陕西省宝鸡市金台区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

宝鸡市金台区2018-2019学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C
2.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
3.的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知中，，，为边上的中点，则 ( )
A. 0 B. 25 C. 50 D. 100
5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形
6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（ ）
A. B. C. D.
7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）
A. 5 B. C. 3 D.
10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）
A. B. C. D.
11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.
14.已知，，，若，则__________．
15.若为锐角，，则__________．
16.函数的定义域为__________；
17.已知 ，则 __________．
18.有下列四个说法：
①已知向量， ，若与的夹角为钝角，则；
②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；
③函数有三个零点；
④函数在上单调递减，在上单调递增.
其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）
三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.已知.
（1）若三点共线，求的关系；
（2）若,求点的坐标.
20.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
21.设向量．
（Ⅰ）若与垂直，求值；
（Ⅱ）求的最小值.
22.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
答案与解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是( )
A. B=A∩C B. B∪C=C C. AC D. A=B=C
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合A，B，C，求出B与C的并集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．
【详解】由题BA，
∵A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，
∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即BC，
则B不一定等于A∩C，A不一定是C的真子集，三集合不一定相等，
故选B．
【点睛】此题考查了集合间的基本关系及运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键，是易错题
2.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．
【详解】因为，，所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
3.的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：．
考点：诱导公式
4.已知中，，，为边上的中点，则 ( )
A. 0 B. 25 C. 50 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.
【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，
原式=.
故选C.
【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.
5.在四边形中，，且·＝0，则四边形是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形
【答案】A
【解析】
【分析】
由可得四边形为平行四边形，由·＝0得四边形的对角线垂直，故可得四边形为菱形．
【详解】∵，
∴与平行且相等，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴，
即平行四边形的对角线互相垂直，
∴平行四边形为菱形．
故选A．
【点睛】本题考查向量相等和向量数量积的的应用，解题的关键是正确理解有关的概念，属于基础题．
6.已知非零向量、且，，，则一定共线三点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线定理，即可判断．
【详解】因为，所以三点一定共线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用平面向量共线定理判断三点是否共线，涉及向量的线性运算，属于基础题．
7.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．
【详解】∵，
∴．
设向量的夹角为，
则．
故选C．
【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．
8.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用诱导公式和同角三角函数的商数关系，得，再利用化弦为切的方法，即可求得答案.
【详解】由已知
则
故选C.
【点睛】本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值，属于三角函数求值问题中的“给值求值”问题，解题的关键是正确掌握诱导公式中符号与函数名称的变换规律和化弦为切方法.
9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）
A. 5 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对
称，就是时，函数取得最值，求出a即可．
详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，
故答案为D
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
10.函数（）的部分图象如图所示，其中是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数的周期为，四分之一周期为，而函数的最大值为，故，由余弦定理得，故.
11.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵，∴，
又，∴，又为三角形的内角，所以，故
．选C．
12.半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
将转化为，利用向量数量积运算化简，然后利用基本不等式求得表达式的最小值.
【详解】画出图像如下图所示，,等号在，即为的中点时成立.故选C.
【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量的数量积运算，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
13.已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_____.
【答案】(0,1)
【解析】
【分析】
画出函数f(x)在以及直线y=k的图象,数形结合可得k的取值范围.
【详解】解:画出函数y=cosx+2|cosx|=,
以及直线y=k的图象,如图所示;
由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0故答案为:(0,1).
【点睛】本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键.
14.已知，，，若，则__________．
【答案】-3
【解析】
由可知
，解得，
15.若为锐角，，则__________．
【答案】
【解析】
因为为锐角，，所以，
.
16.函数的定义域为__________；
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组，解出即可．
【详解】依题意可得，，解得即，
故函数的定义域为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，涉及三角不等式的解法，属于基础题．
17.已知 ，则 __________．
【答案】
【解析】

18.有下列四个说法：
①已知向量， ，若与的夹角为钝角，则；
②先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，再将所得函数图象整体向左平移个单位，可得函数的图象；
③函数有三个零点；
④函数在上单调递减，在上单调递增.
其中正确的是__________.（填上所有正确说法的序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据向量，函数零点，函数的导数，以及三角函数有关知识，对各个命题逐个判断即可．
【详解】对①，若与的夹角为钝角，则且与不共线，即，解得且，所以①错误；
对②，先将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的后，得函数的图象，再将图象整体向左平移个单位，可得函数的图象，②正确；
对③，函数的零点个数，即解的个数，亦即函数与的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示：
由图可知，③正确；
对④，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及向量数量积，三角函数图像变换，函数零点个数的求法，以及函数单调性的判断等知识的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.已知.
（1）若三点共线，求的关系；
（2）若,求点的坐标.
【答案】（1）a+b=2；（2）(5,-3).
【解析】
【分析】
（1）求出和的坐标，然后根据两向量共线的等价条件可得所求关系式．（2）求出的坐标，根据得到关于的方程组，解方程组可得所求点的坐标．
【详解】由题意知，，．
（1）∵三点共线，
∴∥，
∴，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查向量共线的应用，解题的关键是把共线表示为向量的坐标的形式，进而转化为数的运算的问题，属于基础题．
20.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
【答案】(1) 的最小正周期为 (2) 的单调增区间为
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据周期公式求得函数的周期；（2）由求得的取值范围即为函数的单调增区间，由求得取值范围即为函数的单调减区间．
试题解析：
（Ⅰ）


∴的最小正周期为.
（Ⅱ）由，
得
∴的单调增区间为
由
得
∴的单调减区间为
21.设向量．
（Ⅰ）若与垂直，求值；
（Ⅱ）求的最小值.
【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)先由条件得到的坐标，根据与垂直可得，整理得，从而得到．(Ⅱ)由得到，故当时，取得最小值为．
试题解析：
（Ⅰ）由条件可得
，
因为与垂直，
所以，
即，
所以，
所以.
（Ⅱ）由得
，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为.
22.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ cos2ωx－
(ω＞0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为 .
（Ⅰ）求f(x)的表达式；
（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调减区间.
【答案】（1）f(x)＝sin.（2）
【解析】
　试题分析：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用周期公式即可求得正解；（2）根据图像变换求出 的表达式，再利用符合函数法求得递减区间.
试题解析：
(1)f(x)＝sin 2ωx＋×－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由题意知，最小正周期T＝2×＝，
T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到y＝sin的图象．
所以g(x)＝sin.
由，
得
所以所求的单调减区间为