课件15张PPT。8.6三角形内角和定理（1）胜者的“钥匙”证明命题的一般步骤:与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.言必有“据”我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗?12ABD3C(1)如图,当时我们是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不实际移动∠A和∠B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.“行家” 看“门道”已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗? ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.一题 多解在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实际行动.小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.“行家” 看“门道”根据下面的图形,写出相应的证明. 你还能想出其它证法吗?解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠BAD=∠CAD= 例题精讲如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）.?在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.
△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:
∠A=180° –(∠B+∠C).
∠B=180° –(∠A+∠C).
∠C=180° –(∠A+∠B).
∠A+∠B=180° -∠C.
∠B+∠C=180° -∠A.
∠A+∠C=180° -∠B.这里的结论,以后可以直接运用. 我是最棒的1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.2.已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.
求证： ∠ADE=50°.结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.用运动变化的观点理解和认识数学在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近180°),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近0°).由此你能想到什么?如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,∠A就越来越小(越来越接近0°),而∠B和∠C则越来越大,它们的和越来越接近180°, 当把点A拉到无穷远时,便有AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于180°.由此你能想到什么? 用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点，A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上，请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形……其内角会产生怎样的变化呢？看一看结论：当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°，而 AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°。
请同学们猜一猜：
三角形的内角和可能是多少？ 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。实验2：将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。回味无穷掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.
三角形内角和定理.
结论: 直角三角形的两个锐角互余.
探索证明的思路的方法: 由“因”导“果”,执“果”索“因”.
与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.思考题：如图，已知∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°，
求证：AB∥CD（用两种方法证明）知识的升华习题8.7 1,2,3题;
祝你成功！课件12张PPT。8.6 三角形内角和定理
（2）外角定义：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.∠1是△ABC的∠ ACB的外角.你能在图中画出△ABC的其他外角吗？..图中标出的红点也是外角.加油！再找找其他的！新知探究如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?∠1+∠4=180° ;
∠1>∠2;
∠1>∠3;
∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180° (平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.议一议三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用. 推论：三角形内角和定理的推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.△ABC中:
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.这个结论以后可以直接运用.推论：例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC.证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行). ∠B=∠C (已知), ∴∠DAC=∠C(等量代换).∵ AD平分 ∠EAC(已知).··例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.还有其它方法吗？方法一应用··例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC. ∠B=∠C (已知), ∵ AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ AD∥BC(同位角相等,两直线平行).这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),方法二应用·例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.
求证:AD∥BC. ∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =180° (三角形内角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.证明:由证法1可得:·方法三应用例3 已知:如图, ∠BAF, ∠CBD, ∠ACE是△ABC的三个外角。
求证: ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.BACDFE123证明:∵ ∠BAF是△ABC的一个外角（已知）∴ ∠BAF=∠2+∠3 (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).同理，∠CBD=∠1+∠3 ， ∠ACE= ∠1+∠2.∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2× 180°= 360°（等量代换）∵ （ ∠1+∠2 + ∠3）=180°（三角形内角和定理）∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（ ∠1+∠2 + ∠3）（等式的性质）应用已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求:∠B和∠ACB的大小.解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知),∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质). ∠A=45°(已知),随堂练习三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°。
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论3:
直角三角形的两锐角互余.
课堂小结这节课你收获了什么？习题8.8课件10张PPT。8.6 三角形内角和定理
（3）三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°。
推论1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论3:
直角三角形的两锐角互余.知识回顾已知:国旗上的正五角星形如图所示.
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).试一试议一议 在证明五角星形五个顶角的和等于180°时，小明想通过连接CD，把五个角“凑”到△ACD内。他的想法可行吗？例4 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任 何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质).应用例5 已知:如图,P 是△ABC内一点,连接PB，PC.
求证: ∠ BPC ＞ ∠A.应用证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义） ∴ ∠ PDC ＞ ∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴ ∠ BPC ＞ ∠ A你还有其他的
证明方法吗？已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.证明(1):延长BD与AC相交于E
∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),试一试已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义),试一试随堂练习 1、2习题8.9 数学理解
