课件22张PPT。10.2 等腰三角形第1课时Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究随堂练习课堂小结证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论;
(2)根据题意画出相应的图形;
(3)根据题设和结论写出已知,求证;
(4)分析证明思路,写出证明过程.1、掌握等腰三角形的性质定理：“等边对等角”及“三线合一”；掌握等腰三角形的判定定理：“等角对等边”，并会证明它们；
2、借助辅助线来证明等腰三角形的性质和判定.你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的
中线、底边上的高互相重合.
简称： 三线合一1、等腰三角形的两个底角相等.
简称：等边对等角 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.动手操作等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.证明:CAB证法1证法2证一证：ACB已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证:∠B=∠C.在△ABD与△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
BD=CD（中点的定义）
∴ △ABD≌△ACD（SSS）.此时AD还是什么线?证明:∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.取 BC的中点D,连接ADD证法1ACB已知:如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.在△ABD与△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
∠BAD= ∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（SAS）.此时AD还是什么线?证明:∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.做∠BAC的平分线，交BC边于DD证法2定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图：在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用. 几何的三种语言推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）.∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2（三线合一）1、求下列各等腰三角形中未知角的度数.ABC36°72°72°ABC30°30°120°2、已知等腰三角形的一个角为50°，则另两个角为多少度？65°、 65°或50°、 80°用一用如果把50°的角改为100°呢？40°、 40°3、若等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为___________.3或54、若等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是___________ 17用一用5、如图△ABC是等腰三角形（AB=AC, ∠BAC=90°）AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数.图中有哪些相等的线段？ABCD45°45°45°45°AB=AC BD=AD=CD用一用前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.等腰三角形的判定请同学们自己试着写出证明过程已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.D证明：做底边上的高AD
在△ABD和 △ACD中
∵∠B＝∠C.
∠ADB＝∠ADC.
AD=AD
∴△ABD≌ △ACD（AAS）
∴ AB=AC证一证证明：做顶角的平分线AD
在△ABD和 △ACD中
∵∠B＝∠C. ∠1＝∠2.AD=AD
∴△ABD≌ △ACD（AAS）
∴ AB=AC已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.
求证:AB=AC.D12作底边上的中线行吗？证一证等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）.如图：在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.几何的三种语言1、两个等腰三角形的顶角和底边对应相等，那么这两个三角形全等吗？请证明你的结论.ABCA′B′C′2、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，AD与BE相交于点H，且已知AE=BE.求证：AH=2BD分析：由三线合一知BC=2BD,只须证AH=BC
即可.要证AH=BC只须证△AEH≌△BEC证明： ∵ AD和BE分别是高
∴∠1+ ∠C=90 ° , ∠2+ ∠C=90 °
∴∠1= ∠2
又∵ AE=BE ，∠AEH= ∠BEC
∴ △AEH≌△BEC（ASA）21∴ AH=BC
∵ AB=AC,AD是高
∴BC=2BD（三线合一）
∴ AH=2BD3、上午6时，一条船从A处出发一15海里/小时的速度向正北方向航行，8时到达B处，分别从A、B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，则从B处到灯塔C的距离是_____________.ABCN36°72°AB=15×2=30（海里）36°∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）30海里等腰三角形的性质：
（1）定理：等腰三角形的两个底角相等
简称：等边对等角
（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上
的中线、底边上的高互相重合。
简称：三线合一
（3）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称：等角对等边习题10.4，知识技能．结束课件16张PPT。10.2 等腰三角形第2课时Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究随堂练习课堂小结等腰三角形的性质：2、等腰三角形顶角的平分线,底边上的
中线底边上的高互相重合.
简称： 三线合一1、等腰三角形的两个底角相等.
简称：等边对等角
3、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简称：等角对等边
1.能够正确运用等腰三角形的性质及判定定理证明一些相等关系；
2.能够掌握等腰三角形中常用的辅助线；
3.了解证明文字命题的一般步骤. 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.你能发现其中的一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?探一探结论：
1、等腰三角形两底角的平分线相等.
2、等腰三角形两腰上的中线相等.
3、等腰三角形两腰上的高相等.BD=CE 证明:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
BD,CE是△ABC角平分线.
求证:BD=CE.证一证 证明:
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE. 2、证明:等腰三角形两腰上的中线相等.已知:如图,在△ABC中AB=AC,
BD,CE是△ABC两腰上的中线.
求证:BD=CE.证一证在△ABD与△ACE中
∵ AB=AC(已知),
∠A=∠A（公共角）
AD=AE（已证）∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE3 、证明:等腰三角形两腰上的高相等.证明:在△ABD与△ACE中
∵ ∠A=∠A （公共角）
∠ADB=∠AEC=90°（高的定义）
AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACE（AAS）∴BD=CE已知:如图,在△ABC中AB=AC,
BD,CE是△ABC两腰上的高
求证:BD=CE.证一证典型例题例2 已知：如图，点D，E在ΔABC的边AB上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.因为ΔABC和ΔADE是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作ΔABC（或ΔADE）的高AF，可同时平分BC，DE.F作AF⊥BC，垂足为点F，则AF⊥DE.证明：∵ AB=AC，AD=AE.∴ BF=CF，DF=EF.（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合）∴ BF－DF=CF－EF，即BD=CE.1、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,EF平分∠AED，问在这个图形中，有那几个等腰三角形？请分别写出来.36°72°72°36°36°72°36°△ABC、 △BCD 、△EBD 、△EDF 、△FAE 、△ADE已知：如图，∠CAE是 △ABC的外角，AD∥BC,且∠1= ∠2。求证：AB=AC用一用证明：∵ AD∥BC
∴ ∠1= ∠B, ∠2= ∠C
又∵ ∠1= ∠2
∴ ∠B= ∠C
∴ AB=AC(等角对等边)2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为____________.60°60°30°或 150°30°本节课你有什么收获？谈一谈研究了等腰三角形的一些特殊线段：①等腰三角形两底角的平分线相等. ②等腰三角形两腰上的中线相等. ③等腰三角形两腰上的高相等.习题10.5，知识技能．结束课件23张PPT。10.2 等腰三角形第3课时Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究随堂练习课堂小结定理:等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 . 1、等腰三角形的性质:判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称三线合一简称:等角对等边.（1）等腰三角形两底角的平分线相等.
（2）等腰三角形两腰上的中线相等.
（3）等腰三角形两腰上的高相等.2、关于等腰三角形的几个结论:1.掌握并会证明等边三角形的性质和判定；
2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会用它解决线段之间的倍半关系的问题.等边三角形的判定:一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？1、三条边都相等的三角形是等边三角形.2、三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC,(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.ACB2、三个角都相等的三角形是等边三角形.证一证：定理： 你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。ACB60°ACB60°想一想：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°.(等边对等角)
∴∠A=60°(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B=∠C （等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=60°.
求证:△ABC是等边三角形. 证一证：2、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=60°(或∠A=60°或∠C=60°).
∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).等边三角形的判定定理：1、三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中, ∵ ∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.例1：如图,△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.证明：∵ △ABC是等边三角形.
∴∠A=∠B=∠C =60°
∵ DE∥BC
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°
∴∠ADE=∠AED=∠A
∴△ADE是等边三角形.
（三个角都相等的三角形是等边三角形.）用一用：用两个含有30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.做一做：能证明你的结论吗？结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角 边等于斜边的一半.由刚才的拼图你想到，在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？猜一猜： 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.证一证： ∵ ∠ACB=90°, (已知),
∴∠ACD=90°(平角意义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=90°,∠A=30°(已知),
∴∠B=60°(直角三角形两锐角互余).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD定理:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°.
∴BC= AB.(在直角三角形中,
30°角所对的直角边等于斜边的一半).几何的三种语言解:∵∠B=∠ACB=15°(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例3 .已知:如图,等腰三角形的底角为15°,腰长为2a.求:腰上的高.命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.是真命题吗?
如果是,请你证明它.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AB/2.
求证:∠A=30°.逆向思维在△ABC和△ADC中,
∵BC=CD,∠ACB= ∠ACD= 90°,AC=AC
∴ △ABC≌△ADC(SAS) ,∴ AB=AD
又∵BC=AB/2 BC=BD/2
∴AB=BD
∴AB=BD=AD
∴△ABD是等边三角形.
∴∠B=60°，∴∠A=30°证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.在△ABC中
∵∠ACB=90°,BC=AB/2(已知),
∴∠A=30°(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°).几何的三种语言1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,
CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.你能规范地写出证明过程吗？30°30°思路：
先证△ABE≌△CAD(SAS)
∴ ∠1= ∠2
∵∠BPD= ∠1+ ∠3
∴∠BPD= ∠2+ ∠3= 60° 2.已知：如图，△ABC是等边三角形,D、E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q,
(1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQ330°1、等边三角形的判定方法:
（1）等边三角形的定义
（2）定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.2、特殊的直角三角形的性质:
（1）定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.习题10.6，2、3题．结束课件15张PPT。10.2 等腰三角形第4课时反证法Contents目录0102旧知回顾学习目标新知探究课堂小结（1）等边三角形的定义
（2）定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
（3）定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.1、等边三角形的判定方法有哪些？（1）定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（2）逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.2、特殊的直角三角形的性质有哪些？1.会用反证法证明简单的问题；
2.结合实例体会反证法的含义.知识应用已知：如图，AB=DC，BD=CA.
求证：△AED是等腰三角形.证明： ∵AB=DC，
BD=CA，AD=DA，
∴ △ADB ≌ △DCA（SSS）.
∴ ∠ADB= ∠DAC（全等三角形的对应角相等）.
∴AE=DE（等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形.小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?即在△ABC中,
如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC.想一想证明命题的新思路路边苦李?? 古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.不然早就没了！”.小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小明是这样想的:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理得∠B=∠C,但已知条件是∠ B≠∠C.“∠B=∠C”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC.证一证 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity).3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.反证法的一般步骤:1.假设:先假设命题的结论不成立;即结论的反面成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;典型例题1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角． 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.议一议 如何证明这个结论？证明:
假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,
即都不得小于1/5,
那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.
这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.
因此,假设不成立，即这五个数中至少有下个大于或等于1/5成立.用反证法来证:(1)假设:先假设命题的结论不成立;
(2)归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
(3)结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯 定命题的结论正确.反证法的一般步骤:本节课你有什么收获？谈一谈习题10.7．结束
