苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：24向量的坐标表示(提高)（Word版）

平面向量的基本定理及坐标表示

【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理

例1．如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：
（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）
=
=
=
=
（2）=
（3）在中，取
同理：
是的中点
==
【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．
举一反三：
【变式1】△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.
【思路点拨】选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.
【解析】设
又
…①
又
而
………………②
比较①②，由平面向量基本定理得：
解得：或（舍） ，把代入得：
.
例2．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示．
【思路点拨】直接利用、表示比较困难，可以先设，再根据三点共线的知识寻找出的两个方程，联立方程组，解之即得．
【解析】设（m，n∈R），则．
，
∵A、M、D三点共线，，
∴，即m+2n=1． ①
而，，
∵C、M、B三点共线，，
∴，即4m+n=1． ②
由，解得，∴．
【总结升华】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
举一反三：
【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量．
【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足
．
由C、E、M三点共线知存在实数n，
满足．
所以．
即，解得，即．
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例3．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线m+n=1，且成立；（2）上述条件成立A、B、P三点共线．
【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件．
若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使，即，∴．
令，n=，则且m+n=1．
（2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线．
若且m+n=1，则．
则，即．
∴与共线，∴A、B、P三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果，，，求证：A，C，D三点共线．
【解析】 因为，所以与共线．
类型三：平面向量的坐标运算
例4．已知，且求M、N及的坐标.
【思路点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.
【解析】

设，则
同理可求，因此
【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
举一反三：
【变式1】 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.
【解析】设点C、D的坐标分别为，
由题意得
因为，
所以有和，解得和
所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而
类型四：平面向量平行的坐标表示
例5. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
【思路点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出.
【解析】
(1)
(2)
又且
【总结升华】
(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解；
(2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.
举一反三：
【变式1】向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？
【解析】 ，
．
∵A、B、C三点共线，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．
整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．
∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【总结升华】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量，共线，本题还可以利用A、B、C三点共线或，即得k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【变式2】已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若为实数，（a+b）∥c，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B

例6．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，
则．
，
由与共线得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得，
所以．所以P点坐标为（3，3）．
方法二：设P（x，y），则，
因为，且与共线，所以，即x=y．
又，，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P点坐标为（3，3）．
【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．
（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
【解析】设．
∵，
∵．
又，而与共线，
∴4(10―11)+8(4+1)=0，
解之，得．设点P的坐标为（xP，yP），
∴，
∴，即．
故点P的坐标为（6，4）．
【总结升华】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：
（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；
（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；
（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；
（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．
【巩固练习】
1．如果、是平面内所有向量的一组基底，那么（ ）
A．若实数1、2使1+2=0，则1=2=0
B．空间任一向量可以表示为=1+2，这里1、2是实数
C．对实数1、2，1+2不一定在平面内
D．对平面中的任一向量，使=1+2的实数1、2有无数对
2．已知向量=（1，2），=（x，1）且+2与2―平行，则x等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．若三点共线，则有（ ）
A． B． C． D．
4．已知基底、，实数满足，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝，＝，则＝ (　　)
A.＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋
6．若，，，则等于（ ）
A．+ B．+ C．+(1+) D．
7．已知向量＝(6,4)，＝(0,2)，＝＋λ，若点C在函数y＝sinx的图像上，则实数λ的值为 (　　)
A.　　 B. C．－ D．－
8．如图，点P在∠AOB的对顶角区域MON内，且满足：，则实数对（x，y）可以是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，＝，＝，＝3，M为BC的中点，则＝________(用、表示)．
10．已知a＞0，若平面内三点A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=________。
11．已知向量 ，在基底下，若，则实数 ，
=
12．已知=―+3，=4+2，=―3+12，若用与表示，则应有=________。
13．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AD=4，BC=6，AB=2，设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为，以，为基底表示下列向量：，，，，。
14．已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（―2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（―1，―2），求平行四边形的各个顶点的坐标。
15．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及
求：(1)t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 平面内任一向量都可写面与的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量1+2一定在平面内；而对平面中的任一向量，实数1、2是唯一的。
2．【答案】C
【解析】 +2=（1+2x，4），2―=（2―x，3），∴.
3. 【答案】C
【解析】
4．【答案】A
5．【答案】B
【解析】如图所示，＝＋＝a＋
＝＋(－)
＝＋.
6．【答案】D
【解析】 ∵，，
又，∴，
∴。
7．【答案】D
【解析】，∴点C(6,4＋2λ)，∵点C在y＝sinx上．
∴4＋2λ＝sin×6＝1，∴λ＝－.
8．【答案】 C
【解析】在题图中，作PF∥ON交OM于点F，PE∥OM交ON于点E，得平行四边形OEPF，则，易知，与反向，与反向，所以在中，应有x＜0，y＜0。
9．【答案】
【解析】由，得=，，所以
=
10．【答案】
【解析】A、B、C三点共线，共线，，，
∴a3+a=2(a2+a) a(a2+1)=2a(a+1)，
∴a2―2a―1=0，∴（a＞0）。
11．【答案】
【解析】因为，则 ，所以
12．【答案】
【解析】设，则
，故。
∴，解得，故。
13．【解析】因为，且与同向的单位向量为a0，所以，同理。
则。
又，且，所以，，
。
注意到AD∥BC，所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3，
所以。
14．【解析】设其余三个顶点的坐标分别为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3），
因为M是AB的中点，所以，，
解得x1=8，y1=―1，
设MN的中点O＇（x0，y0），则，，而O＇既是AC的中点，又是BD的中点，
所以，，
即，，
解得x2=4，y2=―3，
同理解得x3=―6，y3=―1，
所以B（8，―1），C（4，―3），D（―6，―1）。
15．【解析】(1) ，若P在x轴上，则2+3t=0，；
若P在y轴上，只需1+3t=0，；
若P在第二象限，则.
(2)因为若OABP为平行四边形，则
无解，所以四边形OABP不能成为平行四边形.