陕西省渭南市临渭区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

临渭区2019~2020学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∩N＝（　　　　）
A. {﹣1，0，1，2} B. {﹣1，0，1} C. {0，1，2} D. {0，1}
2.函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. 2 D. 2
3.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与A1B所成的角是（ ）
A. B. C. D.
5.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）.
A. B. C. D.
6.圆和圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 内含 C. 相离 D. 外切
7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 16π D. 8π
8.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α,n∥α,则 m∥n
B. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C. 若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.
D. 若m∥α,n∥α,且m(β, n(β,则α∥β
11.若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或 D.
12.已知函数，且方程有三个不同的实数根，，，则的取值范围为　　
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题纸中的横线上）
13.函数的定义域为________．
14.如图,一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是△,其中,则该直观图所表示的平面图形的面积为___________.
15.若函数的定义域是[0,2],则函数f(x)的值域为_________.
16.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, , 则_________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知直线l1经过点(－3,1),直线l2: 2x－y－1=0.
(1)若l1∥l2, 求直线l1的方程；
(2)若l1⊥l2, 求直线l1的方程.
18.已知函数 (a>0,a≠1)是指数函数.
(1)求a的值,判断的奇偶性,并加以证明；
(2)解不等式 .
19.如图所示的多面体中, AC⊥BC,四边形ABED是正方形,平面ABED⊥平面ABC,点F,G,H分别为BD,EC,BE的中点,求证:
(1) BC⊥平面ACD
(2)平面HGF∥平面ABC.
20.寒假即将到来,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每在支出20元的各种费用(人工费,消耗费用等等).受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)
(1)设宾馆一天的利润为W元, 求W与x的函数关系式；
(2)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
21.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点.
(1)求证: 平面BEC1⊥平面ACC1A1；
(2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积.
22.已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4).
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率；
(3)在直线l3: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
答案与解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|0≤x≤2}，则M∩N＝（　　　　）
A. {﹣1，0，1，2} B. {﹣1，0，1} C. {0，1，2} D. {0，1}
【答案】C
【解析】
【分析】
直接通过M和N，求M∩N即可.
【详解】解：因为M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|0≤x≤2}，
所以M∩N＝{0，1，2}，
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.
2.函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. 2 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最小值.
【详解】易知函数在R上单调递减，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(－1,0,2), 则点M到原点O的距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求解.
【详解】由题：空间直角坐标系中，到的距离.
故选：D
【点睛】此题考查空间直角坐标系中两点距离公式的应用，根据公式直接求解.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与A1B所成的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，通过平行关系，异面直线AC与A1B所成的角即或其补角.
【详解】连接，如图：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为，，
即是等边三角形，
，，所以四边形是平行四边形，
所以，异面直线AC与A1B所成的角即或其补角，
在中，，
即异面直线AC与A1B所成的角为
故答案为：C
【点睛】此题考查空间几何体中求异面直线所成角的大小，常用平行关系转化在三角形中求解.
5.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
得出n年后的沙漠化土地面积y关于n的函数，从而得出答案．
【详解】设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，
则y＝7×（1﹣10%）n，
故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96．
故选C．
【点睛】本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题．
6.圆和圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 内含 C. 相离 D. 外切
【答案】A
【解析】
【分析】
写出圆心坐标和半径，求出圆心距即可得出两圆的位置关系.
【详解】设圆的圆心为，半径，
圆即，设其圆心，半径，
圆心距，，
所以两圆相交.
故选：A
【点睛】此题考查两圆的位置关系，关键在于准确写出圆心坐标和半径大小，通过圆心距与半径之和及半径之差的绝对值之间的大小关系判断位置关系.
7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2,则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 16π D. 8π
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，是一个球挖掉四分之一之后剩下的几何体，根据体积公式即可求解.
【详解】由三视图可得原几何体如图所示：
所以其体积.
故选：D
【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，求几何体体积问题，关键在于准确辨析三视图与几何体关系，有必要在平常学习中积累常见几何体的三视图特征.
8.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用中间值比较所给的数与0、1、2的大小即可得到a,b,c的大小关系.
【详解】由题意可知：，，，则.
故选B.
【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．
【详解】当x<0时，f（x）0．排除AC，
f′（x），令g(x)
g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，
当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，
存在，使得g()=0，
且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，
当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，
∴B不正确，
故选D．
【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．
10.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α,n∥α,则 m∥n
B. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C. 若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.
D. 若m∥α,n∥α,且m(β, n(β,则α∥β
【答案】C
【解析】
【分析】
平行于同一平面的两条直线可能平行、异面、相交，所以A错；
垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以B错；
一个平面内两条相交直线平行于另一个平面才能判定面面平行，所以D错；
两个平面垂直，可得这两个平面的垂线互相垂直.
【详解】用具体例子辨析：长方体中，是的中点，则
A选项：直线均与平面平行，但不平行，所以错误；
B选项：平面和平面均与平面垂直，但平面和平面相交，不平行，所以错误；
C选项：若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,可以考虑直线m，n的方向向量是平面α,β的法向量，两平面垂直，则法向量垂直，即m⊥n，选项正确；
D选项：平面内的两条直线均平行于且不在平面内，即直线均平行于平面，但平面不平行于平面，所以错误.
故选：C
【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，要求准确掌握常见点线面位置关系基本原理和定理，准确辨析，可以考虑在具体的几何体中辨析.
11.若函数在上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
得出函数的对称轴方程，对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出实数的取值范围.
【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，函数在区间上单调递增，合乎题意；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，函数在区间上不单调，不合乎题意；
③当时，函数在区间上单调递减，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是或，故选C.
【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数，解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴，再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
12.已知函数，且方程有三个不同的实数根，，，则的取值范围为　　
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知，方程有三个不同的实数根即等价于函数的图象与直线
有三个交点，，，故有，即可求出以及，因而求出的取值范围．
【详解】解：作出函数的图象，方程有三个不同的实数根
即等价于函数的图象与直线有三个交点，，，故有，
不妨设，因为点，关于直线对称，所以，
，即，故．
故选．
【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的横坐标之间的关系，属于中档题．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题纸中的横线上）
13.函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
分析】
由题意得，解不等式求出范围后可得函数的定义域．
【详解】由题意得，
解得，
∴函数的定义域为．
故答案为．
【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果．
14.如图,一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是△,其中,则该直观图所表示的平面图形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据斜二测直观图的作图方法还原平面图，即可求出其平面图形的面积.
【详解】由题：在直观图中，，所以，
所以，
还原平面图：
，
所以直观图面积.
故答案为：
【点睛】此题考查利用斜二测法作直观图，准确掌握原图与直观图的关系对于正确解题能起到事半功倍的作用.
15.若函数的定义域是[0,2],则函数f(x)的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据定义域求出，则，即可得出函数值域.
【详解】函数的定义域是[0,2],即，
，即函数f(x)的值域为.
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数定义域求函数的值域，关键在于准确得出对数型函数的单调性即可求出值域.
16.已知函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, , 则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性即可得解.
【详解】，，
函数f(x)是奇函数,当x∈(0,1)时, ,
则.
故答案为：
【点睛】此题考查根据函数奇偶性求值，关键在于准确分析出范围不在题目给定区间上，通过奇偶性求值.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知直线l1经过点(－3,1),直线l2: 2x－y－1=0.
(1)若l1∥l2, 求直线l1的方程；
(2)若l1⊥l2, 求直线l1的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设直线l1的方程，经过点(－3,1)，代入即可求解；
（2）设直线l1的方程，经过点(－3,1)，代入即可求解.
【详解】（1）若l1∥l2, 设直线l1的方程，直线经过点(－3,1)，
即，
所以直线l1的方程；
（2）若l1⊥l2, 直线l1的斜率为，可设其方程，直线经过点(－3,1)，
即，
所以直线l1的方程
【点睛】此题考查根据已知条件求直线方程，关键在于准确利用直线平行和垂直关系得出斜率的关系.
18.已知函数 (a>0,a≠1)是指数函数.
(1)求a的值,判断的奇偶性,并加以证明；
(2)解不等式 .
【答案】（1），是偶函数，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，求出即可；
（2）根据对数函数的单调性解不等式，注意考虑真数恒为正数.
【详解】（1）函数 (a>0,a≠1)是指数函数，
所以，解得：，
所以，
，定义域为R，是偶函数，证明如下：
所以，是定义在R上的偶函数；
（2）解不等式 ，
即解不等式
所以，解得
即不等式的解集为
【点睛】此题考查根据指数函数定义辨析求解参数的值和函数奇偶性的判断，利用对数函数的单调性解对数型不等式，注意考虑真数为正数.
19.如图所示的多面体中, AC⊥BC,四边形ABED是正方形,平面ABED⊥平面ABC,点F,G,H分别为BD,EC,BE的中点,求证:
(1) BC⊥平面ACD
(2)平面HGF∥平面ABC.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质证得平面，得出即可；
（2）利用中位线关系证明平行于平面即可.
【详解】（1）由题：平面ABED⊥平面ABC,交线为，
四边形ABED是正方形,所以，平面ABED，
所以平面，平面，，
由题AC⊥BC, 是平面ACD内的两条相交直线，
所以BC⊥平面ACD
（2）在中分别是的中点，所以，平面，
平面，所以平面，
在中分别是的中点，所以， 所以，
平面，
平面，所以平面，是平面内两条相交直线，
所以平面HGF∥平面ABC.
【点睛】此题考查通过面面垂直的性质证明线面垂直，通过线面平行关系证明面面平行.
20.寒假即将到来,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每在支出20元的各种费用(人工费,消耗费用等等).受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)
(1)设宾馆一天的利润为W元, 求W与x的函数关系式；
(2)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
【答案】（1）；，且x为10的正整数倍；（2）一天住34个房间时，最大利润是10880元.
【解析】
【分析】
（1）每天总收入减去支出即利润，列出函数关系；
（2）根据第一问结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)，，
入住房间个，支出，单价元，
所以利润
即，，且x为10的正整数倍；
（2）由（1）可得，，，且x为10的正整数倍
考虑函数，在单调递增，
所以当时，即房价为340元时利润最大为10880元，此时，一天订房数为34间，
所以一天住34个房间时，最大利润是10880元
【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意准确得出函数关系，根据函数的单调性结合实际意义求出最值.
21.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点.
(1)求证: 平面BEC1⊥平面ACC1A1；
(2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过面面垂直的性质证明BE⊥平面ACC1A1即可得证；
（2）三棱锥A-BEC1的体积即三棱锥C1- ABE的体积，便于求解.
【详解】（1）正三棱柱ABC-A1B1C1中, 为正三角形，E是AC的中点，所以，
平面平面，交线为，平面，所以BE⊥平面ACC1A1，
平面BEC1，所以平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）三棱锥A-BEC1的体积
所以三棱锥A-BEC1的体积
【点睛】此题考查立体几何中面面垂直的证明和三棱锥体积的求法，用到面面垂直的性质和三棱锥体积的转化.
22.已知圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4).
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,求直线l2的斜率；
(3)在直线l3: y=x－2上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】（1）；（2）直线斜率为或者不存在；（3）存在，或.
【解析】
【分析】
（1）设圆心坐标，半径为，通过垂直关系和半径关系求出未知数即可；
（2）若△CMN为直角三角形,则圆心到直线的距离为，即可求解斜率；
（3）使△QEF为正三角形，即，求出点Q的坐标.
【详解】（1）设圆心坐标，半径为，圆C过点A(2,6),且与直线l1: x+y－10=0相切于点B(6,4)，
所以
即，解得，所以
所以圆C的方程：；
（2）过点P(6,24)的直线l2与圆C交于M,N两点,若△CMN为直角三角形,
，所以△CMN为等腰直角三角形，且，
所以圆心到直线l2的距离为，
当直线l2的斜率不存在时，直线方程，
圆心到直线l2的距离为5，符合题意；
当直线l2的斜率存在时，设斜率为，
直线方程为，即
圆心到直线l2的距离为，
即，，
解得，
直线的斜率为或者不存在；
（3）若直线l3: y=x－2上存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F, 使△QEF为正三角形, 即，在中，
设，即
解得或
所以点的坐标为或.
【点睛】此题考查直线和圆的位置关系，其中涉及等价转化思想，将直角三角形关系转化为圆心到直线距离关系求解，将正三角形关系转化成点到圆心距离关系求解．