学科教师辅导讲义
学员编号：
年 级：八年级(下)
课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
学科教师：
授课主题
第03讲-垂直平分线与角平分线
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理；
掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、线段垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、尺规作图
5、角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
7、三角形三内角的角平分线性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
考点一：线段垂直平分线的性质
例1、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB=8，，则BM的长为（ ）
A．3 B．5
C．4 D．6
例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
例5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ．（填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；
⑤筝形ABCD的面积为．
例7、在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
考点二：角平分线的性质
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
例2、如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④
C．只有②③④ D．只有①③
例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 ．
例4、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= ．
例5、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（ ）
A．6 B．10 C．6或14 D．6或10
2、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP
C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
3、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ ）
A．58 B．59
C．61 D．62
4、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）
A．24° B．30°
C．32° D．36°
5、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
6、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 度．
7、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
8、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为 ．
9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 ．
10、探究：如图①，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连结CE，求证：CE+AE=AB．
应用：如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，交AC于点E，连结CD，若AB=8，BC=4，则CD的长为 ．
课后反击
1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD
C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100°
C．120° D．130°
5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．6cm
C．12cm D．16cm
6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= cm．
7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC= °．
8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为 ．
9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 ．
10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．
1、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．
2、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、线段垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
6、三角形三内角的角平分线性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。
2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。
本节课我学到
我需要努力的地方是
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课 时 数：3
学员姓名：
辅导科目：数 学
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授课主题
第03讲-垂直平分线与角平分线
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理；
掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、线段垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、尺规作图
5、角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
7、三角形三内角的角平分线性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
考点一：线段垂直平分线的性质
例1、下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；
②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；
⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；
②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图
⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A．
例2、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD于点C，点M在AB上，MN垂直平分AC，垂足为点N，若AB=8，，则BM的长为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【解析】选A．在Rt△BCM中，根据，设BC=4x，CM=5x．
根据勾股定理，得BM=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AM=CM=5x．则3x+5x=8，x=1．∴BM=3．
例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．13 B．15
C．17 D．19
【解析】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，
∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．
例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【解析】∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．
例5、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 6 ．
【解析】∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①，∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE=12，
∴BE+BD﹣DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①﹣②得，DE=6．故答案为：6．
例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ①③⑤ ．（填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；
⑤筝形ABCD的面积为．
【解析】∵在△ABC与△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；
∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC?BO+AC?OD=AC?BD．故⑤正确；
综上所述，正确的说法是①③⑤．故答案是：①③⑤．
例7、在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长； （2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
【解析】（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．
考点二：角平分线的性质
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．故选B．
例2、如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④
C．只有②③④ D．只有①③
【解析】如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC=180°错误，故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，故本小题正确．
综上所述，①③④正确．故选B．
例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是 30 ．
【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，
∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3
=20×3=30，
故答案为：30．
例4、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6 ．
【解析】过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）
=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
故答案为：4：5：6．
例5、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【解析】（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（ ）
A．6 B．10 C．6或14 D．6或10
【解析】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，
∵BC=10，DE=4，
当BD与CE无重合时，AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=10﹣4=6，
当BD与CE有重合时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14，
综上所述，AD+AE=6或14．故选C．
2、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP
C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
【解析】∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，，
∴△OCP≌△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
3、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（ ）
A．58 B．59
C．61 D．62
【解析】∵BD是∠ADE的角平分线，∴∠1=∠2，
∵DE是BC的中垂线，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．故选：D．
4、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（ ）
A．24° B．30°
C．32° D．36°
【解析】∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，
∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．故选C．
5、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60°
C．55° D．45°
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．
6、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD= 35 度．
【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．
7、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 50° ．
【解析】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD﹣∠BPC=（x﹣40）°，
∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
∵，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．
8、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为 3：2 ．
【解析】∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
又∵AB：AC=3：2，
则△ABD与△ACD的面积之比为 3：2．
故答案为：3：2．
9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为 22 ．
【解析】∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，
∴BE=EC，BC=2BD=8；
又∵△ABE的周长为14，∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：22．
10、探究：如图①，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，连结CE，求证：CE+AE=AB．
应用：如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE垂直平分斜边AC交AB于点D，交AC于点E，连结CD，若AB=8，BC=4，则CD的长为 5 ．
【解析】（1）∵DE是边BC的垂直平分线，∴BE=CE，
∵BE+AE=AB，∴CE+AE=AB；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8﹣x，
在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5．∴CD=5．故答案为：5．
课后反击
1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
【解析】选D．
2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
【解析】根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．故选C．
3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD
C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD
【解析】选D．
4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100°
C．120° D．130°
【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B．
5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=3cm，故选A．
6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= 6 cm．
【解析】∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，
∵△ADB的周长是10cm，∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm，∵AB=4cm，∴AC=6cm，故答案为：6．
7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC= 30 °．
【解析】∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，
∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°．
故答案为：30．
8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为 19 ．
【解析】∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DB=DC，∴∠DCB=∠B=40°，
∵∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=20°，∴∠ADC=80°，
∴CA=CD=DB=8，∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，
故答案为：19．
9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是 15 ．
【解析】作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE=6，又BD：CD=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+DC=15，
故答案为：15．
10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．
【解析】（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°；
（2）∵△ABC周长13cm，AC=6cm，∴AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DE+EC=DC=3.5cm．
1、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 22cm ．
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，∴AC=2AE=8cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm
2、如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB+CD=AC．
【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，
∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、线段垂直平分线的性质定理
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
6、三角形三内角的角平分线性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。
2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。
本节课我学到
我需要努力的地方是
