且长度相等的向量．
如图所示，以OB、OC为相邻两边作OBDC，则，
∴．
在OBDC中，设BC与OD相交于E，则，，
∴AE是△ABC的BC边上的中线，且．
根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．
【总结升华】若且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．
若且直线AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
举一反三：
【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：．
证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如图．
∵E是AD的中点，∴．
∵F是BC的中点，∴，
又∵，
∴．
∴．
【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．
例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h，水流的速度是6 km / h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？
【解析】如图（1）所示，为汽艇在静水中的速度，为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为，在Rt△ADC中，，，，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．

如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为，则．在Rt△ABC中，，，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．
【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．
举一反三：
【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？
【解析】设表示水流速度，表示船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB为一边，以AC为对角线作ABCD，则AD就是船的速度（如图）．
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，，，
所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．
【巩固练习】
1．下列等式不成立的是（ ）
A．+= B．+=+ C． D．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
3．化简等于（ ）
A．0 B． C． D．
4．在矩形ABCD中，，，则向量的长度等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，，则点P一定在（ ）
A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
6.已知向量，若与共线，则( )
A. B. C. D.或
7．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）
A．， B．，
C． D．，
8.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )
A.｜2｜＞｜-2｜ B.｜2｜＜｜-2｜
C.｜2｜＞｜2-｜ D.｜2｜＜｜2-｜
9．（1）与非零向量共线的单位向量为 ；（2）已知向量与方向相反，则
．
10．已知，不共线，有两个不等向量、且=k+，=+k，当实数k=________时，、共线．
11．在矩形ABCD中，O为AC、BC的交点，若，，则=________．
12．在ABCD中，E、F分别在DC和AB上，且，，则与的关系是____．
13.已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设.
(1)用与表示；
(2)若，求实数的值.
14．如图，已知向量，，∠DAB=120°，且||=||=3，求|+|和|－|．
15．已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：A、B、D三点共线．
（2）欲使k+和+k共线，试确定实数k的值．
16．已知平面中不同的四点和非零向量，且，．
（1）证明：三点共线；
（2）若与共线，证明四点共线．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 ，而不是数0．
2. 【答案】B
【解析】向量的加、减法法则.
3．【答案】B
【解析】．
4．【答案】B
【解析】．，∴，∴．
5．【答案】B
【解析】易得，即，从而，又，有一个公共点P，所以C、P、A三点共线，又，所以点P在直线AC上．
6. 【答案】D
【解析】非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=；与任一向量共线.
7．【答案】A
【解析】 由向量加法运算法则可知，及点P在对角线AC上，故与同向，且，故，∈（0，1）．
8. 【答案】A
【解析】若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令， ，则，
∴且；
又BA+BC>AC ∴
∴，选A.
9．【答案】（1）（2）
10．【答案】―1
【解析】 =k+=(+k)(k―)=(k―1) ，k=±1．当k=1时，a=+=b=+，∴k=－1．
11．【答案】
【解析】．
12．【答案】
【解析】设，，∵，，∴，．
13. 【解析】(1)∵A是BC中点
∴2，而
(2)设
∵共线∴存在实数k，使
，.
14．【解析】以AB、AD为邻作平行四边形ABCD，
由于，故此四边形为菱形．
由向量的加减法知，，，
故，，
因为∠DAB=120°，所以∠DAC=60°，
所以△ADC是正三角形，则，
由于菱形对角线互相垂直平分，所以△AOD是直角三角形，
，即．
15．【解析】（1）∵，．
∴，共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．
（2）∵k+与+k共线，∴存在，使k+=(+k)，
则(k―)=(k―1) ，由于与不共线，
只能有，∴k=±1．
16．（1）证明：，,
，因为二者均经过B，所以A、B、D三点共线．
（2）证明：与共线，设，，．
，，
,所以B、C、D三点共线，又A、B、D三点共线
所以A、B、C、D四点共线．