课件19张PPT。10.5 角平分线第1课时Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究随堂练习课堂小结定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图,
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴ PA=PB
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 逆定理: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP 那么结合我们前面学习的有关线段垂直平分线的定理及证明方法，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?1.能够证明角平分线的性质定理及其逆定理；
2.进一步发展自己的推理证明意识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力. 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗?
结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？ 已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证: PD=PE. 分析: 要证明PD=PE,只要证明它们所在△OPD≌△OPE而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.证明：
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1= ∠2
∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO
∵OP=OP
∴ △OPD≌△OPE (AAS).
∴ PD=PE
已知: 如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证: PD=PE.几何语言表示：
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?
逆命题
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 它是真命题吗?如果是. 请你证明它.已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
求证: 点P在∠AOB的平分线上. 分析: 要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC, 然后证明∠POD=∠POE.BACDEOP证明：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB
∴ △POD和△POE都是Rt△
∵ PD=PE,OP=OP
∴ Rt△POD≌Rt△POE(HL)
∴ ∠POD= ∠POE
∴ OC是∠AOB的平分线
∴ 点P在∠AOB的平分线上已知: 如图所示, PD=PE, PD⊥OA,
PE⊥OB, 垂足分别是D,E.
求证: 点P在∠AOB的平分线上.BACDEOP 逆定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图,
∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别是D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.
(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.解：
∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F且DE=DF
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
又∵ ∠BAC=60°
∴ ∠BAD=30°
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10
∴DE= AD/2=10/2=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半） 1. 如图,求作一点P, 使PC=PD, 并且点P到∠AOB的两边的距离相等. 2. 已知: 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别是E,F.
求证: EB=FC. 证明:
∵ AD是△ABC的角平分线
且DE⊥AB,DF⊥AC
∴ DE=DF
∵BD=CD
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ EB=EC1.角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别是D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.
(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.习题10.12，第1、3题．结束课件20张PPT。10.5 角平分线第2课时Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究随堂练习课堂小结1.角平分线的性质定理
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点,
PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D, E (已知)
∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等)2.角平分线的判定定理
定理：在一个角的内部, 且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB,
垂足分别是D, E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.
(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等；
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用..剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.观察这三条角平分线, 你发现了什么?结论: 三角形三个角的平分线相交于一点.你想证明这个命题吗?
你能证明这个命题吗?利用尺规作出三角形三个角的角平分线.观察这三条角平分线, 你发现了什么?结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点.你想证明这个命题吗?
你能证明这个命题吗? 命题: 三角形三个角的平分线相交于一点.基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.如何证三条直线交于一点？ 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,
AB的垂线,垂足分别E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理, PE=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF.∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且P点到三条边的距离相等. 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图, 在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三角形的内心.∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.(2)求证:AB=AC+CD. 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.解（2）证明：由（1）的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴ AC=AE.
∵ BE=DE=CD,
∴ AB=AE+BE=AC+CD 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为E.(2)求证:AB=AC+CD. 1. 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证: BD=2CD. 证明：
∵ ∠C=90°， ∠B= 30°
∴Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60°
∵ AD是△ABC的角平分线
∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, AD=BD
∴ Rt△ACD中，AD=2CD
∴ BD=2CD3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证: 点F在∠DAE的平分线上. 证明：
∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC,AD的距离相等
∵ BF是∠CBD的角平分线
∴ F到BC,AE的距离相等
∴ F到AD,AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上.证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点，
PC⊥OA, PD⊥OB
∴PC=PD
在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP
∴ Rt△POC ≌ Rt△POD
∴OC=OD
4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是C, D.
求证: (1)OC=OD; 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是C, D.
求证: (2)OP是CD的垂直平分线. 证明：
(2) 由PC=PD得P在CD的垂直平分线上
由OC=OD得O在CD的垂直平分线上
∴OP是CD的垂直平分线.
定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图, 在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三角形的内心.∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF
(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 随堂练习 第2题.结束
