苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：28向量应用(提高)

面向量应用举例

【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥CD。
【思路点拨】将向量和用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成的问题。
【解析】设，正三角形ABC的边长为a，
则。
又，，∴。
∴。
于是有，解得。
∴，，
∴，
，
从而，即，
故BP⊥CD。
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。
举一反三：

【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】D

【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【答案】1 1
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）

当F与C点重合时，上式取到等号。
例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。
求证：AF=AE。
【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。
【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。
因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。
又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。
由，得，即。
又设F（x＇，1），由和共线，
得，解得，
所以。
所以，。
所以。
所以AF=AE。
【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。
举一反三：
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且，求动点P的轨迹方程。
【思路点拨】设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程。
【答案】
【解析】设P，则
由
得：
即
化简得。
【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。
【答案】（1）x―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则。，。
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程。
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0。
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。
∴。又，。
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程。
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）
【答案】 ―22
【解析】 设木块的位移为s，
则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。
F在竖直方向上的分力的大小为。
则（N）。
则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。
即F与f所做的功分别是J与―22 J。
【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。
举一反三：
【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，
（1）F1，F2分别对质点做的功；
（2）F1，F2的合力对质点做的功。
【答案】（1）―28，23；（2）―5
【解析】。
（1）F1做的功，
F2做的功。
（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。
（3）由题意，，
∴，即。
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求。
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。
举一反三：
【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。
【答案】东北方向
【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是东北方向。
答：实际风向是东北方向，风速的大小为km / h。
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。
举一反三：
【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
【答案】 北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。
所以，。
从而，∠CAD=30°。
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。
【巩固练习】
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C． D．
5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
6．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C． 等腰非等边三角形 D．等边三角形
7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．垂心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
8.已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|，则( )
A.⊥ B.⊥(-) 　　 C.⊥(-) 　　D.(＋)⊥(-)
9．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=________，y=________。
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）
11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。
12．夹角为的两个力和作用于同一点，且，则和的合力的大小为
，与的夹角为 。
13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）。试求：
（1）力F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力对质点所做的功。
14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。
（1）求证：CD⊥EF；
（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点
(1)若且，求向量；
(2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。
2．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，、、
∴，||=1。
∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。
设+与的夹角为，
则。
故(―)·(―)的最小值为。
3. 【答案】B
4．【答案】D
【解析】，∴，∴。
5．【答案】A
6. 【答案】D
【解析】设, ,则| |+| |=1。
由已知（+）
，
B=C
又由已知·=
| |·| |，，又
，为等边三角形。
7．【答案】C
【解析】 如图，∵，∴。
依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。
∵，∴，
同理，，∴点P为△ABC的垂心。
由，知O为△ABC的外心。
8. 【答案】C
【解析】已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|
即 |-t|2≥|-|2 ∴
即
9．【答案】
【解析】 作DF⊥AB交AB的延长线于点F，设AB=AC=1，则，
∵∠DEB=60°，∴，
又∠DBF=180°―45°―90°=45°，
∴，
故，。
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
。即，。
11．【答案】
【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴
12．【答案】
13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3。
（2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102。
14．（1）【证明】根据题意，，
设，则，，，
，
因为，
所以，因此CD⊥EF。
（2）解：当OD=OC时，即，
∴，，即，
所以可设直线方程为，
又直线经过点C（0，2）。
所以直线的方程为。
15．【解析】
又，得.
或
与向量共线，
，当时，取最大值为
由，得，此时
.