湘教版八年级数学下册解题技巧专题合集(共6份)

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名称 湘教版八年级数学下册解题技巧专题合集(共6份)
格式 zip
文件大小 3.2MB
资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2020-03-17 10:42:38

文档简介




解题技巧专题:一次函数应用中的综合性问题
类型一 两个一次函数结合的问题
1.(曲靖中考)如图,已知直线y1=-x+1与x轴交于点A,与直线y2=-x交于点B.求:
(1)△AOB的面积;
(2)y1>y2时,x的取值范围.






2.(上海中考)某物流公司引进A,B两种机器人用来搬运某种货物,这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时,A种机器人于某日0时开始搬运,过了1小时,B种机器人也开始搬运,如图,线段OG表示A种机器人的搬运量yA(千克)与时间x(时)的函数图象,线段EF表示B种机器人的搬运量yB(千克)与时间x(时)的函数图象,根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求yB关于x的函数表达式;
(2)如果A,B两种机器人各连续搬运5小时,那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克?











3.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,两车离开A城的距离y(千米)与时刻t(时)的对应关系如图所示:
(1)A,B两城之间距离是多少千米?
(2)求乙车出发多长时间追上甲车;
(3)直接写出甲车出发多长时间,两车相距20千米.【方法16】













类型二 与一次函数相关的分段函数问题
4.小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每次6元的包装费用外,樱桃不超过1kg收费22元,超过1kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元),所寄樱桃为x(kg).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)已知小李给外婆快递了2.5kg樱桃,请你求出这次快递的费用是多少元.














5.如图,正方形ABCD的边长为6cm,动点P从A点出发,在正方形的边上由A→B→C→D运动,设运动的时间为t(s),△APD的面积为S(cm2),S与t的函数图象如图所示,请回答下列问题:
(1)点P在AB上运动的速度为________,在CD上运动的速度为________;
(2)求出点P在CD上时S与t的函数关系式;
(3)t为何值时,△APD的面积为10cm2?











6.(南充中考)小明和爸爸从家步行去公园,爸爸先出发一直匀速前行,小明后出发.他们家到公园的距离为2500m,如图是小明和爸爸所走路程s(m)与步行时间t(min)的函数图象.
(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式;
(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇?
(3)在速度不变的情况下,小明希望比爸爸早20min到达公园,则小明在步行过程中停留时间需作怎样的调整?












类型三 与一次函数相关的最值或方案设计问题
7.学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.










8.(衡阳中考)为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资,已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如下表所示.
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,求总费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式,并写出x的取值范围;【易错8】
(2)求出最低费用,并说明总费用最低时的调配方案.

港口
费用(元/吨)
甲仓库 乙仓库
A港 14 20
B港 10 8















参考答案与解析
1.解:(1)联立解得所以B点的坐标为.令y1=-x+1=0,得x=2,所以点A的坐标为(2,0),所以OA=2,OA上的高为,所以S△AOB=×2×=.
(2)由图可知y1>y2时,x>-1.
2.解:(1)设yB关于x的函数表达式为yB=k1x+b(k1≠0),把点E(1,0)和点P(3,180)的坐标代入,得解得所以yB关于x的函数表达式为yB=90x-90(1≤x≤6).
(2)设yA关于x的函数表达式为yA=k2x(k2≠0),把P(3,180)代入,得180=3k2,k2=60,∴yA=60x.当x=5时,yA=5×60=300;当x=6时,yB=90×6-90=450,450-300=150(千克).
答:B种机器人比A种机器人多搬运了150千克.
3.解:(1)从图象中得A,B两地相距300千米.
(2)设甲车在行驶过程中y与t的表达式为y甲=k1t+b1,∵图象过(5,0)和(10,300)两点,∴解得∴y甲=60t-300.设乙车在行驶过程中y与t的表达式为y乙=k2t+b2,∵图象过(6,0)和(9,300)两点,∴解得∴y乙=100t-600.当乙车追上甲车时,它们所行驶的路程相同,即60t-300=100t-600,解得t=7.5.7.5-6=1.5(小时),∴乙车出发1.5小时追上甲车.
(3)小时或2小时或3小时或小时. 解析:①当y甲=20时,即60t-300=20,解得t=,-5=(小时);②当y甲-y乙=20时,即60t-300-(100t-600)=20,解得t=7,7-5=2(小时);③当y乙-y甲=20时,即100t-600-(60t-300)=20,解得t=8,8-5=3(小时);④当y甲+20=300时,即60t-300+20=300,解得t=,-5=(小时).∴甲车出发小时或2小时或3小时或小时,两车相距20千米.
4.解:(1)当01时,y=6+22+10(x-1)=10x+18.∴y=
(2)当x=2.5时,y=10×2.5+18=43.∴这次快递的费用是43元.
5.解:(1)1cm/s 2cm/s
(2)设点P在CD上时S与t的函数关系式为S=kt+b(k≠0).由图分析知其过(12,18),(15,0)两点.代入得解得∴S=90-6t(12≤t≤15).
(3)当0≤t≤6时,S=3t,△APD的面积为10cm2,即S=10时,3t=10,t=;当12≤t≤15时,90-6t=10,t=.综上所述,当t为s或s时,△APD的面积为10cm2.
6.解:(1)s=
(2)设小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式为s=kt+b,则解得则s=30t+250.当50t-500=30t+250,即t=37.5,即小明出发37.5min与爸爸第三次相遇.
(3)30t+250=2500,解得t=75,即小明的爸爸到达公园需要75min.∵小明到达公园需要的时间是60min,∴小明希望比爸爸早20min到达公园,则小明在步行过程中停留的时间需减少5min.
7.解:(1)设一只A型节能灯的售价是x元,一只B型节能灯的售价是y元.依题意得解得所以一只A型节能灯的售价是5元,一只B型节能灯的售价是7元.
(2)设购进A型节能灯m只,总费用为w元.依题意得w=5m+7(50-m)=-2m+350.∵-2<0,∴当m取最大值时w有最小值.又∵m≤3(50-m),∴m≤37.5.而m为正整数,∴m=37,∴50-m=13.故最省钱的购买方案是购进37只A型节能灯,13只B型节能灯.
8.解:(1)因为从甲仓库运x吨往A港口,则从甲仓库运往B港口的有(80-x)吨,从乙仓库运往A港口的有(100-x)吨,运往B港口的有50-(80-x)=(x-30)吨,所以y=14x+20(100-x)+10(80-x)+8(x-30)=2560-8x(30≤x≤80).
(2)由(1)得y=2560-8x,y随x增大而减少,所以当x=80时总运费最小,y最小=2560-8×80=1920(元),此时的方案为:把甲仓库的全部运往A港口,再从乙仓库运20吨往A港口,乙仓库的余下的全部运往B港口.





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解题技巧专题:中点问题
——遇中点,定思路,一击即中

类型一 直角三角形中,已知斜边中点构造斜边上的中线【方法7】
1.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,AC,BD相交于点E,点G,H分别是AC,BD的中点,若∠BEC=80°,那么∠GHE等于( )
A.5° B.10° C.20° D.30°

第1题图 第2题图 第3题图
2.如图,在△ABC中,D是BC上的点,AD=AB,点E,F分别是AC,BD的中点,AC=6,则EF的长是_______.
3.如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为_______.
类型二 遇两边中点利用(或构造)中位线
4.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,点G,F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为【方法7】(  )
A.3cm B.4cm C.2cm D.2cm

第4题图 第5题图
5.★如图,已知AB=12,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=5,BC=10,点E是CD的中点,则AE的长是________.
6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点.
(1)求证:四边形DECF是平行四边形;
(2)若AC=BC,则四边形DECF是什么特殊四边形?请说明理由.




类型三 中点四边形与特殊平行四边形
7.(舟山中考)如图①,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:

(1)如图②,将图①中的点C移动至与点E重合的位置,点F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;
(2)如图③,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;
(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.















参考答案与解析
1.B 解析:连接AH,CH.∵∠BCD=∠BAD=90°,点H是BD的中点,∴AH=CH=BD.∵点G是AC的中点,∴HG⊥AC,∴∠HGE=90°.又∵∠GEH=∠BEC=80°,∴∠GHE=10°.故选B.
2.3 解析:连接AF.∵AD=AB,F是BD的中点,∴AF⊥BD.又∵E是AC的中点,∴EF=AC=×6=3.
3.16 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=x.在Rt△BDE中,∠BDE=90°,点F为BE的中点,∴BF=EF=DF=4.在Rt△DCF中,CD2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=16.∴x2+(y-4)2=16.
4.D
5.6.5 解析:连接DB,延长DA到F,使AF=DA.∵AD=5,∴AF=5,∴DF=10=BC.∵点E是CD的中点,∴AE=CF.在Rt△ABD中,AD2+AB2=DB2,∴BD==13.∵AB⊥BC,AB⊥AD,∴AD∥BC.又∵DF=BC,∴四边形DFCB为平行四边形,∴FC=DB=13,∴AE=6.5.

6.(1)证明:∵点D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,∴DE∥AC,DE=AC,CF=AC,∴DE∥CF,DE=CF,∴四边形DECF是平行四边形.
(2)解:四边形DECF是菱形.理由如下:∵点E,F分别是边BC,CA的中点,∴CE=BC,CF=AC.又∵AC=BC,∴CE=CF.由(1)知四边形DECF是平行四边形,∴四边形DECF是菱形.
7.(1)证明:如图②,连接BD.∵C,H是AB,AD的中点,∴CH为△ABD的中位线,∴CH∥BD且CH=BD.同理可得FG∥BD且FG=BD,∴CH∥FG且CH=FG,∴四边形CFGH是平行四边形.
(2)解:点D的位置如图③.
(3)解:如图③,∵BD=,∴FG=BD=,∴正方形CFGH的边长为.





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解题技巧专题:利用一次函数解决实际问题
——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义
                
类型一 费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1.(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价;
(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数解析式;
(3)小明家5月份用水26吨,则他家应交水费多少元?








二、分段函数问题
2.(2016·荆州中考)为更新果树品种,某果园计划新购进A,B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种树苗的单价为7元/棵,购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)若在购买计划中,B种树苗的数量不超过35棵,但不少于A种树苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.









三、两个一次函数图象结合的问题

3.随着互联网的发展,互联网消费逐渐深入人们生活,如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象,下列说法:①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元;②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分,每公里计费1.2元;③A点的坐标为(6.5,10.4);④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里,则“顺风车”要比“快车”少用3.4元.其中正确的个数有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

四、分类讨论思想
4.(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示:
(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数关系式;
(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?




类型二 路程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题
5.(2017·青岛中考)A,B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发,图中l1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系,请结合图象解答下列问题:
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2);甲的速度是________km/h,乙的速度是________km/h;
(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?








二、分段函数问题
6.(2016·新疆中考)暑假期间,小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?
(2)求线段AB对应的函数解析式;
(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远?












类型三 工程类问题
一、两个一次函数图象结合的问题


7.甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:①甲队每天挖100米;②乙队开挖2天后,每天挖50米;③甲队比乙队提前3天完成任务;④当x=2或6时,甲、乙两队所挖管道长度都相差100米.正确的有________(填序号).

二、分段函数问题
8.(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求,游泳池必须定期换水、清洗.某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:30全部排完.游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数解析式.

















参考答案与解析
1.解:(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场价为n元.由题意得解得
答:每吨水的政府补贴优惠价为2元,市场价为3.5元.
(2)当0≤x≤14时,y=2x;当x>14时,y=14×2+(x-14)×3.5=3.5x-21.综上所述,y=
(3)∵26>14,∴小明家5月份水费为3.5×26-21=70(元).
答:小明家5月份应交水费70元.
2.解:(1)当0≤x≤20时,设y与x的函数解析式为y=ax,把(20,160)代入y=ax中,得a=8.即y与x的函数解析式为y=8x;当x>20时,设y与x的函数解析式为y=kx+b,把(20,160),(40,288)代入y=kx+b中,得解得即y与x的函数解析式为y=6.4x+32.综上所述,y与x的函数解析式为y=
(2)∵B种树苗的数量不超过35棵,但不少于A种树苗的数量,∴∴22.5≤x≤35.设总费用为W元,则W=6.4x+32+7(45-x)=-0.6x+347.∵k=-0.6<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=35,45-x=10时,总费用最低,即购买B种树苗35棵,A种树苗10棵时,总费用最低,W最低=-0.6×35+347=326(元).
3.D
4.解:(1)设y甲=kx,把(2000,1600)代入,得2000k=1600,解得k=0.8,所以y甲=0.8x.当0<x<2000时,设y乙=ax,把(2000,2000)代入,得2000k=2000,解得k=1,所以y乙=x.当x≥2000时,设y乙=mx+n,把(2000,2000),(4000,3400)代入,得解得所以y乙=
(2)当0<x<2000时,0.8x<x,到甲商店购买更省钱;当x≥2000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x<0.7x+600,解得x<6000;若到乙商店购买更省钱,则0.8x>0.7x+600,解得x>6000;若到甲、乙两商店购买一样省钱,则0.8x=0.7x+600,解得x=6000;故当购买金额按原价小于6000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6000元时,到甲、乙两商店购买花钱一样.
5.解:(1)l2 30 20 解析:由题意可知,乙的函数图象是l2,甲的速度是=30(km/h),乙的速度是=20(km/h).故答案为l2,30,20.
(2)设甲出发xh两人恰好相距5km.由题意30x+20(x-0.5)+5=60或30x+20(x-0.5)-5=60,解得x=1.3或1.5.
答:甲出发1.3h或1.5h两人恰好相距5km.
6.解:(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h.
(2)设线段AB对应的函数解析式为y=kx+b.把点A(1,80),B(3,320)代入得解得∴y=120x-40(1≤x≤3).
(3)当x=2.5时,y=120×2.5-40=260,380-260=120(km).故小刚一家出发2.5h后离目的地120km.
7.①②④
8.解:(1)暂停排水需要的时间为2-1.5=0.5(h).∵排水时间为3.5-0.5=3(h),一共排水900m3,∴排水孔的排水速度是900÷3=300(m3/h).
(2)当2≤t≤3.5时,设Q关于t的函数解析式为Q=kt+b,易知图象过点(3.5,0).∵当t=1.5时,排水300×1.5=450(m3),此时Q=900-450=450,∴点(2,450)在直线Q=kt+b上.把(2,450),(3.5,0)代入Q=kt+b,得解得∴Q关于t的函数解析式为Q=-300t+1050.











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解题技巧专题:勾股定理与面积问题
类型一 直角三角形中,利用面积求斜边上的高
1.(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则C点到AB的距离为【方法1】(  )
A. B. C. D.
2.如图,在2×2的方格中,小正方形的边长是1,点A,B,C都在网格点上,则AB边上的高为(  )
A. B. C. D.

第2题图 第6题图
类型二 结合乘法公式巧求面积或周长
3.直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为(  )
A.96 B.49 C.24 D.48
4.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,则该直角三角形的周长是(  )
A.7cm B.10cm
C.(5+)cm D.12cm
类型三 巧妙分割求面积
5.如图,已知AB=5,BC=12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的面积.











类型四 “勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算
6.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm,B的边长为5cm,C的边长为5cm,则正方形D的边长为(  )
A.cm B.4cm C.cm D.3cm
7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为(  )
A.4 B.36 C.16 D.55

第7题图 第8题图
8.(青海中考)如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2……按照此规律继续下去,则S9的值为(  )
A. B. C. D.
类型五 “赵爽弦图”中有关面积的计算
9.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图,每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6,则大正方形与小正方形的面积差是(  )
A.9 B.36 C.27 D.34

第9题图 第10题图
10.(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=9.其中说法正确的是(  )
A.①② B.①②③
C.①②④ D.①②③④





参考答案与解析
1.B
2.A 解析:过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC=22-×1×2-×1×1-×1×2=,又∵S△ABC=AB·CD,∴AB·CD=.∵AB==,∴CD=.故选A.
3.C 解析:设该直角三角形的两直角边长分别为a,b,则有a+b=14①,a2+b2=102②.①两边同时平方,得a2+b2+2ab=142,所以2ab=96,所以ab=48,ab=24.故选C.
4.D
5.解:连接AC,过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC,∴∠CBA=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===13.∵CD=13,∴AC=CD,即△ACD是等腰三角形.∵CE⊥AD,∴AE=AD=×10=5.在Rt△ACE中,由勾股定理得CE===12.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△CAD=AB·BC+AD·CE=(12×5+10×12)=90.
6.A 7.C

8.A 解析:在图中标上字母E,如图所示.∵正方形ABCD的边长为2,△CDE为等腰直角三角形,∴DE2+CE2=CD2,DE=CE,∴S2+S2=S1.观察,发现规律:S1=22=4,S2=S1=2,S3=S2=1,S4=S3=,…,∴Sn=.当n=9时,S9==.故选A.

9.B 解析:大正方形的面积为32+62=45,小正方形的面积为(6-3)2=9,则面积差为45-9=36.故选B.
10.B 解析:由题意得①-②得2xy=45③,∴2xy+4=49,①+③得x2+2xy+y2=94,∴x+y=,∴①②③正确,④错误.故选B.





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解题技巧专题:特殊平行四边形中的解题方法
类型一 特殊四边形中求最值、定值问题
一、利用对称性求最值【方法10】
1.(2017·青山区期中)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,P,Q分别是AC,AD上的动点,连接DP,PQ,则DP+PQ的最小值为________.

第1题图 第2题图
2.(2017·安顺中考)如图,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为________.
二、利用面积法求定值
3.如图,在矩形ABCD中,点P是线段BC上一动点,且PE⊥AC,PF⊥BD,AB=6,BC=8,则PE+PF的值为________.

【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和
(1)(2017·眉山期末)如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+PF等于________.

变式题(1)图 变式题(2)图
(2)如图,正方形ABCD的边长为1,E为对角线BD上一点且BE=BC,点P为线段CE上一动点,且PM⊥BE于M,PN⊥BC于N,则PM+PN的值为________.
类型二 正方形中利用旋转性解题
4.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,则DP的长是__________.

5.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,∠EAF=45°.求证:S△AEF=S△ABE+S△ADF.











6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,P为正方形ABCD外一点,且BP⊥CP,连接OP.
求证:BP+CP=OP.

















参考答案与解析
1.  解析:如图,过点Q作QE⊥AC交AB于点E,则PQ=PE.∴DP+PQ=DP+PE.当点D,P,E三点共线的时候DP+PQ=DP+PE=DE最小,且DE即为所求.当DE⊥AB时,DE最小.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=4,OB=BD=3,∴AB=5.∵S菱形ABCD=AC·BD=AB·DE,∴×8×6=5·DE,∴DE=.∴DP+PQ的最小值为.


2.6 解析:如图,设BE与AC交于点P,连接BD.∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE=BE,即P为AC与BE的交点时,PD+PE最小,为BE的长度.∵正方形ABCD的边长为6,∴AB=6.又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=6.故所求最小值为6.故答案为6.

3.  解析:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°.∵AB=6,BC=8,∴AC=10,∴OB=OC=AC=5.如图,连接OP,∵S△OBP+S△OCP=S△OBC,∴+=S△OBC,∴+=S△OBC.∵S△OBC=S矩形ABCD=AB·BC=×6×8=12,∴+=12,∴PE+PF=.

【变式题】(1) 解析:∵菱形ABCD的周长为40,面积为25,∴AB=AD=10,S△ABD=.连接AP,则S△ABD=S△ABP+S△ADP,∴×10(PE+PF)=,∴PE+PF=.
(2) 解析:连接BP,过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE+S△BPC=S△BEC,∴+=.又∵BE=BC,∴+=,即PM+PN=EH.∵△BEH为等腰直角三角形,且BE=BC=1,∴EH=,∴PM+PN=EH=.
4.3
5.证明:延长CB到点H,使得HB=DF,连接AH.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABH=∠D=90°,AB=AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合,∴AH=AF,∠BAH=∠DAF.∵∠HAE=∠HAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°,∴∠HAE=∠EAF=45°.又∵AE=AE,∴△AEF与△AEH关于直线AE对称,∴S△AEF=S△AEH=S△ABE+S△ABH=S△ABE+S△ADF.

6.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠BOC=90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示),∴OE=OP,BE=CP,∠OBE=∠OCP,∠BOE=∠COP.∵BP⊥CP,∴∠BPC=90°.∵∠BOC+∠OBP+∠BPC+∠OCP=360°,∴∠OBP+∠OCP=180°,∴∠OBP+∠OBE=180°,∴E,B,P在同一直线上.∵∠POC+∠POB=∠BOC=90°,∠BOE=∠COP,∴∠BOE+∠POB=90°,即∠EOP=90°.在Rt△EOP中,由勾股定理得PE===OP.∵PE=BE+BP,BE=CP,∴BP+CP=OP.











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解题技巧专题:矩形中的折叠问题
——找准方法,快准解题
   
类型一 折叠中求角度
1.如图所示,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C′处,折痕为EF.若∠EFC′=125°,那么∠ABE的度数为(  )
A.15° B.20° C.25° D.30°

第1题图 第2题图
2.如图,某数学兴趣小组开展以下折纸活动:(1)对折矩形ABCD,使AD和BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;(2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是(  )
A.25° B.30° C.36° D.45°
类型二 折叠中求线段长【方法9】
3.如图,矩形ABCD中,对角线AC=2,E为BC边上一点,BC=3BE,将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠,使B点恰好落在对角线AC上的B′处,则AB=________.

第3题图 第4题图
4.(郴州桂阳县期末)如图,一块矩形纸片的宽CD为2cm,点E在AB上,如果沿图中的EC对折,B点刚好落在AD上的B′处,此时∠BCE=15°,则BC的长为________.
5.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使A点恰好落在对角线BD上的点A′处,折痕为DG,则AG的长为(  )
A.1 B. C. D.2

第5题图 第6题图
类型三 折叠中求面积
6.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△BCD沿对角线BD翻折,使点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则△BDE的面积为(  )
A. B. C.21 D.24
7.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△ADE沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为(  )

A. B. C.2 D.4
8.★(福州中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时,求DM的长;
(2)连接BN,当DM=1时,求△ABN的面积.














参考答案与解析
1.B 2.B 3. 4.4cm 5.C 6.A 7.C

8.解:(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM,∴∠MAN=∠DAM.∵AN平分∠MAB,∴∠MAN=∠NAB,∴∠DAM=∠MAN=∠NAB.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠DAM=30°,∴AM=2DM.在Rt△ADM中,∵AD=3,∴由勾股定理得AM2-DM2=AD2,即(2DM)2-DM2=32,解得DM=.
(2)延长MN交AB的延长线于点Q,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA=∠MAQ.由(1)知△ANM≌△ADM,∴∠ANM=∠D=90°,∠DMA=∠AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,∴∠MAQ=∠AMQ,∴MQ=AQ.设NQ=x,则AQ=MQ=MN+NQ=1+x.∵∠ANM=90°,∴∠ANQ=90°.在Rt△ANQ中,由勾股定理得AQ2=AN2+NQ2,即(x+1)2=32+x2,解得x=4,∴NQ=4,AQ=5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等,AB=4,AQ=5,∴S△NAB=S△NAQ=××AN·NQ=××3×4=.





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