第1节 机械功
[随堂检测][学生用书P4]
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正负表示其方向
B．功是标量，正负表示是外力对物体做功，还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD.功是标量，正、负号不表示功的大小，也不表示功的方向，比较功的大小要看绝对值，功的存在总是与某一过程相对应，故选项B、C、D正确，A错误．
2．如图所示，重为G的物体受一向上的拉力F，向下以加速度a做匀减速运动，则( )
A．重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B．重力做正功，拉力做负功，合力做负功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
D．重力做正功，拉力做负功，合力做正功
解析：选B.由于物体向下运动，因此重力做正功，拉力做负功，物体向下做匀减速运动，说明加速度的方向向上，合力方向向上，故合力做负功，B项正确．
3．两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图所示．物体通过一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1与F2的合力对物体做的功为( )
A．7 J B．2 J
C．5 J D．3.5 J
解析：选A.功是标量，合力对物体做的功等于各分力对物体做功的代数和，故选项A正确．
4.
如图所示，一位质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡自由滑下(初速度为零)．斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1，则在运动员滑至坡底的过程中，求：
(1)各个力对运动员所做的功分别是多少？
(2)合力对运动员做了多少功？(不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)重力做的功
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J.
支持力做的功WN＝0.
摩擦力做的功
Wf＝－fl＝－μmgcos 37°×＝－2×103 J.
(2)合力做的功
W合＝WG＋Wf＋WN＝1.5×104 J－2×103 J＋0＝1.3×104 J.
答案：见解析
5．一个质量为4 kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.1.从t＝0时刻开始，物体受到一个大小和方向均呈周期性变化的水平力F的作用，力F随时间的变化规律如图所示．求83 s内物体位移的大小和力F对物体所做的功(g取10 m/s2)．
解析：当物体在前半周期时，由牛顿第二定律得
F1－μmg＝ma1
故a1＝＝2 m/s2
则v1＝a1t＝4 m/s，s1＝a1t2＝4 m
当物体在后半周期时，由牛顿第二定律得
F2－μmg＝ma2
故a2＝＝－2 m/s2
则s2＝v1t＋a2t2＝4 m，v2＝v1＋a2t＝0
83 s包括20个周期余3 s，一个周期的位移为8 m，最后1 s的位移为3 m，故83 s内物体的位移大小为
s＝20×8 m＋4 m＋3 m＝167 m
每个周期内力F对物体做功
W1＝(F1＋F2)s1＝(12 N－4 N)×4 m＝32 J
最后3 s内力F对物体做的功
W2＝12 N×4 m－4 N×3 m＝36 J
所以，WF＝20W1＋W2＝20×32 J＋36 J＝676 J.
答案：167 m 676 J
[课时作业][学生用书P93(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于力做功的说法中正确的是( )
A．人用力F＝300 N将足球踢出，而球在空中飞行40 m，人对足球做功1 200 J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
解析：选B.人踢足球的力只存在于球飞出的瞬间，而球在空中飞行40 m的过程，不受人踢足球的力，A错；物体没有被推动，位移为零，人对物体做功为零，B对；物体竖直上升时，重力做负功，C错；任何力都有可能做功，D错．
2．如图所示，一小孩和一大人匀速推动相同的木箱，在相同的路面走同样的位移(推箱的速度如图中所注)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少，下列说法正确的是( )
A．大人做的功多
B．小孩做的功多
C．大人和小孩做的功一样多
D．条件不足，无法判断
解析：选C.木箱匀速运动，所以推力等于摩擦力，即F＝μmg，根据功的计算公式，推力所做的功W＝Fscos α＝μmgscos α，所以大人和小孩做的功一样多，C正确．
3．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对皮带不做功
B．P物体克服摩擦力做功
C．摩擦力对P做正功
D．合力对P做正功
解析：选C.物体匀速运动，受到沿斜面向上的静摩擦力，f与v同向，做正功，选项C正确．
4．关于作用力、反作用力做功的问题，下列说法中正确的是( )
A．作用力做功，反作用力必定做功
B．作用力做功与反作用力做功数值一定相等
C．作用力做正功，反作用力一定做负功
D．单纯根据作用力做功情况不能判断反作用力做功情况
解析：选D.作用力与反作用力虽然大小相等，方向相反，但作用在不同物体上，因而力与位移的方向关系不确定，因此，作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，可以一个做正功另一个做负功，也可以一个做功而另一个不做功．
5．如图所示，木板放在光滑地面上，将一滑块m用恒力F由木板一端拉至另一端，木板分固定和不固定两种情况，力F做功分别为W1和W2，则( )
A．W1＝W2 B．W1C．W1>W2 D．无法比较
解析：选B.设木板长为L，当木板固定时，滑块由木板一端到另一端对地位移为L，故W1＝FL；若木板不固定，木板随滑块向右运动，当木板位移为s时，滑块对地位移为(s＋L)，故W2＝F(s＋L)，故选项B正确．
6.
质量为m的物体沿底面长度为L、倾角不同的a、b、c三个斜面顶端滑下，如图所示．物体和斜面间的动摩擦因数相同，a、b、c三个斜面与水平面的夹角关系是θ1>θ2>θ3.物体从a、b、c三个斜面顶端滑到底端的过程中，摩擦力做功分别是W1、W2和W3，则它们的关系是( )
A．W1>W2>W3
B．W1＝W3>W2
C．W1D．W1＝W2＝W3
解析：选D.以斜面a为研究对象，当物体在斜面a上运动时W1＝－F1s＝－μmgcos θ1·＝－μmgL
同理得W2＝－μmgL，W3＝－μmgL
因此选项D正确．
二、多项选择题
7．如图所示，物体在水平桌面上，当对它施加如图甲所示的拉力F，使它由静止发生位移s；当对它施加如图乙所示的推力F，使它由静止发生位移s.F与水平方向的夹角均为α，则关于做功的下述说法中正确的是( )
A．图乙中F做功多
B．图甲、乙中F做功相同
C．图乙中克服摩擦力做功多
D．图甲、乙中克服摩擦力做功相同
解析：选BC.力F做功WF＝Fscos α，两图中F做功相同，选项A错误，选项B正确；由于摩擦力f甲＝μ(mg－Fsin α)，f乙＝μ(mg＋Fsin α)，所以克服摩擦力做功W甲＝f甲s＝μ(mg－Fsin α)s，W乙＝f乙s＝μ(mg＋Fsin α)s，选项C正确，选项D错误．
8.
如图所示，在匀加速运动的车厢内一个人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则以下结论中正确的是( )
A．人对车厢的推力不做功
B．人对车厢的摩擦力做负功
C．人对车厢的作用力不做功
D．人对车厢的作用力做负功
解析：选BD.在水平方向上，人对车厢的作用力有两个：对车厢向前的推力和对车厢地板向后的摩擦力．车厢的运动方向向右，所以人对车厢的推力做正功，人对车厢的摩擦力做负功，故选项A错误，B正确；由于人随车厢向前做匀加速运动，故车厢对人的总的作用力(即车厢对人的推力和摩擦力的合力)向前，人对车厢的总的作用力向后，所以人对车厢所做的总功为负功，故选项C错误，D正确．
9.
如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
解析：选ABD.由s＝at2＝·t2，
W＝Fscos 60°＝t2，
当F′＝2F时，W′＝4W；
当时间变为2t时，W′＝4W；
当m′＝m时，W′＝2W；
当θ＝0°时，W′＝4W；
由此可知，C错，A、B、D对．
三、非选择题
10.
某人用F＝100 N的恒力，通过滑轮把物体M拉上斜面，如图所示，力F方向恒与斜面成60°角，若物体沿斜面运动1 m，人的拉力所做的功是________J(g取10 m/s2)．
解析：如图所示，设拉力的作用点为A，则该作用点的位移为s＝2s物·cos 30°＝2×1×cos 30° m＝ m，
所以人的拉力所做的功为
W＝F·s·cos 30°＝100××cos 30° J＝150 J.
答案：150
11.
一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示．求：
(1)0～6 s时间内物体的位移；
(2)0～10 s时间内，物体克服摩擦力所做的功．
解析：(1)由题图丙知0～6 s时间内物体的位移为
s＝×3 m＝6 m.
(2)由题图丙知，在6～8 s时间内，物体做匀速运动，于是有f＝2 N．在0～10 s时间内物体的总位移为
s＝×3 m＝15 m，
所以Wf＝－fs＝－2×15 J＝－30 J
即物体克服摩擦力所做的功为30 J.
答案：(1)6 m (2)30 J
12．(1)用起重机把质量为200 kg的物体匀速提高了5 m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(g＝10 m/s2)
(2)若物体匀加速上升，加速度a＝2 m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？
解析：(1)物体匀速提升，由平衡条件：
F＝G＝2.0×103 N
钢绳的拉力做功：
WF＝Fh＝2.0×103×5 J＝1.0×104 J
重力做功：WG＝－mgh＝－2.0×103×5 J
＝－1.0×104 J
物体克服重力做功1.0×104 J
这些力所做的总功是：W总＝WF＋WG＝0
即：这些力所做的总功是0.
(2)根据牛顿第二定律F－mg＝ma
所以F＝mg＋ma＝2 400 N
WF＝Fh＝2 400×5 J＝1.2×104 J
各力做的总功也等于合外力做的功
W总＝mah＝2.0×103 J.
答案：(1)1.0×104 J －1.0×104 J 1.0×104 J 0
(2)1.2×104 J 2×103 J
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第1节 机械功
1.理解功的概念． 2.知道功是标量，认识正功、负功的含义，能判断物体所受的各力是否做功以及做功的正负．
3．能利用功的一般公式计算恒力的功，掌握计算总功的两种方法．
一、机械功的含义
1．功的定义：如果作用于某物体的恒力大小为F，该物体沿力的方向运动，经过位移s，则F与s的乘积叫做机械功，简称功．
2．做功的两个因素
(1)有作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
3．功的定义式：W＝Fscos_α．
(1)定义式中的F应为恒力．
(2)s表示力的作用点的位移．
(3)α表示力F与位移s之间的夹角．
4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号为J.1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生 1_m的位移时所做的功．
下面所示的三种情景中，人是否对物体做功？
提示：甲图中有力没有位移，人不做功；乙图中在力的方向上没有位移，人也不做功；丙图中在力的方向上有位移，人做功．
二、机械功的计算
1．功的标矢性：功是标量，只有大小，没有方向．
2．功的计算
(1)0≤α<90°时，W>0，力对物体做正功．
(2)α＝90°时，W＝0，力对物体不做功．
(3)90°<α≤180°时，W<0，力对物体做负功，也可以说物体克服这个力做了功．
3．总功的计算
(1)各个力分别对物体做功的代数和：W＝W1＋W2＋…＋Wn．
(2)各个力的合力对物体做的功：W＝F合scos_α．
(1)总功就是所有外力做功的代数和．( )
(2)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和．( )
(3)总功等于合外力的功．( )
提示：(1)√ (2)× (3)√
对机械功的理解[学生用书P1]
1．做功具有两个必不可少的决定因素
(1)作用在物体上的外力；
(2)物体在力的方向上的位移．
力对物体是否做了功，只与这两个因素有关，而与其他因素(如物体的运动性质、运动速度、物体的质量等)均无关系．
2．功是过程量：功是力在空间上的积累效应，它总是与一个过程相联系．因此，功是一个过程量．利用公式W＝F·scos α计算功时，一定要明确是哪个力在哪一过程中对物体做的功. 命题视角1 做功的两因素的理解
下面列举的情况中所做的功不为零的是( )
A．举重运动员举着杠铃在头上方停留3 s，在这3 s内运动员对杠铃做的功
B．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
C．一个人用力推一个笨重的物体，但没推动，人的推力对物体做的功
D．自由落体运动中，重力对物体做的功
[解题探究] (1)物体受力时，力对物体一定做功吗？
(2)物体发生一段位移，一定有力对物体做功吗？
[解析] 举重运动员举着杠铃在头上方停留3 s的时间内，运动员对杠铃施加了竖直向上的支持力，但杠铃在支持力方向上没有位移，所以运动员对杠铃没有做功．木块滑动过程中，在支持力方向上没有位移，故支持力对木块
没有做功．推而不动，只有力而没有位移，人的推力不做功．重力竖直向下，物体的位移也竖直向下，故重力对物体做了功，选项D正确．
[答案] D
命题视角2 功的概念的理解
关于功的概念，下列说法正确的是( )
A．力对物体做功多，说明物体的位移一定大
B．力对物体做功少，说明物体的受力一定小
C．力对物体不做功，说明物体一定无位移
D．力对物体做的功等于力的大小、位移的大小及位移和力的夹角的余弦三者的乘积
[解析] 力对物体做的功W＝Fscos α，功的大小由力的大小、位移的大小及位移和力的夹角的余弦三者共同决定，做功的多少并不是由其中一者来决定的，故A、B、C均错．
[答案] D
力和力的作用点在力的方向上发生的位移是做功的两个不可缺少的因素．
功的正、负的理解及判断[学生用书P2]
1．对功的正负的理解
(1)功是标量，其正负既不表示大小，也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功．比较功的大小时，要看功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少．例如，－10 J的功要比5 J的功多．
(2)一个力对物体做负功，也可以说物体克服这个力做功(取绝对值)．例如，滑动摩擦力对物体做的功为－10 J，也可以说物体克服摩擦力做的功为10 J.
2．功的正负的物理意义
动力学角度 能量角度
正功 若某个力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力 若力对物体做正功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功 若某个力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力 若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量
3.功的正、负判定
(1)根据力和位移的夹角判断．
例如(如图所示)，物体a由斜面顶端静止滑下，a受到的重力G对物体做正功，因为重力G与位移L之间的夹角小于90°.
(2)根据运动物体的速度方向和受力方向的夹角判断．
例如(如图所示)，人造地球卫星在椭圆轨道上运行，在由a点运动到b点的过程中，万有引力做负功．因为万有引力的方向和速度方向的夹角大于90°.
命题视角1 功的正、负的理解
下列关于功的正、负的说法正确的是( )
A．功的正、负表示功的大小，负功一定比正功小
B．功的负号表示力与位移的方向相反
C．功的负号表示功的方向与力的方向相反
D．功的正、负只表示动力做功还是阻力做功
[解析] 功的正、负不表示大小，“－10 J”并不比“3 J”小，所以选项A错误．功是标量，只有大小，没有方向，功的负号表示做功的力一定是阻力，但力与位移方向不一定相反，所以选项B、C错误．功的正、负表示做功的力是动力还是阻力，所以选项D正确．
[答案] D
命题视角2 功的正、负的判断
在图中，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下向右匀速运动．在此过程中，A、B间的摩擦力的做功情况是( )
A．对A、B都做负功
B．对A不做功，对B做负功
C．对A做正功，对B做负功
D．对A、B都不做功
[解题探究] (1)判断力对物体做正功、负功的依据是什么？
(2)当B向右匀速运动时，A、B两物体所受摩擦力的方向与位移方向有什么关系？
[解析] 因为A的位移为零，所以A、B间的摩擦力对A不做功；B相对A向右运动，B所受的A、B间的摩擦力向左，A、B间的摩擦力对B做负功，故选项B正确．
[答案] B
(1)判断功的正负的关键是紧紧抓住力与位移或力与速度的方向关系，若两方向之间的夹角90°<α≤180°，则力做负功；α＝90°，不做功；0°≤α<90°，做正功．
(2)摩擦力可以对物体做正功、负功，也可以不做功．
(3)作用力和反作用力做功也没有一定关系，可能都做正功或都做负功；可能一个做正功，一个做负功；还可能一个做功，一个不做功．
恒力做功的计算[学生用书P3]
1．对W＝Fscos α的理解
(1)W＝Fscos α仅适用于计算恒力的功，不能直接用于求变力做功．
(2)F表示力的大小，s表示力的作用点相对于地面的位移的大小(s也常常被说是物体相对于地面的位移大小)，α表示力和位移方向间的夹角．
(3)公式可以表达为W＝F·scos α，意义是功等于沿力F方向的分位移与力的乘积；公式也可以表达为W＝Fcos α·s，意义是功等于位移与沿位移方向的分力的乘积．
2．几个力的总功的求法
(1)先由W＝F·scos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合scos α计算总功，此时α为F合的方向与s的方向间的夹角．
命题视角1 恒力做功的计算
如图所示，用一个与水平方向成α＝37°、大小为60 N的力F拉着雪橇沿水平地面从静止开始以a＝0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，已知雪橇的质量为20 kg，求2 s内雪橇上各力做的功分别是多少？合力做的功是多少？
[思路点拨]
[解析] 2 s内雪橇的位移l＝at2＝1 m.
对雪橇受力分析知其受重力、支持力、拉力和摩擦力．
重力和支持力做功为零
拉力F做功
WF＝Flcos α＝60×1×0.8 J＝48 J
雪橇所受合力为
F合＝ma＝20×0.5 N＝10 N
合外力对雪橇做的功
W合＝F合l＝10×1 J＝10 J
摩擦力做的功
WFf＝W合 －WF＝10 J－48 J＝－38 J.
[答案] 重力和支持力做功为零 拉力做功48 J 摩擦力做功－38 J 合力做功10 J
命题视角2 摩擦力做功问题
质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块(可视为质点)，以某一速度沿木板上表面从木板的左端滑至右端时，两者恰好达到同样的速度而相对静止．已知木板长为L，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，在这一过程中，木板沿水平面前进了距离l，求：
(1)摩擦力对滑块所做的功；
(2)摩擦力对木板所做的功；
(3)这一对摩擦力做功的代数和为多大？
[思路点拨] 滑块冲上木板后，因受到向左的摩擦力而减速，而木板因受到向右的摩擦力而加速，直至滑块和木板获得共同的速度，此后两者不再受摩擦力而一起匀速运动．两物体的运动情景如图所示．
[解析] (1)对滑块：受力分析如图甲所示，
滑动摩擦力大小Ff＝μFN1＝μmg，方向水平向左，
滑块对地位移大小为l＋L，方向水平向右，
所以W1＝Ff(l＋L)cos π＝－μmg(l＋L)．
(2)对木板：受力分析如图乙所示，滑动摩擦力大小F′f＝μmg，方向水平向右，木板对地位移大小为l，方向水平向右，所以W2＝F′flcos 0＝μmgl.
(3)W＝W1＋W2＝－μmgL.
[答案] (1)－μmg(l＋L) (2)μmgl (3)－μmgL
摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在静摩擦力做功的过程中，静摩擦力起着传递机械能的作用，没有机械能转化为其他形式的能．
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力做功的代数和总为零．
(2)滑动摩擦力做功的特点
①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的数值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积．
③滑动摩擦力、空气阻力等做的功，在曲线运动或往返运动中等于力和路程(不是位移)的乘积．
【通关练习】
1．质量m＝3 kg的物体，受到与斜面平行向下的拉力F＝10 N，沿固定斜面下滑距离l＝2 m，斜面倾角θ＝30°，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝.求各力对物体所做的功，以及力对物体所做的总功．(g取10 m/s2)
解析：物体所受到的各个力均为恒力，可用功的公式进行计算．
如图所示，物体受到重力、拉力、斜面的支持力和摩擦力的作用，做单向直线运动，其位移的大小与移动的距离相等．所以，重力所做的功为WG＝mglcos α＝mglcos(90°－θ)＝3×10×2×cos 60° J＝30 J
拉力所做的功WF＝Fl＝10×2 J＝20 J
支持力与物体运动方向垂直，它所做的功WFN＝0
滑动摩擦力的方向与位移方向相反，做功为
WFf＝－(μmgcos θ)l＝－×3×10×2× J＝－30 J
总功W总＝WG＋WF＋WFN＋WFf＝30 J＋20 J＋(－30 J)＝20 J.
答案：WG＝30 J WF＝20 J WFN＝0 WFf＝－30 J W总＝20 J
2．在光滑的水平地面上有质量为M的长木板A，如图所示，木板上放一质量为m的物体B，A、B之间的动摩擦因数为μ.今在物体B上加一水平恒力F，B和A发生相对滑动，经过时间t，B未滑离木板A.
(1)求摩擦力对A所做的功；
(2)求摩擦力对B所做的功；
(3)若木板A固定，求B对A的摩擦力对A做的功．
解析：(1)木板A在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得μmg＝MaA，
所以aA＝
经过时间t，A的位移为lA＝aAt2＝·t2.因为摩擦力Ff的方向和位移lA的方向相同，即对A做正功，其大小为W1＝FflA＝μmgt2＝t2.
(2)物体B在水平恒力F和摩擦力F′f的合力作用下向右做匀加速直线运动，设B的加速度为aB，由牛顿第二定律得F－μmg＝maB
所以aB＝
B的位移为lB＝aBt2＝·t2
摩擦力F′f的方向和位移lB的方向相反，所以F′f对B做负功，W2＝－F′flB＝－.
(3)若长木板A固定，则A的位移l′A＝0，所以摩擦力对A做功为0，即对A不做功．
答案：(1)t2 (2)－ (3)0
变力做功的计算[学生用书P4]
1．平均值法：若力的方向不变，且与位移方向相同，大小随位移均匀变化，则可用力的平均值乘以位移．
2．转换法：通过滑轮拉动物体时，可将人的拉力对物体做的功转换为绳的拉力对物体做的功，或者将绳的拉力对物体做的功转换为人的拉力对绳做的功．
3．图象法：根据力(F)－位移(s)图象的物理意义计算力对物体做的功．如图中阴影部分的面积的数值等于功的大小．横轴上方的面积表示做正功，横轴下方的面积表示做负功．
4．分段法(微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段均可以看成直线，先求力在每一小段上做的功，再求和即可．
如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块(可视为质点)的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ.以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力的大小为F＝kx，k为常量．
(1)请画出F随x变化的示意图；并根据F－x图象，求物块沿x轴从O点运动到x位置的过程中，弹力所做的功．
(2)物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中弹力所做的功．
[解析] (1)F－x图象如图所示，
物块沿x轴从O点运动到x位置的过程中，弹力做负功，F－x图线与x轴所围的面积等于弹力做功的大小．弹力做功
WF＝－·kx·x＝－kx2.
(2)弹簧的弹力随位移均匀变化，可分段利用平均值法计算．物块由x1向右运动到x3的过程中，弹力做功
WF1＝－·(kx1＋kx3)·(x3－x1)＝kx－kx
物块由x3向左运动到x2的过程中，弹力做功
WF2＝·(kx2＋kx3)·(x3－x2)＝kx－kx
整个过程中，弹力做功
WF＝WF1＋WF2＝kx－kx.
[答案] (1)见解析图 －kx2 (2)kx－kx
弹簧的弹力与弹簧的伸长量成正比，即成线性关系时，可用平均作用力＝(为恒力)求变力F做的功，即W＝·s cos α.
用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块的深度成正比，在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块1 cm.则击第二次时，能把铁钉再击入多少深度？(设铁锤每次做功相等)
解析：法一：(平均值法)如图所示，第一次击入深度为x1，平均阻力1＝kx1，做的功W1＝1x1＝kx
第二次击入深度为(x2－x1)，平均阻力2＝k(x2＋x1)，位移为(x2－x1)，做的功W2＝2(x2－x1)＝k(x－x)
两次做功相等，即W1＝W2，
解得x2＝x1＝1.41 cm
Δx＝x2－x1＝0.41 cm.
法二：(图象法)因为阻力F＝kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F－x图象如图所示．
图线与x轴所包围的面积可表示F对铁钉做的功．
由于两次做功相等，故有S1＝S2(面积)
即kx＝k(x2＋x1)(x2－x1)
所以Δx＝x2－x1＝(－1) cm＝0.41 cm.
答案：0.41 cm
[随堂检测][学生用书P4]
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正负表示其方向
B．功是标量，正负表示是外力对物体做功，还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功取决于力和位移的方向关系
D．力对物体做的功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
解析：选BCD.功是标量，正、负号不表示功的大小，也不表示功的方向，比较功的大小要看绝对值，功的存在总是与某一过程相对应，故选项B、C、D正确，A错误．
2．如图所示，重为G的物体受一向上的拉力F，向下以加速度a做匀减速运动，则( )
A．重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B．重力做正功，拉力做负功，合力做负功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
D．重力做正功，拉力做负功，合力做正功
解析：选B.由于物体向下运动，因此重力做正功，拉力做负功，物体向下做匀减速运动，说明加速度的方向向上，合力方向向上，故合力做负功，B项正确．
3．两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图所示．物体通过一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1与F2的合力对物体做的功为( )
A．7 J B．2 J
C．5 J D．3.5 J
解析：选A.功是标量，合力对物体做的功等于各分力对物体做功的代数和，故选项A正确．
4.
如图所示，一位质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的斜坡自由滑下(初速度为零)．斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面间的动摩擦因数μ＝0.1，则在运动员滑至坡底的过程中，求：
(1)各个力对运动员所做的功分别是多少？
(2)合力对运动员做了多少功？(不计空气阻力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析：(1)重力做的功
WG＝mgh＝50×10×30 J＝1.5×104 J.
支持力做的功WN＝0.
摩擦力做的功
Wf＝－fl＝－μmgcos 37°×＝－2×103 J.
(2)合力做的功
W合＝WG＋Wf＋WN＝1.5×104 J－2×103 J＋0＝1.3×104 J.
答案：见解析
5．一个质量为4 kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.1.从t＝0时刻开始，物体受到一个大小和方向均呈周期性变化的水平力F的作用，力F随时间的变化规律如图所示．求83 s内物体位移的大小和力F对物体所做的功(g取10 m/s2)．
解析：当物体在前半周期时，由牛顿第二定律得
F1－μmg＝ma1
故a1＝＝2 m/s2
则v1＝a1t＝4 m/s，s1＝a1t2＝4 m
当物体在后半周期时，由牛顿第二定律得
F2－μmg＝ma2
故a2＝＝－2 m/s2
则s2＝v1t＋a2t2＝4 m，v2＝v1＋a2t＝0
83 s包括20个周期余3 s，一个周期的位移为8 m，最后1 s的位移为3 m，故83 s内物体的位移大小为
s＝20×8 m＋4 m＋3 m＝167 m
每个周期内力F对物体做功
W1＝(F1＋F2)s1＝(12 N－4 N)×4 m＝32 J
最后3 s内力F对物体做的功
W2＝12 N×4 m－4 N×3 m＝36 J
所以，WF＝20W1＋W2＝20×32 J＋36 J＝676 J.
答案：167 m 676 J
[课时作业][学生用书P93(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列关于力做功的说法中正确的是( )
A．人用力F＝300 N将足球踢出，而球在空中飞行40 m，人对足球做功1 200 J
B．人用力推物体，但物体未被推动，人对物体做功为零
C．物体竖直上升时，重力不做功
D．只有恒力才能做功，变力不能做功
解析：选B.人踢足球的力只存在于球飞出的瞬间，而球在空中飞行40 m的过程，不受人踢足球的力，A错；物体没有被推动，位移为零，人对物体做功为零，B对；物体竖直上升时，重力做负功，C错；任何力都有可能做功，D错．
2．如图所示，一小孩和一大人匀速推动相同的木箱，在相同的路面走同样的位移(推箱的速度如图中所注)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少，下列说法正确的是( )
A．大人做的功多
B．小孩做的功多
C．大人和小孩做的功一样多
D．条件不足，无法判断
解析：选C.木箱匀速运动，所以推力等于摩擦力，即F＝μmg，根据功的计算公式，推力所做的功W＝Fscos α＝μmgscos α，所以大人和小孩做的功一样多，C正确．
3．如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法正确的是( )
A．摩擦力对皮带不做功
B．P物体克服摩擦力做功
C．摩擦力对P做正功
D．合力对P做正功
解析：选C.物体匀速运动，受到沿斜面向上的静摩擦力，f与v同向，做正功，选项C正确．
4．关于作用力、反作用力做功的问题，下列说法中正确的是( )
A．作用力做功，反作用力必定做功
B．作用力做功与反作用力做功数值一定相等
C．作用力做正功，反作用力一定做负功
D．单纯根据作用力做功情况不能判断反作用力做功情况
解析：选D.作用力与反作用力虽然大小相等，方向相反，但作用在不同物体上，因而力与位移的方向关系不确定，因此，作用力与反作用力可以同时做正功，也可以同时做负功，可以一个做正功另一个做负功，也可以一个做功而另一个不做功．
5．如图所示，木板放在光滑地面上，将一滑块m用恒力F由木板一端拉至另一端，木板分固定和不固定两种情况，力F做功分别为W1和W2，则( )
A．W1＝W2 B．W1C．W1>W2 D．无法比较
解析：选B.设木板长为L，当木板固定时，滑块由木板一端到另一端对地位移为L，故W1＝FL；若木板不固定，木板随滑块向右运动，当木板位移为s时，滑块对地位移为(s＋L)，故W2＝F(s＋L)，故选项B正确．
6.
质量为m的物体沿底面长度为L、倾角不同的a、b、c三个斜面顶端滑下，如图所示．物体和斜面间的动摩擦因数相同，a、b、c三个斜面与水平面的夹角关系是θ1>θ2>θ3.物体从a、b、c三个斜面顶端滑到底端的过程中，摩擦力做功分别是W1、W2和W3，则它们的关系是( )
A．W1>W2>W3
B．W1＝W3>W2
C．W1D．W1＝W2＝W3
解析：选D.以斜面a为研究对象，当物体在斜面a上运动时W1＝－F1s＝－μmgcos θ1·＝－μmgL
同理得W2＝－μmgL，W3＝－μmgL
因此选项D正确．
二、多项选择题
7．如图所示，物体在水平桌面上，当对它施加如图甲所示的拉力F，使它由静止发生位移s；当对它施加如图乙所示的推力F，使它由静止发生位移s.F与水平方向的夹角均为α，则关于做功的下述说法中正确的是( )
A．图乙中F做功多
B．图甲、乙中F做功相同
C．图乙中克服摩擦力做功多
D．图甲、乙中克服摩擦力做功相同
解析：选BC.力F做功WF＝Fscos α，两图中F做功相同，选项A错误，选项B正确；由于摩擦力f甲＝μ(mg－Fsin α)，f乙＝μ(mg＋Fsin α)，所以克服摩擦力做功W甲＝f甲s＝μ(mg－Fsin α)s，W乙＝f乙s＝μ(mg＋Fsin α)s，选项C正确，选项D错误．
8.
如图所示，在匀加速运动的车厢内一个人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则以下结论中正确的是( )
A．人对车厢的推力不做功
B．人对车厢的摩擦力做负功
C．人对车厢的作用力不做功
D．人对车厢的作用力做负功
解析：选BD.在水平方向上，人对车厢的作用力有两个：对车厢向前的推力和对车厢地板向后的摩擦力．车厢的运动方向向右，所以人对车厢的推力做正功，人对车厢的摩擦力做负功，故选项A错误，B正确；由于人随车厢向前做匀加速运动，故车厢对人的总的作用力(即车厢对人的推力和摩擦力的合力)向前，人对车厢的总的作用力向后，所以人对车厢所做的总功为负功，故选项C错误，D正确．
9.
如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
解析：选ABD.由s＝at2＝·t2，
W＝Fscos 60°＝t2，
当F′＝2F时，W′＝4W；
当时间变为2t时，W′＝4W；
当m′＝m时，W′＝2W；
当θ＝0°时，W′＝4W；
由此可知，C错，A、B、D对．
三、非选择题
10.
某人用F＝100 N的恒力，通过滑轮把物体M拉上斜面，如图所示，力F方向恒与斜面成60°角，若物体沿斜面运动1 m，人的拉力所做的功是________J(g取10 m/s2)．
解析：如图所示，设拉力的作用点为A，则该作用点的位移为s＝2s物·cos 30°＝2×1×cos 30° m＝ m，
所以人的拉力所做的功为
W＝F·s·cos 30°＝100××cos 30° J＝150 J.
答案：150
11.
一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示．求：
(1)0～6 s时间内物体的位移；
(2)0～10 s时间内，物体克服摩擦力所做的功．
解析：(1)由题图丙知0～6 s时间内物体的位移为
s＝×3 m＝6 m.
(2)由题图丙知，在6～8 s时间内，物体做匀速运动，于是有f＝2 N．在0～10 s时间内物体的总位移为
s＝×3 m＝15 m，
所以Wf＝－fs＝－2×15 J＝－30 J
即物体克服摩擦力所做的功为30 J.
答案：(1)6 m (2)30 J
12．(1)用起重机把质量为200 kg的物体匀速提高了5 m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(g＝10 m/s2)
(2)若物体匀加速上升，加速度a＝2 m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？
解析：(1)物体匀速提升，由平衡条件：
F＝G＝2.0×103 N
钢绳的拉力做功：
WF＝Fh＝2.0×103×5 J＝1.0×104 J
重力做功：WG＝－mgh＝－2.0×103×5 J
＝－1.0×104 J
物体克服重力做功1.0×104 J
这些力所做的总功是：W总＝WF＋WG＝0
即：这些力所做的总功是0.
(2)根据牛顿第二定律F－mg＝ma
所以F＝mg＋ma＝2 400 N
WF＝Fh＝2 400×5 J＝1.2×104 J
各力做的总功也等于合外力做的功
W总＝mah＝2.0×103 J.
答案：(1)1.0×104 J －1.0×104 J 1.0×104 J 0
(2)1.2×104 J 2×103 J
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(共61张PPT)
第1章 功和功率
第1章 功和功率
力
位移
恒力
作用点
力F
位移s
焦耳
1m
标量
方向
正功
不做功
负功
克服这个力做了功
本部分内容讲解结束
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人
第1章
功和功率
DIYI ZHANG
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
多维课堂,师生动
突破疑难·讲练提升
