课件18张PPT。10.3 直角三角形（1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.想一想方法一: 拼图计算
方法二：割补法
方法三：赵爽的弦图
方法四：总统证法
方法五：青朱出入图
方法六：折纸法
方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?勾股定理的证明这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式.
图中三个三角形面积的和是
2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
比较可得:c2 = a2+b2 .伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法．勾股定理的证明如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.勾股定理逆定理证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),∴ AB2=A′B′2(等式性质).∴ AB=A′B′(等式性质).∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应角相等).∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).逆定理的证明′勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).勾股定理逆定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.再观察下面两组命题:如如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如如果两个角相等,那么它们是对顶角如;如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流.命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等, 那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题?命题与逆命题一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗?想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.定理与逆定理如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.
试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?动手试一试勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.本课小结命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.本课小结1.如图，在△ABC中，已知AB=13cm,
BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.
求证:AB=AC. 证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知),∴ BD=5cm(等式性质). ∵ AD2+BD2=122+52＝144+25=169, AB2=132=169,
∴AD2+BD2=AB2.D∴ 在△ABD中, ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169,∴AC2=AB2.∴AB=AC(等式性质).动手试一试2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？ 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知),∴ BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),∴CB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质). 动手试一试动手试一试∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知), 老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决. 动手试一试P114习题10.8 2、3、4
课件16张PPT。10.3 直角三角形（2）三角形全等的判定公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.想一想:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如果其中一边的所对的角是直角呢?如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.请证明你的结论.命题的证明命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;
由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.命题的证明两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900.
求证:△ABC≌△A′B′C′.分析:
要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a，c（a求作：Rt △ABC，使∠C= ∠ ，BC=a，AB=c. 你作的直角三角形与小明作的全等吗?小明的作法如下：（1）作∠MCN= ∠ =90°（2）在射线CM上截取CB=a.（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN与点A.（4）连接AB，得到Rt △ABC.直角三角形全等的判定定理及其三种语言定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 ,
∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知),
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理，B′C′2-A′B′2-A′C′2.
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）. 例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑
梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F的大小
有什么关系？解：根据题意，可知
∠BAC= ∠EDF=90°，
∴Rt △BAC ≌Rt △EDF（HL）
∴ ∠B= ∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠DEF+ ∠F=90°（直角三角形的两锐角互余）
∴ ∠B+ ∠F=90°.
蓄势待发如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.增加AC=BD;增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD ;增加∠CAB=∠DBA ;你能分别写出它们的证明过程吗?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?O你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?你能分别写出它们的证明过程吗?知识在于积累判断下列命题的真假,并说明理由:两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;两直角边对应相等的两个直角三角形全等;老师期望:
请分别将每个判断的证明过程书写出来.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.回味无穷直角三角形全等的判定定理:
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!知识的升华P117习题10.9 1, 3题.
祝你成功！P117 随堂练习2已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.
求证: △ABC是等腰三角形. 分析:要证明△ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的条件: 从而需要证明∠B=∠C; BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证.老师期望:
请将证明过程规范化书写出来.习题10.9 2已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF.
求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD. 老师期望:请将证明过程规范化书写出来. 分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证. 需要证明内错角∠A=∠C;而由△ABF≌△CDE可得证. (2)要证明AB∥CD, 由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF.可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE.结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
