学科教师辅导讲义
学员编号：
年 级：八年级(下)
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
学科教师：
授课主题
第02讲-直角三角形
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握直角三角形的性质与判定方法；
进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定
例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点
例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
例4、CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE CF；EF |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
考点二：直角三角形的性质
例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ）
A．60° B．70°
C．50° D．40°
例2、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 °．
例3、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
考点三：含30度角的直角三角形
例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6
C．6 D．12
例2、如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且
∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 ．
例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为 ．
考点四：直角三角形斜边上的中线
例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（ ）
A．8 B．64
C．5 D．6
例2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 度．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．
例4、如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．
例5、在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE=CF=AB，则∠EMF的度数为 ．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确
3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35° B．55°
C．60° D．70°
4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 ．（只需写出符合条件一种情况）
6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 时，△AOP为直角三角形．
7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 ．
8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 ．
9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．
课后反击
1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS
C．SSS D．ASA
3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90° B．135°
C．120° D．45°或135°
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．10 B．6
C．8 D．5
6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= ．
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 ．
9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．
10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
11、已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE．
12、在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠B的度数；
（3）求线段DE的长．
1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．
2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。
2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。
3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。
本节课我学到
我需要努力的地方是
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年 级：八年级(下)
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
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授课主题
第02讲-直角三角形
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
掌握直角三角形的性质与判定方法；
进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4、逆命题、逆定理
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
5、斜边、直角边定理
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
考点一：直角三角形全等的判定
例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点
【解析】选D．
例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等．
【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．
例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．
例4、CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，
则BE = CF；EF = |BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180° ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，
∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|CF﹣CE|=|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．
∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，
又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF=BE+AF．证明过程：
∵∠BEC=∠CFA=∠α，∠α=∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF=180°，
∴∠BCE=∠CAF，又∵BC=CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE=CF，EC=FA，∴EF=EC+CF=BE+AF．
考点二：直角三角形的性质
例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（ ）
A．60° B．70° C．50° D．40°
【解析】如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°，
∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故选：B．
例2、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 60°或90° °．
【解析】∵在△AOC中，∠AOC=30°，∴△AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：①如果∠A是直角，那么∠A=90°；②如果∠ACO是直角，那么∠A=90°﹣∠AOC=60°．故答案为60°或90°．
例3、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．
【解析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，
∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，
又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．
考点三：含30度角的直角三角形
例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ）
A．6 B．6 C．6 D．12
【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=12×=6，选A．
例2、如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且
∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是 ①②③④ ．
【解析】∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．
∴∠CAF=30°，∴∠GAF=60°，∴∠AFB=90°，∴AF丄BC故①正确；
∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°，∴△ADG≌△ACF故②正确；
∵△ADG≌△ACF，∴AG=AF，∵AO=AO，∠AGO=∠AFO=90°，∴△AGO≌△AFO（HL），∴∠OAF=30°，
∴∠OAC=60°，∴AO=CO=AC，BO=CO=AO，∴O为BC的中点故③正确；
假设DG=x，∵∠DAG=30°，∴AG=x，∴GE=3x，
④∵DE=DG+GE=4x∴AG：DE=：4故④正确；
故答案为：①②③④．
例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为 4或6 ．
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AD⊥AB，
∴∠ACD=∠ABC=30°，∴AC=BC=2，∴AD=AC=，
①当AP=AB=4时，∴PD==3，
∵BD=BC=3，∴PB==6，
②当PB=AB=4，综上所述：PB=4或6．故答案为：4或6．
考点四：直角三角形斜边上的中线
例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（ ）
A．8 B．64
C．5 D．6
【解析】∵在Rt△BAC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点，AD=5，
∴BC=2AD=10，由勾股定理得：AC===8，故选A．
例2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于 30 度．
【解析】∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴AE=CE，∴∠A=∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30．
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．
【解析】∵ED⊥BC，∠E=35°，∴∠B=55°．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD．
∴∠BAD=∠B=55°．∴∠BDA=70°．
例4、如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．
【解析】如图，连接DB．
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，
∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，
∴∠ABD=30°，
又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，
∴AD=DC．
例5、在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE=CF=AB，则∠EMF的度数为 45° ．
【解析】连接CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB，AM=BM=AB，
∵CE=CF=AB，∴CE=MC，CF=MC，∴∠1=∠E，∠2=∠F，
∵∠1+∠E=∠4，∠2+∠F=∠3，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴∠1+∠2=（∠4+∠3）=×90°=45°，
即：∠EMF=45°．
故答案为：45°．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
【解析】选：D．
2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BD
C．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确
【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．
跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．
3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（ ）
A．35° B．55°
C．60° D．70°
【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．
4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．
∵AD=6，∴CD===8．故选D．
5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件 AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况）
【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 60°或90° 时，△AOP为直角三角形．
【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，
若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，
综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．
7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于 30° ．
【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°﹣∠A=30°．
故答案为：30°．
8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 a2 ．
【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，
∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，
由勾股定理得，BD==a，
∴BC=2BD=a，
∴三角形的面积=×a×a=a2．
故答案为a2．
9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．
10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．
【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，
∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．
又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．
课后反击
1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等； ④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等； ⑥有两条边相等．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解析】故选B
2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS
C．SSS D．ASA
【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，
又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．
3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（ ）
A．90° B．135°
C．120° D．45°或135°
【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．75°
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，
又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，
∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．
5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．10 B．6
C．8 D．5
【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，
∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．
6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 AC=DE ．
【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10° ．
【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，
∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴CD=BD，CD=AD，
∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，
由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，
∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．
8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为 6 ．
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．
9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．
【解析】AC=ED，理由如下：
∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，
∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．
∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．
∴∠A=∠CEF．
在△ABC和△ECD中，
∴△ABC≌△ECD（ASA）．
∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．
10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．
【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACB=45°，
∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60°﹣45°=15°；
（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=∠ACB=45°，∴∠CEF+∠ECB=180°，∴EF∥BC．
11、已知：如图，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BF⊥CA延长线于点F．求证：∠CBF=∠ADE．
【解析】证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠ADC=90°，
又∵E是AC的中点，∴AE=DE，∴∠ADE=∠EAD=90°﹣∠C，
∵BF⊥CA延长线于点F，
∴∠CBF=90°﹣∠C，∴∠CBF=∠ADE．
12、在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求∠B的度数；
（3）求线段DE的长．
【解析】（1）∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=100°，∴∠BAD=50°；
（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠；
（3）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，即∠ADB=90°
在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，
∴DE为斜边AB边上的中线，∴DE=．
1、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．
求证：AD=BE．
【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．
∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．
∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．
2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
【解析】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。
2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。
3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。
本节课我学到
我需要努力的地方是
